地转适应过程与准地转演变

地转适应过程与准地转演变1第1页，课件共51页，创作于2023年2月我们已知，实际大尺度运动是准地转的不过我们也知道，某些时间和局部地区又可出现地转偏差故真实大气运动过程应该是平衡与非平衡相互调整，交替出现和交互适应的过程(地转偏差的出现将激发重力惯性波，通过重力惯性波的频散，地转偏差又将消灭——适应过程)。风－压满足地转平衡，非地转运动。10.2大尺度运动过程的阶段性●地转适应过程～准地转平衡被破坏后，通过风压场调整重新建立起准地转平衡的过程●准地转演变过程～准地转平衡状态缓慢变化的过程考虑：大尺度下自由大气水平运动方程组：——（10.10）2第2页，课件共51页，创作于2023年2月下面欲将（10.10）写为无量纲式，取*量为无量纲量，并取有书上p.229（10.11），代（10.11）入（10.10），有：平面近似，以上两式两端均除以，得无量纲式，并引入基别尔数，有：——（10.12）上式实为三项作用的平衡：局地变化项，非线性（平流项）项及地转偏差项。注意：对于中纬度大尺度运动，～～3第3页，课件共51页，创作于2023年2月的量级不应超过再由p53规则4知，（2）处于准地转平衡状态时（即准地转演变过程），则分两种情形讨论：（1）若处于高度非地转状态（即地转适应过程），则～1相比之下，平流项小了一个量级，故可略去，且有局地变化项与地转偏差量级相当：～，这时的时间尺度可以称为～地转适应过程之时间尺度

～～～→数小时（最多一天）——（10.13）～相比之下，与平流项具有相同量级，故这时平流项不可以略去，或者的量级：，这时可称为～准地转演变过程之时间尺度：～～～～→数天——（10.14）4第4页，课件共51页，创作于2023年2月由（10.13）、（10.14）可得：比而地转适应过程可称为“快过程”。大一个量级，故演变过程为“慢过程”下面，对水平速度D和垂直涡度再作量级分析：～，～由此可得：～——（10.16）可见：（1）处于高度非地转状态时（适应过程），位势运动是重要的。（2）处于准地转平衡时（演变过程）：～具有准涡旋运动特征。

（3）适应过程的水平散度及垂直速度都要比演变过程至少大一个量级。5第5页，课件共51页，创作于2023年2月小结：适应过程：快过程，位势运动重要，运动是线性的，不考虑作用），惯性重力波，垂直运动、水平散度大。（作用，演变过程：慢过程，准涡旋性质，运动是非线性的，要考虑Rossby波。垂直运动、水平散度小。6第6页，课件共51页，创作于2023年2月10.3正压大气中的地转适应过程

风场与气压场由不平衡走向平衡，达平衡时，径向（法向）加速度为0，速度最大。但由于惯性，将越过平衡位置进一步水平向心辐合，这样又梯>柯(1)梯度力越来越大(2)柯氏力越来越小空气向外水平辐散。如此交替，气流沿平衡位置作惯性振荡可以形成重力惯性外波。●10.3.1地转适应过程的定性分析设初刻无水平气压分布柯、离平衡惯性圆但有就有柯空气向心水平辐合G中心无变有：7第7页，课件共51页，创作于2023年2月

我们知道，柯与梯的平衡称地转平衡，可见，上述过程是出现地转偏差而又调整到地转平衡的交替过程。当然实际上，因能量频散振荡会衰减，最终可达到稳定的地转平衡。

由此可知：适应过程就是大气运动对柯氏力的反应。当不平衡时，就要调整，实现柯与梯的平衡→地转平衡。而要实现地转适应，只有通过惯性重力波的能量频散将出现地转偏差的那一部分能量很快地频散到更大更广的空间中去，从而实现新的准地转平衡。10.3.2正压适应方程组考虑：正压原始方程组（9.155）经线性化后为：浅水方程组，注意：正压8第8页，课件共51页，创作于2023年2月——（10.17）涡度方程：

——（1）再散度方程：，即：——（2）9第9页，课件共51页，创作于2023年2月这样，（1）、（2）与（10.17）中的（3）′可构成新的闭合方程组：——（10.18）再引入流函数和速度势函数。流体力学已知：——（10.19）则（10.18）可改写为：10第10页，课件共51页，创作于2023年2月

时，——（10.20）显然，可满足（i）而（iii）照写，则可得奥布霍夫正压地转适应方程组：可满足（ii），——（10.21）要获得（10.21）的特解（定解），应有问题的初始条件，形如：11第11页，课件共51页，创作于2023年2月

