大跨度桥梁的稳定理论

大跨度桥梁的稳定理论第1页，课件共57页，创作于2023年2月1概述2第一类弹性及弹塑性稳定分析3拱桥稳定分析和非保向力效应4材料非线性问题5第二类稳定问题和极限承载力全过程分析6小结第十二章大跨度桥梁的稳定理论本章主要内容第2页，课件共57页，创作于2023年2月1.概述1.1

稳定理论的发展什么是结构失稳？结构在外力增加到某一量值时，稳定性平衡状态开始丧失，稍有扰动，结构变形迅速增大，使结构失去正常工作能力的现象稳定问题的重要性随着桥梁跨径的不断增大，桥塔高耸化、箱梁薄壁化以及高强材料的应用，结构整体和局部的刚度下降，使得稳定问题显得比以往更为重要

桥梁结构的失稳形态桥梁结构的失稳现象表现为结构的整体失稳或局部失稳局部失稳是指部分子结构的失稳或个别构件的失稳，局部失稳常常导致整个结构体系的失稳第3页，课件共57页，创作于2023年2月桥梁失稳事故的发生促进了桥梁稳定理论的发展1744年，欧拉(L.Eular)就提出了压杆稳定的著名公式彭加瑞(A.Poincare,1885)明确了稳定概念，并推广到流体力学的层流稳定问题中，即稳定分支点的概念恩格塞(Engesser)和卡门(Karman)等根据大量中长压杆在压曲前已超出弹性极限的事实，分别提出了切线模量理论和折算模量理论普兰特尔和米歇尔几乎同时发表了关于梁侧倾问题的研究成果1.1

稳定理论的发展(续)第4页，课件共57页，创作于2023年2月薄壁轻型结构的使用，提出了稳定新课题瓦格纳(H.Wagner,1929)及符拉索夫(1940)等建立关于薄壁杆件的弯扭失稳理论证明其临界荷载值大大低于欧拉理论值，且不能用分支点的概念来解释引入了极值点失稳的观点以及跳跃现象的稳定理论

稳定理论与非线性理论的联系密不可分只有通过对结构几何非线性关系以及材料非线性本构关系的研究，才能深入揭示复杂稳定问题的实质1.1

稳定理论的发展(续)第5页，课件共57页，创作于2023年2月研究结构稳定问题的两种形式1)第一类稳定：分支点失稳

从小范围内观察，以小位移理论为基础2)第二类稳定：极值点失稳

从大范围内研究，以大位移非线性理论为基础由于第一类稳定问题是特征值问题，求解方便，在许多情况下两类问题的临界值又相差不大，因此研究第一类稳定问题仍有着重要的工程意义1.2

两类稳定问题第6页，课件共57页，创作于2023年2月静力平衡法从平衡状态来研究压杆屈曲特征，即研究载荷达到多大时，弹性系统可以发生不同的平衡状态实质是求解弹性系统的平衡路径(曲线)的分支点所对应的载荷值(临界载荷)能量法求弹性系统的总势能不再是正定时的载荷值1.3稳定问题的求解方法简介第7页，课件共57页，创作于2023年2月振动法当压杆在给定的压力下，受到一定的初始扰动之后，必将产生自由振动如果振动随时间的增加是收敛的，则压杆是稳定的缺陷法由于缺陷的影响，杆件开始受力时即产生弯曲变形在一般条件下缺陷总是很小的，弯曲变形并不显著当荷载接近临界值时，变形才迅速增大，由此确定失稳条件1.3稳定问题的求解方法简介第8页，课件共57页，创作于2023年2月对于欧拉压杆而言，所得到的临界荷载值是相同的但它们的结论并不完全一样，表现在以下几个方面(1)静力平衡法当P=P1、P2...Pn时压杆可能发生屈曲现象，无法判断何种情况最可能失稳在PP1、P2...Pn时，屈曲的变形形式不能平衡，无法回答直线形式的平衡是否稳定的问题1.3稳定问题的求解方法简介(续)第9页，课件共57页，创作于2023年2月(2)缺陷法当P=P1、P2...Pn，杆件将发生无限变形但对于P在P1、P2...Pn各值之间时压杆是否稳定的问题也不能解释(3)能量法和振动法P>P1之后不论P值多大，压杆直线形式的平衡都是不稳定的和事实完全一致

