毕业论文-双闭室薄壁箱型截面梁桥的弯扭振动分析

河北工程大学土木工程学院毕业论文2013年PAGE毕业论文双闭室薄壁箱型截面梁桥的弯扭振动分析河北工程大学2013年6月

摘要薄壁结构在相同的截面面积情况下有较大抗弯惯性矩和抗扭刚度，具备良好的结构性能，在现代各种建筑结构和桥梁结构中得到广泛应用。而在满足同样力学性能的时候，薄壁结构拥有更为轻盈的自重，能有效节约材料。更能适应现代节能减排的社会需要。因此，结构的抗震与动力特性计算非常重要，而振动分析也成为薄壁杆件分析重要的一部分。本文基于薄壁杆件的双向弯曲和约束扭转理论，建立了箱形截面桥梁的力学模型,摒弃了初等梁理论和乌曼斯基理论对纵向翘曲位移的假定，导出了基于线性插值函数的纵向翘曲位移函数表达式，通过对偶变量的引入导出了在动力特性下箱形截面桥梁弯扭的哈密顿对偶求解体系。对此求解体系，运用两端边值问题的精细积分法，通过MATLAB语言编的广义位移制的程序求解结构和广义力，分析箱形截面桥梁在弯扭作用下的竖向位移和翘曲应力，通过算例的求解并与其他方法对比，表明本文方法的合理性与可行性，并得到了影响箱形截面桥梁竖向位移和翘曲应力的主要因素，为薄壁桥梁的设计提供参考，对工程实例具有一定指导作用。本文应用的是基于精细积分的插值函数分析薄壁结构的理论方法。编制了普遍适用于各种形式的薄壁梁桥的MATLAB程序。解决了在弯扭作用下振动特性分析计算。本课题的研究成果将对工程的设计等工作具有一定的现实意义。关键词:薄壁箱型梁，弯扭作用，振动分析，插值函数，哈密顿理论，精细积分法AbstractThin-walledstructurehasalargerbendingmomentofinertiaandtorsionalstiffnessintheareaundertheconditionofsame.Thin-walledstructurehasgoodperformanceofstructure,Thin-walledstructureshavebeenwidelyusedinmodernbuildingstructureandbridgestructure.Intimetomeetthesamemechanicalpropertiesofthin-walledstructurehasamorelightweight,itwillcaneffectivelysavematerial.Itcanadapttothesocialneedsofmodernenergy-savingemissionreduction.So,anti-seismiccalculationandthedynamicpropertiesofthestructureisveryimportant.Thevibrationanalysisofthin-walledbarhasalsobecomeanimportantpartofit.Inthispaper,basedonthethin-walledbiaxialbendingandtorsionconstrainttheory.Itwillbuiltbox-sectionbridge’smechanicalmodel.Abandonedelementarybeamtheoryandthetheoryofkaumanskyassumedlongitudinalwarpingdisplacement.Basedonlinearinterpolationfunctionisderivedlongitudinalwarpingdisplacementfunctionexpression.ThroughtheintroductionofthedualvariablesarederivedunderthedynamiccharacteristicsofboxgirderbridgestorsionHamiltoniansystemofdualsolution.Thissolutionsystem.WeusebothendsoftheboundaryvalueproblemspreciseintegrationmethodforandthroughtheMATLABlanguageseriesgeneralizeddisplacementsystemstructureandtheprocedureforsolvingthegeneralizedforce.Analysisofbox-sectiontorsionbridgeverticaldisplacementundertheactionofstressesandwarpage.Solvingbyanexampleandcomparisonwithothermethods,showthatthemethodisreasonableandfeasible.Andhasbeenaffectedbox-sectionbridgeverticaldisplacementandwarpingstressthemainfactors.Itwillprovidereferenceforthedesignofthin-walledbridges,andhaveacertainroleinguidingprojectexamples.Thisapplicationisbasedonthepreciseintegrationmethodoftheinterpolationfunctionanalysisofthin-walledstructurestheoreticalapproach.Compiledagenerallyapplicabletoallformsofthin-walledbeambridge’sMATLAB.Itsolvesthedynamiccharacteristicsunderbendingandtorsionanalysisandcalculation.Theresearchresultshavecertainpracticalsignificanceforengineeringdesign.Keywords:Thin-walledboxgirder,Bendingandtorsioneffect,Dynamiceffects,Interpolationfunction,Hamiltoniantheory,Preciseintegrationmethod目录TOC\o"1-2"\h\z\u摘要Abstract1绪论 11.1薄壁结构的发展与应用 11.2箱形截面桥梁结构简介 11.3薄壁箱型截面桥梁结构的研究现状和分析方法 21.4薄壁箱梁的振动分析 41.5本文的主要研究内容 61.6重点解决的关键问题 62箱梁结构自由振动分析的哈密顿体系 72.1动力方程 72.2拉格朗日函数 82.3哈密顿函数与正则方程 82.4本章小结 103双闭室薄壁箱型截面梁桥的弯扭振动分析 113.1箱形截面桥梁的计算模型 113.2坐标系及基本假定 113.3薄壁箱形截面桥梁在弯扭作用下的插值法 133.4本章小结 204工程算例 214.1算例1 214.2算例2 234.3本章小结 245结论与展望 25致谢 26参考文献 27附录一 29附录二 34PAGE40双闭室薄壁箱型截面梁桥的弯扭振动分析学生：指导教师：教授河北工程大学土木工程学院土木工程专业建筑结构与施工管理方向1绪论1.1薄壁结构的发展与应用薄壁杆件分：开口、闭口、混合三种截面形式。