由初始条件来求定解问题，这在数学物理方程中称为求柯西问题的解，因此可以说，有关地转适应过程的讨论，在数学就是求方程组（10.21）的柯西问题的解。对于得出了奥布霍夫地转适应方程组（10.21），正式求解前先做三点讨论：在定常情况下，若用表示定常解，则由（10.21）知：这正表明：定常解相应于地转完成适应状态，为无辐散涡旋流动，流线与等压线重合，风场与气压场满足地转风关系。12第12页，课件共51页，创作于2023年2月2.由（10.21）可得一个地转适应过程中很重要的关系式——位涡守恒：①代入③，消去速度势的位势涡度分布值，其中奥布霍夫称为位势涡度。，得——（10.29）对t作偏积分，得——（10.29）′，可见：地转适应过程中，量与时间t无关即守恒不变，等于初刻13第13页，课件共51页，创作于2023年2月

总结以上讨论知：奥布霍夫地转适应方程组的解可以分成两部分，第一部分为定常解，也就是我们所需的地转适应的最后状态；第二部分为波动解，且应满足时，波动解，否则地转适应无法完成。3.（10.21）中之第①、③式代入，可消去②中的，得到关于的一个二阶线性偏微分方程：速度势——（10.24）这是一个波动方程，就是重力惯性外波（p.200（9.92）），其一维波动解已讨论过，参见p.200（9.97）为：14第14页，课件共51页，创作于2023年2月15第15页，课件共51页，创作于2023年2月§10.3.3波动解，地转适应的机制如前已述，波动方程为（10.24），加上初始条件t=0时已知速度势本身及其对时间的变化（一阶导数），即构成了正压地转适应的Cauchy问题：变量代换，即可将其改写为标准的波动方程，数理方程已求出其解——泊松公式！对于（1），引入新变量——（3）则因：其中，波动方程中含有，故可称广义波动方程。其实，作适当的16第16页，课件共51页，创作于2023年2月(3)两端作运算：故有：及相应初条件：这正是标准的三维波动方程，其解就是泊松公式：——（10.37）17第17页，课件共51页，创作于2023年2月18第18页，课件共51页，创作于2023年2月19第19页，课件共51页，创作于2023年2月20第20页，课件共51页，创作于2023年2月注：（9.29）的积分区域为：M(x,y)点为圆心，——（10.38）为半径的一个圆。

21第21页，课件共51页，创作于2023年2月（10.38）表明：对于波动传播问题，只要知道其初始扰动情况半径作一个圆，然后拿初始扰动那么，外任一指定点M(x,y)（也可

时刻t任一指定位置M(x,y)处的函数值χ(M,t)可求，那就是以M为圆心，cot为按（10.38）式在圆上积分。，则任一实际上，这是可以理解的，既然波动以Co速度传播，则只有与M相距Cot的那些个点（即上的点）的初始扰动恰好在t时刻传到M点。下面再进一步具体讨论之：令速度势及其局地微商的初值和都只在有限的“初始扰内不为0。（如图）阴影部分：动区域”～R为半径中心在坐标原点的一个圆。用矢径表，其中处的情况？换句话，起始非地转扰动

在t时刻后对M点有何影响？）22第22页，课件共51页，创作于2023年2月ABR+r23第23页，课件共51页，创作于2023年2月令，表M点至区域之最近、远距离，则：故：时，积分区域与起始扰动区域不相交。正好迎来了前波阵面。再下去，是再靠近原点的那些扰动又传到虚线上来，故称有明显的前阵面，但无后阵面，也就是虚线上扰动有“后效”。时，半径为Cot的圆即积分区域正好截过扰动区域So，故指定M这是因为，扰动以重力外波波速Co传播，在最近的扰动也来不及传到指定位置M之故。类似讨论时，离M(x,y)处算出的

，当t足够大，以至于时，积分有效区域就与初始扰动区域重合。从这时起，任一瞬时t开始受到扰动的点，是那些以原点为圆心，

为半径的圆周上的各点。即右图中虚线上的那些点，在t时刻24第24页，课件共51页，创作于2023年2月

这也表明，随时间推移，扰动能量将向越来越广的范围内弥散，故M点上的应随时间衰减。当的积分有效区域就是整个S0范围，再假定初始扰动为常值近似计算公式：以后（即积分区域>上页图中点划线构成的圆以后）（10.38）（）则（10.38）可进一步简化为如下的——（10.40）可以证明，时，这一非定常解将与t成反比地趋于0。25第25页，课件共51页，创作于2023年2月

