新教材数学人教A版选择性课件211倾斜角与斜率

第二章直线和圆的方程直线的倾斜角与斜率倾斜角与斜率1.直线的倾斜角(1)直线的方向:在平面直角坐标系中,规定水平直线的方向_____,其他直线_____的方向为这条直线的方向.(2)定义:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴_____与直线l___________之间所成的角.(3)特例:直线l与x轴平行或重合时,倾斜角为0°.(4)范围:_____________.(5)本质:从形的角度刻画直线相对于x轴的倾斜程度.必备知识·素养奠基正向向上的方向向右向上0°≤α<180°【思考】(1)如图:直线l的倾斜角是30°吗?提示:不是,直线l的倾斜角为150°.(2)倾斜角相等的直线的倾斜程度是否相同?提示:倾斜角相等的直线的倾斜程度相同.2.斜率的概念(1)定义:一条直线的倾斜角α的正切值.(2)特例:倾斜角是90°的直线没有斜率.(3)记法:k=tanα.【思考】为什么倾斜角为90°时,直线没有斜率?提示:当α=90°时,tanα不存在,由斜率的定义,可知此时直线斜率不存在.3.经过两个点的直线的斜率公式经过两个点P1(x1,y1),P(x2,y2),x1≠x2的直线的斜率:k=_______.【思考】利用过两点的直线的斜率公式能求任意一条直线的斜率吗?为什么?提示:不能,当直线与x轴垂直时,无意义.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)倾斜角为α的直线只有一条. ()(2)一条直线一定有倾斜角,也一定有斜率. ()(3)直线的倾斜角越大,斜率越大. ()提示:(1)×.倾斜角相等的直线有无数条.(2)×.直线一定有倾斜角,但是不一定有斜率,如与x轴垂直的直线.(3)×.倾斜角是锐角时,斜率为正,倾斜角是钝角时,斜率为负.2.直线x=1的倾斜角和斜率分别是 ()A.45°,1 B.135°,-1C.90°,不存在 D.180°,不存在【解析】选C.直线x=1与y轴平行,所以倾斜角为90°,但斜率不存在.3.已知直线l经过两点P(1,2),Q(-2,1),那么直线l的斜率为

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【解析】直线l的斜率.答案:

关键能力·素养形成类型一直线倾斜角、斜率的概念【典例】1.下列叙述中不正确的是 ()A.若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应B.每一条直线都对应唯一一个倾斜角C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°D.若直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tanα2.已知直线l1的倾斜角为α,则l1关于y轴对称的直线l2的倾斜角用α表示为

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【思维·引】1.利用倾斜角、斜率的概念判断.2.作出图形,利用直线间的关系得出两直线倾斜角的关系.【解析】1.选中若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应,正确;B中每一条直线都对应唯一一个倾斜角,正确.C中与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°,正确;D中若直线的倾斜角为α,α=90°时,则直线的斜率不存在,因此不正确.2.由l1与l2关于y轴对称,得l1,l2的位置关系如图①,图②两种情况,分析得l2的倾斜角为180°-α.答案:180°-α【内化·悟】若一条直线存在斜率,那么这条直线的倾斜角有什么特点?提示:如果一条直线存在斜率,则倾斜角不等于90°.【类题·通】1.求直线倾斜角的方法及关注点(1)定义法:根据题意画出图形,结合倾斜角的定义找倾斜角.(2)关注点:结合图形求角时,应注意平面几何知识的应用,如三角形内角和定理及其有关推论.2.关于直线的斜率定义的前提是α≠90°,即α=90°时没有斜率,所以直线的倾斜角与斜率之间不是一一对应的.【习练·破】1.下列说法中正确的个数是 ()①若两直线的倾斜角相等,则它们的斜率也一定相等;②一条直线的倾斜角为-30°;③倾斜角为0°的直线只有一条;④直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α<180°}与直线集合建立了一一对应关系.

【解析】选A.若两直线的倾斜角为90°,则它们的斜率不存在,①错;直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°,②错;所有垂直于y轴的直线倾斜角均为0°,③错;不同的直线可以有相同的倾斜角,④错.2.如图,直线l1的倾斜角是150°,l2⊥l1,l2与x轴相交于点A,l2与l1相交于点B,l1与x轴交于点C,l3平分∠BAC,则l3的倾斜角为 ()A.60° B.45° C.30° D.20°【解析】选C.由题意知∠BAC+∠ABC=150°,即∠BAC+90°=150°,则∠BAC=60°,所以l3的倾斜角为30°.类型二直线倾斜角、斜率的计算【典例】1.若A(1,0),B(-3,m),直线AB的斜率为-,则m= ()