开口断面是但连通的，没有闭合的闭室。闭口断面是多连通的，有封闭的闭室。只有一个闭室的称作单闭室断面。有多个闭室的断面称为多闭室断面。兼有开口与闭口部分的断面称为混合断面。薄壁杆件结构，能充分发挥材料性能，节约资源。适应了节能减排的需要，从而在大型工程中取得了普遍的认可，应用在各种领域。薄壁结构以其优越的性能满足了，桥梁设计的需要。如在桥梁中广泛应用的箱型梁。此外薄壁结构也广泛应用与各个领域中，如钢结构建筑中的工字钢，高层中的剪力墙，和大型航空、航海工具等都是薄壁结构体系。1.2箱形截面桥梁结构简介横截面呈一个或几个封闭箱形的梁桥简称为箱形梁桥。这种结构除了梁肋和上部翼缘板外，在底部尚有扩展的底板，具有较大的混凝土面积，能有效地抵抗正负弯矩，并满足配筋的要求，适应具有正负弯矩的结构，如连续梁等。并且箱形截面在一定的截面面积下能获得较大的抗弯惯性矩，抗扭刚度也特别大，在偏心荷载作用下各梁肋的受力比较均匀。此外，箱形截面桥梁的承重结构与传力结构相结合，使各部件共同受力，在达到经济效果的同时，截面利用效率也较高。对于宽桥，由于抗扭刚度大，跨中无需设置横隔板就能获得满意的荷载横向分布，适于修建曲线桥，具有较大的适用范围，能很好适应布置管线等公共设施的要求。因此箱形截面在较大跨径的桥梁工程中应用比较广泛。显然，箱形截面有很多优点，也存在一些不足之处，需要引进设计者的充分重视。如箱形截面属薄壁结构，除受力钢筋外，还需配置大量构造钢筋，这对于中等跨径的桥梁，有时会导致用钢量比工字形或T形截面增多。而对于大跨径桥梁，由于箱形截面是实腹式梁，比起空腹式的桁架结构自重大。减轻自重是大跨径桥梁的重要课题，在设计时必须采取措施减轻自重，以节省材料，使造价经济。近年来由于三向（即纵向、横向、竖向）预应力的应用，可以采用薄壁、少肋的所谓宽箱截面，收到了良好的经济效果。作用在箱形梁上的主要荷载是恒载与活载。在偏心荷载作用下，箱形截面梁桥既产生对称弯曲又产生扭转。在偏心荷载作用下，箱形截面梁桥将产生纵向弯曲、扭转、畸变及横向挠曲四种基本变形。因此，在计入剪力滞效应以后，作用于箱形截面梁桥的外力使其产生了弯、扭、剪力滞的耦合，增加了对此种情况下结构分析的难度。1.3薄壁箱型截面桥梁结构的研究现状和分析方法近年来，随着土木工程的发展越来越快。由于箱形截面具有良好的结构性能，因而在现代各种桥梁工程中越来越多的使用箱形截面梁，尤其在大跨桥梁工程的建设中。因为箱形截面形式和构件的特点可以很好的满足工程需要，在这种情况下，越来越多结构形式的桥梁在设计施工中梁的形式使用箱形截面。在各种工程中箱形截面越来越多的被应用，为了更好的利用箱梁的特点，更好的掌握箱形结构的受力情况，国内外很多的学者对箱梁进行了进一步的研究和分析。1.3.1薄壁箱梁的理论研究二十世纪四五十年代，符拉索夫针对由平板围成的闭口薄壁箱梁，提出广义坐标法这一新的约束扭转计算方法，创立了广义坐标和广义位移的概念考虑了梁截面的外形轮廓线变形，成为对箱形梁分析的一种基础。虽然该理论自称具有较高的计算精度，但其理论推导和方程的求解都比较复杂，故并没有在实际工程中得到普遍应用。在国内，韦芳芳,吴京,冯健,吕志涛,吴胜兴[1]在符拉索夫广义坐标法初参数方程的基础上,推导出可用于均布扭转荷载作用下薄壁箱梁翘曲分析的刚度矩阵,该刚度矩阵具有较高的单元精度,可用于由较多薄壁箱梁组成的复杂结构的整体有限元分析。通过对广义坐标法刚度矩阵和乌曼斯基理论、修正乌曼斯基理论求得薄壁箱梁的位移和应力进行分析比较,为各方法在实际工程中的应用提供一定的参考。1.3.2早期修建的箱形梁一般为中等跨径，采用多箱或单箱多室截面，分析方法沿用荷载横向分布的概念，考虑结构的整体作用。即将箱形截面分割成若干工字形梁来进行计算，不考虑箱形截面的整体抗扭刚度，显然是粗糙的近似方法，不是很实用。后来由于大跨径单箱薄壁箱形梁的修建才将箱形梁作为受弯受扭的薄壁杆件来进行分析。近年来由于有限元法的发展，又将箱形梁作为折板或壳体来进行分析。长期以来，国内外学者为解决箱形梁的计算问题，发表了数以百计的学术论文，指出了精确的或实用的计算方法。概括起来，这些计算方法可分两大类，即解析法和数值法。（1）解析法箱形截面梁的受力是一个复杂的结构空间分析问题。为了把问题简化，在解析法中往往采用一些假定和近似方法处理。如将作用于箱形梁的偏心荷载分解成对称荷载与反对称荷载。对称荷载作用时，按梁的弯曲理论求解；反对称荷载作用时，按薄壁杆件扭转理论分析；然后将两者计算结果叠加。扭转分析又根据截面的刚度区分为截面不变形（刚性扭转）和截面变形（畸变）两种情况。解题的一般步骤是：先假定位移模式；有了位移后，可求得截面上各点的应变和应力；在此基础上，或用力的平衡条件和变形协调条件，或根据变分原理建立控制微分方程；解微分方程便得位移和应力。（2）数值法数值分析法主要是有限单元法、有限条法、有限差分法、有线段法等。有限单元法：有限单元法是在六七年代发展起来的强有力的数值分析方法，用它可以分析形状十分复杂的非均质的各种实际的工程结构，可以在计算中模拟各种复杂的材料本构关系、荷载和边界条件，通过前后处理技术实现图形化的方案比较和结果的图形化显示。Moffatt和Dowling[2]通过有限单元法对影响箱梁剪力滞效应的各种参数作了系统的分析与研究，提出了各种荷载下的不同宽跨比、支承形式、截面加劲情况的有效宽度比，这些分析结果已纳入到“英国标准桥梁规范”有关组合梁剪力滞计算准则中去。黄剑源教授[3]用有限单元法计算了变截面箱形连续梁桥的剪力滞效应。有限条法：有限条法是从有限单元法发展出来的一种半解析法，它利用等效分解，把结构看做是由很多条薄板组成的，单独分析每一条单元，利用一种合理的位移函数表示单元边界支撑条件。