1.3稳定问题的求解方法简介(续)第10页，课件共57页，创作于2023年2月由于桥梁结构的复杂性，不可能单靠上述方法来解决其稳定问题大量使用的是近似求解方法：从微分方程出发，通过数学上的各种近似方法求解

如逐次渐近法基于能量变分原理的近似法

如Ritz法，有限元方法可以看成是Ritz法的特殊形式1.3稳定问题的求解方法简介(续)第11页，课件共57页，创作于2023年2月在发生第一类失稳前，结构在初始构形线性平衡，大位移矩阵0[K]L为零不论T.L还是U.L列式，表达形式是统一的

在结构处在临界状态下，即使{ΔR}→0，{Δu}也有非零解按线性代数理论，必有：(12-4)

(12-3)

2.第一类弹性及弹塑性稳定分析

2.1

第一类稳定问题的线弹性有限元分析

第12页，课件共57页，创作于2023年2月2.1

第一类稳定问题的线弹性有限元分析(续)

发生第一类失稳前满足线性假设，应力与外荷载以及几何刚度为线性关系若某种参考荷载对应的结构几何刚度阵为

式(12－4)可写成

稳定问题转化为求方程的最小特征值问题

(12-6)

(12-5)

第13页，课件共57页，创作于2023年2月2.1

第一类稳定问题的线弹性有限元分析(续)

[K]σ可以分成一期恒载的初内力刚度阵和后期荷载（二期、活载等）的初内力刚度阵两部分计算一期恒载稳定问题，，为恒载稳定安全系数计算后期荷载稳定问题，则恒载可近似为一常量，式(12－6)改写成：(12-7)

为后期恒载稳定安全系数，相应的特征向量就是失稳模态第14页，课件共57页，创作于2023年2月3.拱桥稳定分析和非保向力效应本节以解析法来阐述拱桥的第一类稳定计算可分为以下两类问题：面内稳定侧向稳定第15页，课件共57页，创作于2023年2月

3.1圆弧拱平面屈曲微分方程第16页，课件共57页，创作于2023年2月

3.1圆弧拱平面屈曲微分方程(续)第17页，课件共57页，创作于2023年2月3.2等截面圆弧拱在均布径向荷载作用下的屈曲临界荷载第18页，课件共57页，创作于2023年2月3.2等截面圆弧拱在均布径向荷载作用下的屈曲临界荷载(续)第19页，课件共57页，创作于2023年2月3.2等截面圆弧拱在均布径向荷载作用下的屈曲临界荷载(续)第20页，课件共57页，创作于2023年2月3.3圆拱的面外稳定第21页，课件共57页，创作于2023年2月3.3圆拱的面外稳定(续)第22页，课件共57页，创作于2023年2月3.3圆拱的面外稳定(续)第23页，课件共57页，创作于2023年2月3.3圆拱的面外稳定(续)第24页，课件共57页，创作于2023年2月3.4拱桥稳定与非保向力效应第25页，课件共57页，创作于2023年2月3.4拱桥稳定与非保向力效应(续)第26页，课件共57页，创作于2023年2月3.4拱桥稳定与非保向力效应(续)第27页，课件共57页，创作于2023年2月3.4拱桥稳定与非保向力效应(续)第28页，课件共57页，创作于2023年2月3.4拱桥稳定与非保向力效应(续)第29页，课件共57页，创作于2023年2月3.4拱桥稳定与非保向力效应(续)第30页，课件共57页，创作于2023年2月3.4拱桥稳定与非保向力效应(续)第31页，课件共57页，创作于2023年2月3.4拱桥稳定与非保向力效应(续)第32页，课件共57页，创作于2023年2月4.材料非线性问题4.1