总结：非地转扰动出现后，当t足够大时，波动将呈阻尼振荡特征，从而建立起地转平衡，扰动衰减不是摩擦而是重力惯性波对能量的频散，这就是地转适应过程最基本的物理机制。26第26页，课件共51页，创作于2023年2月展望：现考地转适应之最后状态——定常解，也就是演变过程——以涡旋流（10.23），故得：10.3.4定常解，地转适应的例子回顾：第一节已知，适应过程以位势运动地转适应方程组（10.21）消去，得关于的一个波动方程。为主，故上节是由奥布霍夫为主，故：由位涡守恒方程（10.32）可有（就是符号，因定常解）加上带横量——（10.42）由前已知，定常下风场与气压场满足地转关系：，引入Rossby变形半径，有：——（10.42）′27第27页，课件共51页，创作于2023年2月这就是定常解下面简介应满足的方程，它是非齐次椭圆型Helmholtz方程，其求解：1.该方程的Green函数（或称基本解）满足：——（1）其中～函数，由（1）可求得——（2）而表以到（x,y）的距离：，而～第二类变

形的零阶Bessel函数，由格林函数G，按迭加原理，立即求得（10.42）的解为：——（10.45）·(x,y)xy28第28页，课件共51页，创作于2023年2月2.所适合的方程属于椭圆型方程，若能找到对应的齐次解则（10.42）的解可表为再对作无界区域积分，下面具体考虑之：齐次解可由下式决定：在极坐标中，对于圆对称情形，上式可展为：令，则上式化为——（1）这正是虚宗量的Bessel方程，其解为含虚变量的Bessel函数，即麦克唐纳，则（MacDonald）函数——（2）29第29页，课件共51页，创作于2023年2月由u的齐次方程的解（2），可得的非齐次方程的通解为：——（10.45）3.对于Helmholtz方程——（10.42）也可以用傅立叶积分方法，同样可以解出（10.45），那就是把解和方程的非齐次项然后代入泛定方程（10.42），两边比较，最终可分离出付氏系数：均作付氏展开（这里也就是展为二重付氏积分），设——[1]

——[2]而——[3]30第30页，课件共51页，创作于2023年2月（1）、（2）代之入（10.42），可得-[4]则解为——[5]改用极坐标（如右图）,令：则解（5）在形式上可以简化为：——[6]31第31页，课件共51页，创作于2023年2月注意有以下两个关系式：则[6]可改写为：——（10.45）对于MacDonald函数（函数随x的变化规律）也在该书p.324图69给出：，可参见郭书p.322，其渐进性质随当，其中当当，这表明，积分（10.45）是收敛的。32第32页，课件共51页，创作于2023年2月～Rossby形变半径（2200km，相当于60度纬度情形），从而可算出初刻速度：因此，完全可用数值方法对（10.45）进行计算：[1]由（10.31）第一式知，由初始时刻的速度场和气压场可得[2]代之入（10.45）可求出[3]再由定常下的地转关系，可求出奥布霍夫还计算了一个特殊的例子，他假定起始时刻气压场是均匀的：，流场为一个轴对称的涡旋。而初始速度场由如下流函数表示：——（10.46）这里的～涡旋半径（取500km），～速度尺度（10）33第33页，课件共51页，创作于2023年2月——（10.47）此外，由（10.46）可以决定出——（10.48）——（10.49）进而可求出达到适应后的速度场和气压场：——（10.50）——（10.51）相应的结果如右图所示，红线表气压场，蓝线表风场。虚线表起始时刻，实线表适应最后状态。34第34页，课件共51页，创作于2023年2月结论：适应过程中，流场变化不大但气压场却发生了根本变化，即没有气压场支持的非地转风场可以形成一个气压场与之相适应。这也就是气压场适应流场。另外，叶笃正算了一个相反的例子，设初刻无风场而只有气压场：——（10.52）则可求得适应后的——（10.53），则初刻与适应后的中心气压之比为：（计算中注意：）结论：适应后的气压场比初始气压场小78倍。没有风场支持的非地转气压场在适应过程中将趋于消灭。35第35页，课件共51页，创作于2023年2月（就是Rossby变形半径！）的相对大小。§10.3.5地转适应与初始扰动尺度的关系在上一小节中，我们给出了奥布霍夫和叶笃正对正压适应过程的研究结果：无气压场支持的非地转风场，是由气压场去适应风场，无风场支持的非地转气压场，在适应过程中将趋于消亡。这里有两点要注意：罗斯贝、奥布霍夫均认为：气压场适应风场，这是对古典气压场决定风场观点的挑战。叶笃正、曾庆存进一步研究发现：实际上风场也可以去适应气压场，取决于初始扰动尺度L与一个临界值