利用有限条法，理论上可以应用于各种边界条件的箱梁、壳板结构的分析中。如今有限条法通过两节线的低阶有限曲条和三节线的高阶有限曲条建立方程，已经成功地用于分析简支的箱梁直桥和箱梁曲桥中，并且取得了相对精确的结果。此法是分析等截面简支梁桥的有效方法。国内外许多学者采用了这种方法分析箱形梁的剪力滞。目前，有限条法应用于变截面箱梁仍有一定的困难。有限差分法：有限差分法是一种传统的方法，此法是在能量变分法所求得的剪力滞微分方程组基础上，给出相应的有限差分格式，进行变截面箱梁桥的剪力滞分析。与有限元方法相比，有限差分法在取相同单元数时的计算精度比有限单元法高。有限段法：有限段法也是从有限单元法发展出来的一种半解析法。罗旗帜教授首先提出了一种分析剪力滞效应的有限段法[4]，该法以剪力滞微分方程的齐次解为位移模式，建立了平面梁单元的半解析有限段模型，将三维空间问题简化为一维空间，实现了在结构分析中自动计入剪力滞效应的功能。模型试验：所有大型工程项目建造时都必须许进行模型试验，模型试验可以为结构的计算提供资料，也可验证结构计算结果的实用性。在没有规范涉及的巨型工程中，模型试验是不可或缺的。1.4薄壁箱梁的振动分析随着土木工程的飞速发展，尤其是大跨桥梁工程的建设。在箱形截面形式和构件的材料应用有了新的发展的基础上，各种结构形式的预应力混凝土桥梁，采用箱形截面尤其能适应构造和施工要求。薄壁箱形截面以其诸多优点在土木工程尤其是桥梁上得到了大量的运用。由于箱形结构自身的特点,箱形截面的受力非常复杂,其中剪力滞表现比较突出,对于箱梁静力分析较为完善,而对于其动力特性研究较少。一般计算箱梁的振动频率也不考虑剪力滞效应的影响,往往导致计算结果与实际结构有较大的偏差,对箱梁结构的动力分析带来不利影响。而对箱梁的自振的精确分析也以有限元为主,不仅计算量较大,且无法得到显式结果。由于箱形截面的广泛应用，箱形结构的受力分析引起了国内外学者的普遍关注。谢旭，黄剑源[5~6]假定新的纵向位移函数，使位移函数能满足力学基本条件，通过变分原理建立了薄壁箱梁弯曲变形的微分方程及单元刚度系数计算公式。推出的刚度法计算结果与实测及有限元法的结果进行了比较分析。他们运用一般杆系结构刚度法原理,通过对普通杆件增加四个节点位移未知量,推导出了约束扭转下翘曲、畸变和剪力滞效应的箱形梁空间单元刚度矩阵和均布荷载作用下的等效节点力向量计算式,使箱形梁桥结构分析可按一般杆系结构刚度法进行,减少了计算自由度和简化了许多数据准备,数据分析工作。陈淮,曾庆元[7]根据薄壁箱梁的结构特点,考虑实际工程中薄壁箱梁顶板和翼缘板不等厚度的实际情况,按薄壁箱形梁约束扭转理论,对桥梁工程中常用的箱形截面扭转中心位置计算公式进行理论推导。在箱形梁的底板中点虚开1个切口,把箱形梁截面上的剪力流分为开口截面剪力流和切口上的附加剪力流之和,利用这2种剪力流对切口引起的相对变形为零的条件,推导出计算单箱单室箱形截面扭转中心位置的显式表达式。箱形梁的结构分析中，一维梁单元是较简单的有限梁段单元法，是由我国学者罗旗帜于1991年提出的在普通梁单元节点位移模式中增加考虑剪滞效应的翼板纵向位移参数[8]，并写入其梁段单元的基本位移。有限条法是从有限元法发展出来的一种半解析方法。虽然与有限元法相比，它具有简单、精度高、计算量小的优点，但将其用于变截面箱梁仍存在一定的困难。后两种方法是变分法中变系数微分方程式的两种半数值解析法。因为变高度箱梁剪滞基本方程为变系数微分方程，直接求取该方程的解析解比较困难，于是可以把变量表示为差分格式或三角函数形式，得到变量的近似解。箱型桥梁的剪力滞效应是比较常见的，国内外许多学者致力于该问题的研究，分别从解析理论、数值解法和模型试验等方面对剪力滞问题提出了许多新设想和新理论，获得了许多研究成果。对于闭口截面薄壁结构Benscoter[9]提出的用于广义多元截面薄壁结构的理论，他考虑了转动惯量和翘曲位移；Liu[10]运用连续化方法提出了框筒结构自由振动分析的能量方法。上面提到的这些方法大部分只适用于一定形式的薄壁结构，对于比较复杂的截面形式，这些方法往往无能为力。而且由于他们使用线性函数或多项式作为纵向翘曲位移插值函数，计算精度受到限制。近两年，国内外又有一些学者提出了分析薄壁结构动力特性的新方法。如杨平[11]等人进行的偏心周期载荷作用下薄壁结构动力特性分析，在分析中运用加权残值法将运动的薄壁结构偏微分方程转化为耦合的带周期性系数的Mathien方程。在他的方法中，能够反映弯扭耦合作用。在时域内取级数进行分析。1997年，张英世[12]等人进行了开口薄壁结构的约束扭转振动分析，建立开口薄壁杆约束扭转振动的微分方程，并求其通解，给出主振型函数的表达式，及常见支承条件下杆的频率方程。以上的方法没有考虑剪切变形的影响。甘亚南,周广春等[13~15]以能量变分原理为基础,综合考虑剪力滞后效应、剪切变形和转动惯量的影响,推导出箱形截面梁的控制微分方程和相应的自然边界条件,据此获得几种常用边界条件(简支、悬臂、连续、两端固支)的固有频率方程,提出一种能对工程中常用矩形薄壁箱梁自振特性进行分析的方法。同时为了研究薄壁箱梁的动力反应特性,考虑了剪力滞后和剪切变形效应的影响,利用能量变分原理建立了矩形截面箱梁动力反应关于w(x,t),u(x,t)和H(x,t)的控制微分方程和自然边界条件。据此对薄壁箱梁的动力反应特性进行了研究,获得了相应广义位移的闭合解,揭示了箱形梁桥动力反应的规律。Li和Ho[16]提出了考虑剪切变形的位移变分原理，对Vlasov理论进行了修正，考虑了剪力滞后效应，这种方法适用于复杂的开口和闭口截面构件。他们的方法均使用线性函数描述翘曲位移。Laudiero提出了一种用于薄壁梁动力分析的普遍方法。在他的方法中，考虑了剪切变形的影响，翘曲位移是由经典理论解和剪切应变引起的附加项组成。康琦，马麟，徐岳，刘世忠[17~20]等建立了薄壁箱型梁桥在任意荷载作用下考虑剪力滞剪切变形影响的振动分析理论体系,为分析薄壁箱型桥梁等结构振动时的剪力滞剪切变形效应提供了计算手段。采用变分原理,推导了考虑剪力滞剪切变形效应的薄壁箱梁振动控制微分方程、边界及初始条件,探讨了方程的解法,建立了方程解的差分格式,并论证了差分格式的稳定性、收敛性。同时表明:在薄壁箱梁振动时,剪力滞效应和剪切变形使跨中位移明显增大,应力集中现象明显,且剪力滞的影响比剪切变形的影响要大。Xin[21]将上述用于稳定分析的半解析方法用于振动分析，通过Hamilton变分原理得出一组微分方程和边界条件，然后用ODE求解器求解，得出振动频率和相应的振型。这种分析方法考虑了剪切变形的影响，可以反映剪力滞后效应。