概述当构件应力超过弹性极限后，材料弹性模量E成为应力的函数，导致基本控制方程的非线性，即材料非线性问题凡是在本构关系中放弃材料线性关系假定的理论，均属材料非线性范畴桥梁结构以钢和砼作为主要建材，因此涉及的材料非线性主要是非线性弹塑性问题和砼徐变问题第33页，课件共57页，创作于2023年2月4.2弹塑性应力、应变关系与屈服准则

根据实验结果，单轴应力下材料的应力、应变关系如图12.7所示，可归结为如下几点：

1)应力在达到比例极限前，材料为线弹性；应力在比例极限和弹性极限之间，材料为非线性弹性。

图12-7单轴应力下材料的应力、应变关系第34页，课件共57页，创作于2023年2月4.2弹塑性应力、应变关系与屈服准则(续)

2)应力超过屈服点，材料应变中出现不可恢复的塑性应变:

应力和应变间为非线性关系：

3)应力在某一应力下卸载，则应力增量与应变增量之间存在线性关系，即：

为了判断是加载还是卸载，用如下加载准则：当时为加载，满足(12-40)

当时为卸载，满足(12-41)(12-39)

(12-40)

(12-41)

第35页，课件共57页，创作于2023年2月4.2弹塑性应力、应变关系与屈服准则(续)

4)在卸载后某应力下重新加载，则：

时，

0为卸载前材料曾经受到过的最大应力值，称后屈服应力，若：

0=s

材料称为理想塑性的；

0>s

称材料为硬化的。

5)从卸载转入反向力加载，应力、应变关系继续依式(12-41)或(12-42)，一直到反向屈服。在复杂应力状态下，判断材料是否屈服，可以用应力的某种函数表示：(12-42)

第36页，课件共57页，创作于2023年2月4.2弹塑性应力、应变关系与屈服准则(续)

若以ij为坐标轴建立一坐标空间，则式(12-43)的几何意义为空间超曲面。任一应力状态在此空间中代表一个点，当此点落在屈服面之内时：，材料呈弹性状态；时，材料开始进入塑性。各向同性材料的屈服条件与坐标轴选取无关，屈服函数常以主应力函数形式表示：

(12-43)

(12-44)

第37页，课件共57页，创作于2023年2月4.2弹塑性应力、应变关系与屈服准则(续)常用的屈服条件有：

屈雷斯卡(Tresca)屈服条件：假定最大剪应力达到某一极限值时，材料开始屈服，相当于材料力学中的第三强度理论密赛斯(VonMises)屈服条件：假定偏应力张量的第二不变量达到某一极限时，材料开始屈服,相当于材料力学中的第四强度理论

此外还有Drucker-Prager屈服准则

Zienkiewicz-Pande屈服准则等第38页，课件共57页，创作于2023年2月4.3弹塑性本构矩阵的增量表达式设屈服函数用下式表示：式中：－应力状态；K－硬化函数。

在增量理论中，把材料达到屈服以后的应变增量分为弹性增量和塑性增量两部分，即：

(12-45)

(12-46)

第39页，课件共57页，创作于2023年2月4.3弹塑性本构矩阵的增量表达式(续)

其中弹性应变增量部分与应力增量之间仍服从虎克定律，即：其中：[De]为弹性矩阵。塑性变形不是唯一确定的，对应于同一应力增量，可以有不同的塑性变形增量。若采用相关联的流动法则，塑性变形大小虽然不能断定，但其流动方向与屈服面正交。用数学公式表示这一假定，即可得：(12-47)

(12-48)

第40页，课件共57页，创作于2023年2月4.3弹塑性本构矩阵的增量表达式(续)将(12-47)、(12-48)式代入(12-46)式，则可得：对式(12-45)全微分得：或其中：(12-49)

(12-50)

(12-51)

(12-52)

第41页，课件共57页，创作于2023年2月4.3弹塑性本构矩阵的增量表达式(续)将前乘(12-49)式，并利用(12-51)式消去可得：

由此可得：用[De]前乘(12-49)式，移项后得(12-53)

(12-54)

(12-55)

第42页，课件共57页，创作于2023年2月4.3弹塑性本构矩阵的增量表达式(续)将(12-54)式代入(12-55)式，即可得：其中:

此即为增量理论的弹塑性矩阵通式。其具体的数学表达式将由曲服函数确定。(12-56)