2.若直线过点(1,3),(4,),则此直线的倾斜角是 ()A. B. C. D.3.已知点M(0,b)与点N(-,1)连成直线的倾斜角为120°,则b=

.【思维·引】1.代入斜率公式,解出m.2.先计算斜率,再求倾斜角.3.先由倾斜角得出斜率,再利用公式求值.【解析】1.选C.A(1,0),B(-3,m),直线AB的斜率为-,所以,解得:m=2.2.选A.直线过点(1,3),(4,),则直线的斜率,所以此直线的倾斜角是.3. ,解得b=-2.答案:-2【内化·悟】利用斜率公式时需要注意什么?提示:先要考查是否满足公式条件x1≠x2.【类题·通】1.熟记特殊角的正切值倾斜角α0°30°45°60°120°135°150°斜率k0

1

-1

2.利用斜率公式求直线的斜率应遵循的原则(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”,即直线不与x轴垂直,因为当直线与x轴垂直时,斜率的计算公式无意义.(2)斜率公式与两点P1,P2的先后顺序无关,也就是说公式中的x1与x2,y1与y2可以同时交换位置.【习练·破】若直线经过两点A(m,2),B,且倾斜角为45°,则m的值为 () C. D.【解析】选A.经过两点A(m,2),B的直线的斜率为,又直线的倾斜角为45°,所以=tan45°=1,即m=2.类型三斜率与倾斜角的应用角度1求斜率的范围【典例】直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段总有公共点,则直线l斜率的取值范围是 ()A.[,1] B.(-∞,]∪[1,+∞)C.(-∞,] D.[1,+∞)【思维·引】借助图形确定斜率的范围.【解析】选B.如图:当直线l过点B时设直线l的斜率为k1,则,当直线l过点A时设直线l的斜率为k2,则,所以要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率的取值范围是(-∞,-]∪[1,+∞).【素养·探】在求斜率的范围时,需要用到核心素养中的直观想象,利用直线位置的变化找出斜率的界点,从而确定斜率的范围.将本例中点A,B改为A(-3,4),B(3,2),试求直线l斜率的取值范围.【解析】因为点A(-3,4),B(3,2),如图,过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点,所以直线l的斜率k≥kPB或k≤kPA,因为PA的斜率为,PB的斜率为,所以直线l的斜率k≥1或k≤-1.角度2三点共线问题【典例】若三点A(2,-3),B(4,3),C(5,k)在同一条直线上,则实数k=

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【思维·引】利用AB和AC的斜率相等.【解析】因为A(2,-3),B(4,3),C(5,k)在同一条直线上,所以kAB=kAC,,,所以,即k=6.答案:6【类题·通】1.用斜率公式解决三点共线的方法2.直线的斜率与倾斜角的函数关系直线的斜率k=tanα,0°≤α<180°且α≠90°.3.求代数式最值或范围的方法由斜率公式的形式,可知代数式的几何意义是过P(x,y)与P＇(a,b)两点的直线的斜率.故可以利用数形结合来求解.【习练·破】1.若三点A(3,1),B(-2,b),C(8,11)在同一直线上,则实数b等于 ()

【解析】选D.因为三点A(3,1),B(-2,b),C(8,11)在同一直线上,所以kAC=kAB,即,解得b=-9.2.已知点P(-1,-1),另有两点A(1,0),B(0,1),若过点P的直线l与线段AB有交点,则直线l的斜率取值范围为

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【解析】因为A(1,0),B(0,1),又过点P的直线l与线段AB有交点,所以直线l的斜率的取值范围为.答案:

【加练·固】直线l过点P(-1,2)且与以点M(-3,-2),N(4,0)为端点的线段恒相交,则l的斜率取值范围是 ()A.[-,5] B.[-,0)∪(0,2]C.(-∞,-]∪[5,+∞) D.(-∞,-]∪[2,+∞)【解析】选D.如图,因为P(-1,2),M(-3,-2),N(4,0),所以

,.由图可知,使直线l与线段MN相交的直线l的斜率取值范围是(-∞,]∪[2,+∞).课堂检测·素养达标1.如图中α能表示直线l的倾斜角的是 ()【解析】选A.结合直线l的倾斜角的定义可知A可以.2.若直线过点A(1,2),B(2,3),则此直线AB的倾斜角是 ()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】选B.因为直线过点A(1,2),B(2,3),所以,设AB的倾斜角为α(0°≤α<180°),则tanα=1,即α=45°.3.若A,B两点的纵坐标相等,则直线AB的倾斜角为 ()A.0° B.45° C.90° D.180°【解析】选A.因为A,B两点的纵坐标相等,所以直线AB平行或重合于x轴,则直线AB的倾斜角为0°.4.已知倾斜角为45°的直线经过点A(2m,3),B(2,-3),则m的值为

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【解析】由题意可得,解得m=4.答案:4【新情境·新思维】若直线l经过A(