目前,将解析法应用于此类问题的动力分析还不多见,动力分析中最常用的方法是数值法,特别是有限元法。。1989年，W.Y.Li、L.G.Tham.和Y,K,Cheung[22]等人将样条有限条法引入壳体的自由振动分析中。1993年，A.S.Gendy和A.F.Saleab[23]等人，研究了薄壁曲梁的弯扭耦合振动，给出了相应的振型和频率，方法考虑了弯扭耦合效应，弯扭引起的剪切变形，以及转动惯量。Jerzy.W.Wekezer研究了开口截面薄壁梁的自由振动应用有限元方法进行分析，在构件纵向分成许多杆单元，在截面内沿薄壁中线分成许多任意的三角形子单元。这些单元的位移由三次多项式来模拟。Wang.Q.F[24]采用有限杆元法分析了等直构件的自由振动，得出的结果很理想。张永健,黄平明[25~27]考虑到箱梁中剪力滞效应的存在,通常采用的一般梁理论计算简支箱梁的振动频率会产生较大的误差,对于宽跨比较大的简支箱梁振动计算误差尤其明显。在考虑箱梁剪力滞效应的基拙上,利用能量变分原理分析了简支箱梁的自由振动,得到了考虑剪力滞效应的简支箱梁自振基频的解析解。最后,考虑剪力滞效应对箱形梁结构自振特性的影响进行了讨论,发现考虑剪力滞效应后简支箱梁的振动基频降低,且箱梁的宽跨比对其降低程度影响最为显著。王根会,甘亚南[28~31]以能量原理为基础,在综合考虑了剪力滞后效应、剪切变形和转动惯量等因素影响的情况下,根据弯曲变形时竖向和轴向的位移关系,从理论上推导出了等截面薄壁连续箱形梁的弯曲振动方程和自然边界条件,并应用分离变量法求出了箱形连续梁固有频率方程的一般形式.作为算例,应用所推导出的动力特征方程并结合MATLAB软件对一连续的两跨、三跨及四跨薄壁箱形梁的多阶固有频率进行了计算,通过与一般梁理论和有限单元法计算结果的比较分析,证明了其研究方法的有效性和正确性。1.5本文的主要研究内容本文以薄壁结构弯扭理论和应用力学为基础，结合哈密顿对偶体系，对薄壁箱形截面桥梁结构考虑动力效应影响下的弯扭耦合情况进行分析研究。主要研究内容包括：（1）收集薄壁梁桥弯扭研究的相关资料并进行系统分析，总结当前箱型梁桥分析方法的研究现状，明确研究方向和目标；（2）假设薄壁箱型梁受到扭转作用力，对杆件简化，建立杆件分析的计算模型。（3）利用薄壁力学的方法建立整个结构的拉格朗日方程，通过勒让德变换引入对偶变量，将分析问题从拉格朗日体系导向哈密顿体系，导出问题的哈密顿对偶方程；（4）结合编制的计算机程序，求解相应问题的哈密顿对偶方程，得到其高精度数值解；（5）选择合适的算例，并用算例方法的结果与本文方法计算结果相比较，验证本文方法的精度，进而讨论弯扭作用对薄壁箱形截面梁桥结构考虑动力效应时弯扭耦合的影响。（6）指出本文方法的适用性，提出相应的分析结论1.6重点解决的关键问题本文重点解决的关键问题如下(1)选择合适的薄壁箱梁计算模型，在对其进行弯曲扭转分析时，考虑动力的影响；(2)利用薄壁力学的方法建立整个结构的拉格朗日方程，通过勒让德变换引入对偶变量，将分析问题从拉格朗日体系导向哈密顿体系，导出问题的哈密顿对偶方程；(3)将整个问题用计算机MATLAB程序实现。2箱梁结构自由振动分析的哈密顿体系2.1动力方程 动力问题中，用梁轴线的挠度和横截面的转角两个广义位移表示梁内任一点沿轴、轴和轴的位移。但是这里的两个广义位移不仅是位置的函数，也是时间的函数，这里表示成和，同样的其他与时间有关的物理量我们都以相同的形式表示。设梁的密度为，对梁的微段，由牛顿第二定律可得动力方程（2-1）利用关系（2-2）将动力方程中的内力消去，得到用位移表示的动力方程（2-3）式中分别是梁中性轴的挠度、梁截面的转角，梁截面上的剪力和弯矩。他们都是时间的函数。在分析震动问题时，对时间经常采用化为频域的方法。此时采用（2-4）其中是圆频率，于是动力方程变为（2-5）令，，（2-6）于是（2-5）可写成矩阵形式如下（2-7）2.2拉格朗日函数由动力方程（2-7）可以得到（2-8）上式即为相应于动力方程（2-7）的拉格朗日函数。2.3哈密顿函数与正则方程在哈密顿体系中，我们采取增加一类广义位移的方式，使基本未知量的数量增至个，而相应的微分方程则降低至一阶，随之方程个数增至个，方程个数与基本未知量个数相同。通常，同拉格朗日体系，n个基本未知量选用广义位移，而另外个基本未知量则引入广义动量（2-9）变量称为正则变量，由于与互为对偶，故也称为对偶变量。再引入哈密顿函数（2-10）由（2-10）式可推导哈密顿正则方程：（2-11）由式（2-9）和式（2-11）可得（2-12）此即为哈密顿正则方程。将q、p共同组成一个状态向量（2-14）于是哈密顿函数可以表述为，则可得 （2-15）为了将哈密顿正则方程(2-12)写成一个较简洁的形式，引入（2-16）即可将哈密顿正则方程(2-12)写成一个一阶微分方程（2-17）将拉格朗日函数写成向量的形式（2-18）将向量形式的拉格朗日函数(2-16)代入广义动量(2-19)，即得（2-19）式(2-18)表示了三者的关系，从中即可解出（2-20）代入哈密顿函数(2-18)即可消去q，使哈密顿函数H的表述中只剩下两类独立变量：广义位移q和广义动量p。化简后的哈密顿函数记为（2-21）式中，。将式(2-21)代入哈密顿正则方程可得（2-22）将式(1-22)写成向量形式（2-23）引用式(2-11)，将共同组成一个状态向量，则式(2-22)可合并写成一个一阶微分方程形式的哈密顿正则方程（2-24）式中，矩阵H称为哈密顿矩阵，辛的这个性质与哈密顿体系是分不开的，凡是保守体系均可纳入哈密顿体系的轨道，因此都是具有辛的性质的。2.4本章小结本章首先推导了梁自由振动分析的拉格朗日方程，然后引入广义位移的拉格朗日函数以及广义动量,建立关于对偶变量的哈密顿函数，推导出了哈密顿正则方程，为下文在弯扭基础上的振动分析做好铺垫。3双闭室薄壁箱型截面梁桥的弯扭振动分析箱型结构因其诸多优点而被广泛应用，结构弯扭作用下的振动分析显得尤为重要。箱型桥梁结构的结构的自振特性是其本身固有的极其重要的力学特性，其自振频率、振型和阻尼等动力特性只是和结构自身的质量和刚度有关，是结构本身所固有的属性，是结构振动的内因，也是结构动力学中的重要特性。阻尼的大小由试验测定，自振频率及振型则可通过计算来确定。目前，薄壁杆件结构动力分析方法有能量法，解析法。本章采用数值法，对考虑弯扭左右下的箱型截面梁桥作出假定，推导出箱型截面梁桥结构震动分析的计算公式。3.1箱形截面桥梁的计算模型箱形截面桥梁的类型很多，根据其截面形式的不同，还可再分为T形截面桥梁、槽形截面桥梁、箱形截面桥梁等结构体系。