当然，就上小节的例子而言，起始非地转扰动尺度就是涡旋半径R。对奥布霍夫计算的例子（初刻无气压场），有如下之风速比值：——（10.56），可见：适应前后风速变化不大风场可以维持气压场要向风

场适应；适应后风速甚小于初刻风速风场不能维持！36第36页，课件共51页，创作于2023年2月同样，对叶笃正的例子（起始无风场），则有如下之气压比值：——（10.57）气压场不能维持若只看R以内的情况：风场将适应气压场，从而达到地转平衡。气压场可以维持，总结：时，气压场要适应风场（如图10.4）；时，风场将适应气压场。37第37页，课件共51页，创作于2023年2月其实，对正压适应方程组（10.18）作尺度分析也可得出相同结果：由（10.23）若风、压场满足地转风关系，则，那么地转风涡度，这表明，气压场可由表出：——[*]即有以下(1),(2),(3)式：（1）散度场通过旋转作用可调整涡旋场。考（10.18）：38第38页，课件共51页，创作于2023年2月39第39页，课件共51页，创作于2023年2月表明：另外在（10.58）中，倘，则说明适应过程中风场变化比气压场地转适应的方向是风场去适应气压场。具体可以求下列比值：变化快～——（10.59）时，适应过程中涡旋场变化快于气压场，即涡旋场去适应气压场；时，适应过程中涡旋场变化慢于气压场，即气压场去适应涡旋场。40第40页，课件共51页，创作于2023年2月物理解释：1.若初刻无气压场支持→质点只受柯作用→

非地转平衡。则柯导致南边质量堆积→产生南高北低气压场去适应风场→最后梯－柯平衡→达到地转适应。2.若初刻无风场支持→质点只受梯作用→非地转平衡，则梯导致南风（填塞作用）→南风导致向东柯氏力→进而出现西风→西风又引出向南柯氏力，与梯平衡→进而达到地转平衡，进入地转适应终态。可以想见：若初刻气压场范围太小，则尚未达到地转平衡时，初刻气压场已被南风引起的质量向北输送而填塞，这就是为什么只有时，风场才能适应气压场。41第41页，课件共51页，创作于2023年2月§10.3斜压大气中的地转适应过程以上讨论了正压地转适应过程及其机制，注意：正压大气中运动是纯水平的，扰动没有垂直结构，也不牵涉层结的影响。例如干绝热运动就是一种自动正压大气，当气块受扰后，其运动按干绝热率（气块）与其环境空气仍然为静力平衡中，故仍维持正压状态。变化，质点但是若大气中温度直减率不等于绝热直减率空气质点的温度（或比容）就与环境空气的温度（或比容）不同，这样，大气就变成斜压了！正压地转适应过程没有考虑层结和扰动的垂直分布，其中的波动是惯性－重力外波；考虑斜压大气后，适应过程有新的特点，主要是因为其波动是惯性－重力内波。下面予以简要讨论：，则受扰动后，42第42页，课件共51页，创作于2023年2月P坐标下的运动方程，连续方程及热力学方程（p.72（4.35）式，为简化仍设绝热）如下：对上述方程组进行线性化处理，设则有线性化后的扰动量方程组（为图简便可省去’号）：——（10.60）43第43页，课件共51页，创作于2023年2月视f为常数第4式对p求导后再将连续方程代入消去，则可得：也视为常数，则（10.60）前两式作涡度运算和散度运算，——（10.61）引进流函数和速度势函数，并以无量纲气压代替p，则有：该方程与奥布霍夫的正压地转适应方程组颇为类似，这就是基别尔、曾庆存的斜压适应过程方程组。——（10.62）44第44页，课件共51页，创作于2023年2月为了讨论方便，（10.62）还可以进一步改写为：这是因为：，再将代入，对求导也就是对空间垂直坐标p求导，与时间坐标t独立，故可互换故有：（1）-----(10.63)45第45页，课件共51页，创作于2023年2月，再作运算：代之入（3）’中的第一项，整理，可得：（2）p.246－7）解：一维正压适应方程组为：46第46页，课件共51页，创作于2023年2月2.由（2）知，初刻大气静止，初刻大气是静止的，，而气压场（自由面）如图，自由面有向南的气压梯度。此即初刻为无风场支持的非地转气压场。北高南低而，其前负号有效，将导致，初刻大气静止，故将使今后出现出现北风（y的负方向）。3.再由（1）知，此北风会导致初刻静止，故只会使下一刻出现此东风从无到有，由小到大，逐渐去与北高南低的气压场平衡。东风（垂直于纸面向里），这表明，4.与此同时，北风还会导致内质量辐合；内