(12-57)

第43页，课件共57页，创作于2023年2月4.3弹塑性本构矩阵的增量表达式(续)例12.2导出等向强化米赛斯材料增量理论的弹塑性矩阵表达式。解：对Mises屈服准则、等向硬化材料，其屈服函数可写成：

其中:设硬化法则与塑性功有关，即作功硬化，则：

第44页，课件共57页，创作于2023年2月4.3弹塑性本构矩阵的增量表达式(续)由:得:第45页，课件共57页，创作于2023年2月4.3弹塑性本构矩阵的增量表达式(续)再由:其中:

剪切弹性模量；

其中:应力偏量向量。而:第46页，课件共57页，创作于2023年2月4.3弹塑性本构矩阵的增量表达式(续)

以上结果代入(12-83)，可得等向强化的米赛斯材料的弹塑性矩阵表达式为：

式中:第47页，课件共57页，创作于2023年2月4.4弹塑性问题的有限元法

在弹塑性增量理论中，讨论仍限于小变形情况。其应变－位移几何运动方程和平衡方程相同于线性问题，不需要作任何变动。需要改变的只是在塑性区范围内用塑性材料的本构关系矩阵[Dep]代替原来的弹性系数矩阵[De]。因此，可直接得到弹塑性分析有限元平衡方程：

式中:(12-58)

(12-59)

(12-60)

第48页，课件共57页，创作于2023年2月4.4弹塑性问题的有限元法(续)其中,和分别表示与结构面荷载t及体荷载f对应的等效节点力增量；为节点集中外荷载增量；

为初应力或初应变增量引起的外荷载增量，它们在t-至t时间的增量为：对于初应力问题：对于初应变问题：(12-61)

(12-62)

(12-63)

(12-64)

第49页，课件共57页，创作于2023年2月5.第二类稳定和极限承载力全过程分析传统的“强度设计”以构件最大工作应力乘以安全系数等于材料的屈服应力为依据；一般情况下，构件某截面开始屈服并不能代表结构完全破坏，结构所能承受的荷载通常较构件开始屈服时的荷载为大；桥梁结构的极限承载力是指桥梁承受外荷载的最大能力；可以准确地知道桥梁结构在给定荷载下的安全贮备或超载能力，为其安全施工和营运管理提供依据和保障；第50页，课件共57页，创作于2023年2月5.第二类稳定和极限承载力全过程分析(续)全过程分析是用于桥梁结构极限承载力分析的一种计算方法，它通过逐级增加工作荷载集度来考察结构的变形和受力特征，一直计算至结构发生破坏；桥梁结构在不断增加的外载作用下，结构刚度发生不断变化，当外载产生的应力使得结构切线刚度阵趋于奇异时，结构承载能力就到达了极限，此时的外荷载即为极限荷载。第51页，课件共57页，创作于2023年2月5.1非线性方程的求解问题一般结构的结构刚度阵在p-曲线上升段是正定的，在下降段为负定的；进行“全过程”分析过程中，当荷载接近极限值时，很小的荷载增量都会引起很大的位移，可能还未找到极限荷载就出现了求解失效现象；为了找到真实的极限荷载，克服下降段的不稳定现象，各国学者提出了许多算法，下面就常用的两种方法作一介绍第52页，课件共57页，创作于2023年2月5.1非线性方程的求解问题(续)1)逐步搜索法对于只要求出极值荷载，而对P-下降段不感趣的情况，可采用逐步搜索顶点的算法，其基本思想是：

加一荷载增量P，计算发散后，退回上级荷载状态并改用荷载步长P/2；若计算收敛，则再加一级荷载为P/4；若加P/4后计算发散，则再改用荷载步长为P/8

如此搜索，若原步长P预计为5%的破坏荷载，则P/4已接近1%的极限荷载，对桥梁结构来说，已可满足精度要求。当然还可向前再搜索一步到P/8。第53页，课件共57页，创作于2023年2月2)位移控制法

如果在分析过程中不是控制荷载增量而是控制位移增量，则P-曲线的下降段部分便不难求得。对于