箱形截面桥梁结构实际上属于薄壁杆件，目前国内外建成的钢筋混凝土箱形截面桥梁结构，其跨度()、截面宽度(b)、壁厚(δ)大多均可满足薄壁杆件的条件。故箱形截面桥梁实质上可以看作是薄壁杆件结构的一种模型。薄壁杆件的横截面最大几何尺寸与长度相比较为小量级，它的壁厚与横截面最大几何尺寸相比也为小量级，通常满足下列关系:(3-1)式中是截面轮廓曲线s的函数，b为截面宽度或高度的最大值，为杆件的长度。3.2坐标系及基本假定薄壁杆件在外荷载作用下主要将发生弯曲和扭转，若当某些外荷载达到一定数值时，杆件还有可能发生失稳。所以，对薄壁杆件的研究主要集中在研究薄壁杆件的弯曲、扭转和稳定性问题。工程中常见的箱形截面桥梁大多采用两端扭转固定的线形支承、一端固定另一端自由等支承形式，在竖向和扭转荷载作用下，结构将发生约束扭转，在此先对乌曼斯基提出的闭口薄壁杆件的约束扭转理论进行简单介绍。乌曼斯基闭口薄壁杆件约束扭转理论是鸟曼斯基于1939年提出的，采用如下基本假定:在小变形条件下，杆件截面外形轮廓线在其自身平面内保持刚性即不变形，在截面外方向(杆轴z方向)可以任意翘曲即扭转前后截面在与纵轴垂直的截面上的投影不变。此即为符拉索夫刚周边假定。此理论方法简单且适用性强，是分析闭口薄壁杆件约束扭转问题的常用方法。进一步的研究表明，闭口薄壁杆件受截面周边变形的影响实际上是不大的，而且箱形截面桥梁内分布的横隔板起到对截面的约束作用，更使其周边变形可忽略不计，恰好迎合了符拉索夫刚周边假定。所以应用乌曼斯基闭口薄壁杆件约束扭转理论分析箱形截面桥梁结构，是一种较为合理的方法。建立如图2-1中的直角坐标系，其中为截面形心,s为截面扭心，x轴和y轴为截面的形心主惯性轴，z轴与杆件的母线平行，且通过截面形心。曲线坐标s沿杆件外形轮廓线量取，杆件截面上任一点p可由坐标z和s完全确定。现规定，位移u,v,w分别沿x,y,z轴正向为正，转角及扭角分别按右手法则绕x,y,z轴正向转动为正。xxyo图2-1选用坐标系在薄壁杆件的弯扭作用问题中，不失一般性，我们考虑杆件在平面内的弯曲，在平面内的弯曲及绕轴的扭转。在以下的薄壁杆件弯扭作用分析中，我们采用如下基本假定: 研究薄壁杆件绕z轴扭转时，将符拉索夫刚周边假定应用于截面的切向位移(3-2)式中：为截面上任一点p的切线到扭心的距离；为截面z的扭转角。②此外，沿曲线坐标s方向的环向应力和法向应力远比横截面的轴向应力小，可忽略不计。3.3薄壁箱形截面桥梁在弯扭作用下的插值法在薄壁杆件的弯扭作用问题中，为了更真实的表示薄壁杆件结构的实际变形，我们采取插值函数的思想对杆件的翘曲位移进行假定，以此达到逼近杆件实际变形的效果；将等效后的工字形薄壁结构依次划分为若干个有限宽度得到条形单元，沿条形单元的竖向真实的的连续函数（广义位移），而沿横向用插值函数来模拟翘曲位移函数：(3-3)式中:为截面所分条单元交界线处的纵向翘曲位移;为关于各交界线处纵向翘曲位移的插值函数。可以选取线性、二次、三次或其他高次插值函数来模拟杆件的实际纵向翘曲位移。此处，我们只求清晰的介绍理论，故选用较简单的分段线性插值函数来描述薄壁杆件的纵向翘曲位移：图3-2截面线性插值按图3-2依次写出(3-4a)(3-4b)(3-4c)(3-4d)(3-4e)(3-4f(3-4g)式中：——表示第i点的曲线坐标，设箱形截面左上角点为初始坐标，顺时针依次为（如图3-2所示）；——表示薄壁杆件截面各分段间距，其值等于。将公式（3-4）求导，得（3-5a）（3-5b）（3-5c）（3-5d）（3-5e）（3-5f）（3-5g）引用向量，则纵向翘曲位移函数用向量的形式可表示为（3-6）3.3.1箱型截面桥梁的哈密顿对偶方程和拉格朗日方程由几何方程可知:（3-7a）由物理方程可知：（3-7b）将公式(3-6)代入应变表达式(3-7)，可得用包含描述纵向位移的插值函数的向量表示的轴向应变和剪应变，分别为(3-8)式中则体系总势能为：（3-9）式中：E、G——分别为材料的弹性模量和剪切模量；——圣维南扭转常数，其值等于——截面z的扭转角；——分别为箱形截面桥梁受到沿纵向变化的分布荷载；——箱形截面桥梁受到的扭矩；，为箱形截面桥梁所产生的轴向应变能；；；；；——分别为截面绕x、y轴的惯性矩，其值分别为，；——绕扭心的极惯性矩，其值等于；——与布雷特剪应力对应的扭转惯性矩，其值等于；——沿x方向的剪切面积，其值等于；——混合剪切面积，其值等于；——沿y方向的剪切面积，其值等于；——x方向的剪切静矩，其值等于；——y方向的剪切静矩，其值等于。由体系总势能公式（3-8）可求得箱形截面桥梁的势能密度，即拉格朗日函数：（3-10）将上式写成矩阵的形式可表示为（3-11）式中：，，，拉格朗日静力平衡方程为：（3-12）由式（3-11）有：（3-13）（3-14）将式（3-13）、（3-14）带入（3-11）得：（3-15）其中，3.3.2当考虑结构自由振动时，设为结构单元的密度，在静力平衡方程式（3-15）的基础上，加上结构自由振动时的惯性力，并将相关方程改为运动方程便可得到结构的运动方程：（3-16）其中，在分析动力问题时，对时间t常采用化为频域的方法，此时采用：（3-17）将式（3-17）代入式（3-16）可得结构自振问题的动力方程：（3-18）由于自振分析时，仅考虑自身的振动特性，即涉及自身频率，阵型等动力特性问题，因此毋需施加外荷载，由此可取，带入后可知：（3-19）式中：（3-20）对比系数可得：，，为了将方程导入哈密顿对偶体系，首先导入变量的对偶变量：（3-21）解出：（2-22）导入哈密顿密度函数：（3-23）于是得到哈密顿对偶方程：（3-24）其中：，，，，令，，，则哈密顿正则方程还可表示为：（3-25）本问题中，，，接着可以运Matlab编制程序，进行求解计算，从而得到频率。3.4本章小结本章首先根据箱形截面桥梁的特点，基于薄壁杆件理论建立了箱形截面桥梁弯扭分析的计算模型，然后由模拟纵向翘曲位移的线性插值函数导出了箱形截面桥梁弯扭分析的哈密顿对偶求解体系，在由拉格朗日静力方程导出振动分析的拉格朗日方程，并可由此编制相应的Matlab分析程序，得出高精度的数值解，作为在工程中分析薄壁箱型梁在受到作用力时变形的依据。4工程算例4.1算例1如图4-1所示：某悬臂等厚双闭室箱形截面梁，跨度L=15m，其材料的力学参数和几何参数分别为：材料为钢筋混凝土，MPa，MPa，结构单元密度；截面尺寸上下翼缘宽2a=6.0m，腹板高2b=1.5m，厚度t=0.3m。LLzy图4-1（a）双壁室箱梁toyx2b2atoyx2b2a图4-1(b)双壁室箱梁图4-2截面线性插值截面性质：计算所得结果如下所示：表4-1各阶频率频率（1/s）计算结果66.5107199.5313363.54.2算例2如图4-1所示：某等厚悬臂双壁室箱形截面桥梁，跨度l=18m，其材料的力学参数和几何参数分别为：材料为钢筋混凝土，MPa，MPa，结构单元密度；截面尺寸上下翼缘宽2a=9.0m，腹板高2b=1.5m，厚度t=0.25m。截面特性；沿用图4-2截面线性插值，则有计算所得结果如下所示：表4-2各阶频率频率（1/s）计算结果54.599149.5254302.54.3本章小结本章主要讨论了薄壁箱梁结构的动力特性分析。基于薄壁梁的振动理论，将问题的求解体系从拉格朗日体系导向哈密顿体系，根据上章推导的公式，运用精细积分法求出算例的自振频率，证明了该方法的合理性、有效性和实用性。5结论与展望薄壁箱型桥梁因其结构的诸多优点而被广泛应用于大跨径桥梁，然而有许多的问题，尤其是振动特性等问题用现行的薄壁杆件理论还无法解决。所以，对薄壁箱梁结构进行研究显得非常必要，具有重大的现实意义。本文采用基于薄壁杆件结构弯扭理论的计算模型，在竖向弯曲作用下，薄壁梁将发生平面弯曲和绕扭转中心扭转两种作用。本文通过引入计算模型的对偶变量，将问题的求解从拉格朗日体系导向哈密顿对偶体系，从而导出问题的哈密顿对偶方程，然后应用两端边值问题的精细积分法求得问题的高精度数值解。以矩形薄壁梁桥为例分析了薄壁结构梁桥的应力情况以及振动频率。通过分析算例的结果，得出以下结论：1薄壁箱梁的弯扭分析：应用精细积分法及编制的相应的Matlab语言程序求解箱梁的哈密顿对偶求解体系，分析了箱梁在弯扭作用下的侧移和翘曲应力，通过与文献中其他方法所得结果的对比，验证了本文方法的正确性与可行性；所得计算结果反映了箱形截面梁应力的变化情况，符合箱形截面应力的实际变化情况。2薄壁箱梁的振动分析在结构弯扭的基础上，按照勒让德变换的规则，导入对偶变量，进而导入哈密顿对偶体系，从而得到自由振动分析的哈密顿对偶方程。通过相应的Matlab语言程序求解箱梁的振动频率。同时提出的插值精细积分法，将精细积分法的应用范围扩展到二维问题中，拓宽了其应用范围在并解决相关类似问题上提供了一种新的思路和途径。有待进一步研究的问题：（1）本文对薄壁结构在弯扭作用下的振动效应进行了分析。其假定条件是基于刚周边假定的，但复杂结构中往往会有畸变出现，不符合此项假定。考虑畸变的振动效应，有待进一步研究。（2）本文只对直线桥梁进行了计算研究。随着社会的发展，现实生活中曲线桥梁的应用越来越广泛。对曲线桥梁的研究还需进一步解决。致谢时光飞逝，四年的大学生活即将结束。在历时四年的学习生涯中，我得到众多老师和同学们的帮助和关心支持，让我在各方面都有了进步和提高。本文是在指导老师胡启平教授的精心指导和严格要求下完成的。所以首先我要感谢指导老师胡启平教授，在我写毕业论文期间耐心的为我们讲授课题研究的方法，使我树立了良好的学习态度，胡老师严谨的治学态度、求实创新的研究思想、渊博的学识，给我留下了极其深刻的印象，使我受益匪浅。在此谨向指导教师致以最崇高的敬意和最衷心的感谢。然后我要感谢我的学长汤方舟，在论文编写的过程中耐心的给我们讲解疑难问题，并在我们遇到困难时给予我们鼓舞，使得我的论文能够顺利的完成。另外我要感谢和我一起做毕业设计的所有同学以及指导我们毕业设计的所有的学长，我们一起融洽的度过了最后的三个月，在这三个月里，你们在老师不在的时候给了我很大的帮助。感谢我的09级同窗好友，感谢你们在生活上对我不断的关心，感谢你们在学习上对我有益的帮助！至此论文完成之际，我感谢教育培养我多年的父母，是你们多年辛苦的付出、与期待才才让我有了向上的动力和学习的决心，成就了今天的我。不管是过去、现在还是将来，家人永远是我不断前进的动力。在此，由衷的感谢你们。参考文献[1]韦芳芳,吴京,冯健,吕志涛,吴胜兴.薄壁箱梁广义坐标法刚度矩阵的推导及应用.计算力学学报,2007[2]ChuKH,DudnikE.Concreteboxgirderbridgesanalyzedasfoldedplates[J].Concrete[3]黄剑源,杨元忠.钱塘江二桥变截面箱型连续桥梁剪滞效应的有限元分析[J].桥梁建设,1994,(1):70～76.[4]罗旗帜.薄壁箱型梁剪力滞计算的梁段有限元法[J].湖南大学学报,1991,11(1):63～70.[5]谢旭，黄剑.薄壁箱型梁剪力滞效应分析的刚度法.工程力学，1995[6]谢旭，黄剑.薄壁箱形梁桥约束扭转下翘曲、畸变和剪滞效应的空间分析.工程力学，1995[7]陈淮，曾庆元.箱梁截面扭转中心位置的确定[J].铁道科学与工程学报，2004，1(1)：74~77[8]罗旗帜.薄壁箱形梁剪力滞计算的梁段有限元法[J].湖南大学学报，1991，(2)：33~55[9]BenscoterSU.Atheoryoftorsionbendingformulti-cellbeams.J.ofAppliedMechanics,ASME,1954,21(1):25~34[10]LiuKG.Energyvariationalsolutionusedforanalyzinghighrisebuildingstructures.J.ofBuildingStructures,1982,3:23~34(inChinese)[11]杨平，孙兰.偏心周期荷载作用下薄壁构件的动力稳定性.武汉交通科技大学学报，1998，22(4)[12]张英世.开口薄壁杆的约束扭转振动.南昌航空工业学院学报，1997，2[13]甘亚南,周广春.基于能量变分原理的薄壁箱梁自振特性分析[J].中国公路学报,2007,20(l):73一78[14]甘亚南，周广春.矩形截面箱梁动力反应的力学特性.振动、测试与诊断2011.4，31（2）[15].甘亚南,周广春.一种薄壁箱梁自振频率分析的多参数翘曲位移函数法[J].铁道学报,2007,29(5):93一98[16]LiWYandHoWK.Adisplacementvariationalmethodforfreevibrationanalysisofthin-walledmembers.JournalofSoundandVibration,1995[17]康琦,马麟,徐岳.剪力滞后剪切变形对薄壁箱梁的振动影响.江南大学学报(自然科学版)2009.2[18].刘建新,马麟,胡庆安.薄壁箱梁振动时的剪力滞效应口].郑州大学学报(工学版),2008,29(3):122一125[19].康琦,马麟,徐岳.剪力滞后剪切变形对薄壁箱梁的振动影响[J].江南大学学报(自然科学版),2009,8(1):94一98[20].刘世忠.薄壁箱梁剪力滞剪切效应自振特性分析[J8.铁道学报,2006,28(5):59一62[21]XinKG.Asemi-discretemethodusingtransformedsplinefunctionforthin-walledstructureswithsheareffects:[Ph.D.Thesis].HongKong:TheHongKong[22]W.Y.Li,L.G.ThamandY.K.Cheung.FreevibrationanalysisofdoublycurvedshellsbySplineFiniteStripMethod.J.ofSoundandVibration,1990,140(1):39~53[23]A.S.GendyandA.F.Saleeb.Vibrationanalysisofcoupledextensional/flexural/torsionalmodesofcurvedbeamswitharbitrarythin-walledsections.J.ofSoundandVibration,1994,174(2):261~274[24]Q.F.Wang.Splinefinitememberelementmethodforvibrationofthin-walledmemberswithshearlag.J.ofSoundandVibration,1997,206(3):339~352[25].张永健,黄平明.考虑剪力滞效应的简支箱梁自振特性[J].建筑科学与工程学报,2005,22(2):40一42[26].张永健,黄平明.一种计入剪力滞及剪切变形效应的箱梁自振频率计算方法[J].郑州大学学报(工学版),2007,28(1):51一55[27].张永健,黄平明,狄谨等.波形钢腹板组合箱梁自振特性与试验研究=J].交通运输工程学报,2008,8(5):76一80[28].甘亚南,吴亚平,王根会等.剪力滞效应对简支箱梁自振特性的影响研究.兰州铁道学院学报(自然科学版),2002,21(3):23一25[29].甘亚南,王根会,吴亚平.剪力滞效应对连续箱梁自振特性的影响研究[J8.兰州铁道学院学报(自然科学版),2003,22(3):41一43[30]王根会,甘亚南.连续箱梁动力特性的理论分析研究.兰州交通大学学报(自然科学版)2004.8,23(4)[31].甘亚南,李庆华.剪力滞后效应对固支及悬臂箱梁自振特性影响的研究[J].焦作工学院学报(自然科学版),2004:23(l):55一58附录一（算例一源程序）%箱型弯扭插值方法分析程序clear%节点总个数s1=3;s2=21;%广义位移总个数m=s1+s2;%结构高度或跨度L=24;%结构分段情况（数组长度为分大段数，数值为每大段分段数）Ir=[24];%断面中线每大段分段数Cr=[22];%断面中线总分段数DS=0;fori=1:length(Cr)DS=DS+Cr(i);end%断面中线每大段中小段长度Cd=[0.75];%断面每大段壁厚Bh=[0.3];%材料密度p=2500;%每小段节点信息%一般段的节点信息fori=1:19JD(1,i)=i;JD(2,i)=i+1;end%特殊段的节点信息JD(1:2,20)=[20,1];JD(1:2,21)=[5,21];JD(1:2,22)=[21,15];%断面中线每小段长度、厚度k=0;fori=1:length(Cr)forj=k+1:k+Cr(i)Ad(j)=Cd(i);At(j)=Bh(i);endk=k+Cr(i);endAE=3.0e+10;AG=1.3e+10;%分布外荷载q=zeros(2,m);%q(1,1)=100;%q(2,1)=100;%结构分段的大段数r=length(Ir);%结构分段的小段总数n=0;fori=1:rn=n+Ir(i);end%每小段的长度dL=L/n;%赋初值%结构端部支承的柔度和刚度矩阵PL=zeros(m,m);SR=zeros(m,m);%中间支承的刚度矩阵（楼板的作用可看做支承）Sf=zeros(m,m,n);%集中荷载赋值（按实际情况输入）%fb(2,24)=1e+6;%fb(2,60)=1e+4%支承刚度矩阵赋值%fori=1:s1%PL(i,i)=1E-12;%SR(i,i)=1E+12;%end%fori=s1+1:m%PL(i,i)=1E+12;%SR(i,i)=1E-12;%end%计算结构的K22，K21，K11,Kc（按大段分别计算）K22=zeros(m,m,r);K21=zeros(m,m,r);K11=zeros(m,m,r);Kc=zeros(m,m,r);fori=1:rK22(1,1,i)=AG*Bh(1)*Cd(1)*16;K22(2,2,i)=AG*Bh(1)*Cd(1)*6;K22(3,3,i)=AG*10.27;Kc(1,1,i)=Bh(1)*Cd(1)*16;Kc(2,2,i)=Bh(1)*Cd(1)*6;Kc(3,3,i)=10.27;forii=1:DSj=JD(1,ii)+s1;k=JD(2,ii)+s1;K22(j,j,i)=K22(j,j,i)+1/3*AE*At(ii)*Ad(ii);K22(k,k,i)=K22(k,k,i)+1/3*AE*At(ii)*Ad(ii);K22(j,k,i)=1/6*AE*At(ii)*Ad(ii);K22(k,j,i)=1/6*AE*At(ii)*Ad(ii);K11(j,j,i)=K11(j,j,i)+AG*At(ii)/Ad(ii);K11(k,k,i)=K11(k,k,i)+AG*At(ii)/Ad(ii);K11(j,k,i)=-AG*At(ii)/Ad(ii);K11(k,j,i)=-AG*At(ii)/Ad(ii);Kc(j,j,i)=Kc(j,j,i)+1/3*At(ii)*Ad(ii);Kc(k,k,i)=Kc(k,k,i)+1/3*At(ii)*Ad(ii);Kc(j,k,i)=1/6*At(ii)*Ad(ii);Kc(k,j,i)=1/6*At(ii)*Ad(ii);endK21(1,4,i)=-AG*Bh(1);K21(1,12,i)=AG*Bh(1);K21(1,22,i)=-AG*Bh(1);K21(1,14,i)=AG*Bh(1);K21(2,4,i)=-AG*Bh(1);K21(2,8,i)=-AG*Bh(1);K21(2,18,i)=AG*Bh(1);K21(2,22,i)=AG*Bh(1);K21(2,12,i)=-AG*Bh(1);K21(2,14,i)=AG*Bh(1);K21(3,4,i)=2.25*AG*Bh(1);K21(3,22,i)=-2.25*AG*Bh(1);K21(3,12,i)=-2.25*AG*Bh(1);K21(3,14,i)=2.25*AG*Bh(1);end%前5阶自振圆频率计算w=zeros(5,1);bl=zeros(5,1);w0=1;ZX=zeros(5,n+1);i1=1;i2=5;foriii=i1:i2ss=iii;w1=w0+0.5;dw=1;%计算动力项fori=1:rKw(:,:,i)=w1*w1*p*Kc;endJJ=bzzjs(L,m,r,n,Ir,K22,K21,K11,Kw,Sf,SR,PL);whileJJ>ssw1=w1-dw;fori=1:rKw(:,:,i)=w1*w1*p*Kc;endJJ=bzzjs(L,m,r,n,Ir,K22,K21,K11,Kw,Sf,SR,PL);endwhileJJ<ss-1w1=w1+dw;fori=1:rKw(:,:,i)=w1*w1*p*Kc;endJJ=bzzjs(L,m,r,n,Ir,K22,K21,K11,Kw,Sf,SR,PL);endw2=w1+dw;fori=1:rKw(:,:,i)=w2*w2*p*Kc;endJJ=bzzjs(L,m,r,n,Ir,K22,K21,K11,Kw,Sf,SR,PL);whileJJ<ssw1=w2;w2=w2+dw;fori=1:rKw(:,:,i)=w2*w2*p*Kc;endJJ=bzzjs(L,m,r,n,Ir,K22,K21,K11,Kw,Sf,SR,PL);endJJwhileabs(w2-w1)>1.0E-10w0=(w1+w2)/2.0;fori=1:rKw(:,:,i)=w0*w0*p*Kc;endJJ=bzzjs(L,m,r,n,Ir,K22,K21,K11,Kw,Sf,SR,PL);ifJJ>ssw2=w0;elsew1=w0;endendw(iii)=w0;%bl(iii)=L*sqrt(w0*sqrt(RA(1)/Dw(1)))/3.1415927;%bl(iii)=L*sqrt(w0*sqrt(RA(1)/Dw(1)))/3.1415927;X=zhenxing1(L,m,r,n,Ir,K22,K21,K11,Kw,Sf,SR,PL);foriki=1:2*n+1ZX(iii,iki)=X(1,iki)/X(1,1);endend%定义节点坐标（考虑虚拟段以后）xn=L:-L/n:0;fori=1:n-1yn(2*i)=xn(i+1);yn(2*i+1)=xn(i+1);endyn(1)=xn(1);yn(2*n)=xn(n+1);yn(2*n+1)=xn(n+1);%以下为输出部分fori=i1:i2i0=i-i1+1;i00=i2-i1+1;subplot(1,i00,i0);plot(ZX(i,:),yn);%plot(yn,X(2,:));%plot(yn,X(3,:));gridon;end附录二（算例二源程序）%箱型弯扭插值方法分析程序clear%节点总个数s1=3;s2=89;%广义位移总个数m=s1+s2;%结构高度或跨度L=18;%结构分段情况（数组长度为分大段数，数值为每大段分段数）Ir=[18];%断面中线每大段分段数Cr=[90];%断面中线总分段数DS=0;fori=1:length(Cr)DS=DS+Cr(i);end%断面中线每大段中小段长度Cd=[0.25];%断面每大段壁厚Bh=[0.25];%材料密度p=2500;%每小段节点信息%一般段的节点信息fori=1:83JD(1,i)=i;JD(2,i)=i+1;endfori=86:89JD(1,i)=i-1;JD(2,i)=i;end%特殊段的节点信息JD(1:2,84)=[84,1];JD(1:2,85)=[19,85];JD(1:2,90)=[89,61];%断面中线每小段长度、厚度k=0;fori=1:length(Cr)forj=k+1:k+Cr(i)Ad(j)=Cd(i);At(j)=Bh(i);endk=k+Cr(i);endAE=3.0e+10;AG=1.3e+10;%分布外荷载q=zeros(2,m);%q(1,1)=100;%q(2,1)=100;%结构分段的大段数r=length(Ir);%结构分段的小段总数n=0;fori=1:rn=n+Ir(i);end%每小段的长度dL=L/n;%赋初值%结构端部支承的柔度和刚度矩阵PL=zeros(m,m);SR=zeros(m,m);%中间支承的刚度矩阵（楼板的作用可看做支承）Sf=zeros(m,m,n);%集中荷载赋值（按实际情况输入）%fb(2,24)=1e+6;%fb(2,60)=1e+4%支承刚度矩阵赋值%fori=1:s1%PL(i,i)=1E-12;%SR(i,i)=1E+12;%end%fori=s1+1:m%PL(i,i)=1E+12;%SR(i,i)=1E-12;%end%计算结构的K22，K21，K11,Kc（按大段分别计算）K22=zeros(m,m,r);K21=zeros(m,m,r);K11=zeros(m,m,r);Kc=zeros(m,m,r);fori=1:rK22(1,1,i)=AG*Bh(1)*Cd(1)*72;K22(2,2,i)=AG*Bh(1)*Cd(1)*18;K22(3,3,i)=AG*17.8359;Kc(1,1,i)=Bh(1)*Cd(1)*72;Kc(2,2,i)=Bh(1)*Cd(1)*18;Kc(3,3,i)=17.8359;forii=1:DSj=JD(1,ii)+s1;k=JD(2,ii)+s1;K22(j,j,i)=K22(j,j,i)+1/3*AE*At(ii)*Ad(ii);K22(k,k,i)=K22(k,k,i)+1/3*AE*At(ii)*Ad(ii);K22(j,k,i)=1/6*AE*At(ii)*Ad(ii);K22(k,j,i)=1/6*AE*At(ii)*Ad(ii);K11(j,j,i)=K11(j,j,i)+AG*At(ii)/Ad(ii);K11(k,k,i)=K11(k,k,i)+AG*At(ii)/Ad(ii);K11(j,k,i)=-AG*At(ii)/Ad(ii);K11(k,j,i)=-AG*At(ii)/Ad(ii);Kc(j,j,i)=Kc(j,j,i)+1/3*At(ii)*Ad(ii);Kc(k,k,i)=Kc(k,k,i)+1/3*At(ii)*Ad(ii);Kc(j,k,i)=1/6*At(ii)*Ad(ii);