辽宁工业大学高数习题课12-1

第十二章微分方程习题课〔一〕一阶微分方程一、根本概念1．一阶微分方程的定义或2．一阶微分方程的解、通解一阶微分方程的通解：含有一个任意常数的解一阶微分方程的解：使微分方程恒成立的.3．一阶微分方程的特解4．一阶微分方程的类型〔1〕可别离变量方程：〔2〕齐次方程：〔3〕一阶线性微分方程：初始条件：.特解：初值问题的解。〔4〕伯努利方程：二、解题方法流程图求一阶微分方程通解的关键是先判定方程的类型，而判定方程类型的一般方法和思路是：〔1〕先用观察法判定是否为可别离变量方程，假设是分离变量，两边积分即可得到其通解，否那么转入下一步。（5）全微分方程：,满足(齐次方程)(一阶线性方程)(贝努利方程)若,继续判别。（2）判定是否为全微分方程。若,则为全微分方程，其通解为：（3）解出的解析式：判别是否为下面类型的方程：对于这些类型的方程，它们各自都有固定的解法。如果所给的方程按上述思路不能转化为类型的方程，这时常用的方法和技巧如下：

A.熟悉常用的微分公式；B.选取适当的变量代换，转化成上述可解类型的方程；

一阶微分方程的解题方法流程图如下。

C．变换自变量和因变量（即有时把看成自变量，而考虑的方程类型）。求通解一阶线性方程通解为贝努利方程其它一般方程令一阶线性方程变量代换齐次方程令可别离变量全微分方程可别离变量方程在G内取

通解隐式通解可分离变量YesYesNo解出No解题方法流程图三、典型例题解：别离变量为

积分得

分析：用观察法，可见它是可别离变量方程。【例1】求解微分方程。

因此，所求通解为.

分析：将方程变形，得此方程为齐次方程，所以按框图中的方法求解。【例2】求微分方程的通解。解：令,于是,上式可化为别离变量积分得所以

故原方程的通解为

即,为可分离变量的方程

分析：此题为一阶线性微分方程，所以按框图中的方法求解。【例3】求微分方程的特解。解法1：对应齐次方程为别离变量解得

代入原方程得由常数变易法，令，则解得所以原方程通解为特解为将代入得特解为将代入得解法2：因为，，利用求解公式得【例4】求微分方程的通解.

分析：按框图所叙述的方法和思路，由于所给方程不是常见的已知类型的方程，即按通常的想法——将当作自变量，则方程为非线性方程。但若将当作因变量，即将方程改写为此时方程变为一阶线性微分方程，所以按框图中的方法求解。

解：因为

由公式得原方程的通解为所以为一阶线性微分方程分析：首先可以看出，它不是可别离变量方程；又故按框图中的方法求解。【例5】求解微分方程。显然，它也不是全微分方程。于是继续判别，解出，得。这是贝努利方程，

为一阶线性方程。由公式得所以，原方程的通解为解：令,代入方程可化为分析：可将方程变形为，此方程为齐次方程；所以按框图中的方法分别求解。也可将方程变形为，此方程又为贝努利方程，令，代入原方程得解得，即解法1：将原方程整理成,即标准的齐次方程，【例6】求方程满足的特解。代入有，原方程特解是数的一阶线性方程，解之得即解法2：整理原方程得，为贝努利方程。令代入原方程得，是以为未知代入有，原方程特解是故此方程为全微分方程，用框图中的方法求解。【例7】求微分方程的通解。分析：原方程可化为，这里由于解：因为，故此方程为全微分方程。取，则所以原方程的通解为。分析：此题首先可以别离变量，是可别离变量的方程；【例8】求方程的通解。两边积分得通解解法1：原方程可别离变量，即因为，所以又是全微分方程；还可通过直接凑微分的方法求解。解法2：由知原方程是全微分方程，取，则那么原方程的通解为最后得通解为然后直接凑微分得解法3：将原方程整理成的形式，，用框图中的最后一种方法求解。分析：此方程为一阶微分方程，依次判别这个方程不是可别离变量的、齐次的、一阶线性的、伯努利的和全微分方程，只能能用变量代换，将其化为类型。根据【例9】求的通解。题目的特点，右侧函数为的函数，所以令解：令，则代入原方程中，得，为可别离变量得方程。别离变量得积分得即将代回，得通解分析：原方程为非标准型方程，把它可化为【例10】求微分方程的通解。用凑微分法，可变形为，则可采用框图中的方法，进行变量代换。

积分得此方程为可别离变量的方程。别离变量令，则方程变为解：因为用凑微分法，可变形为

故原方程的通解为。分析：此等式中含有积分上限函数，因此想到利用积分上限函数的性质，求导可建立微分方程，从而求解。即求【例11】设可导，且满足方程解：等式两边对求导得为一阶线性非齐次微分方程,且，解得将代入，得【例12】设曲线积分在右半平面内与路径无关，其中可导，,求是，故应首先分别求出和，列出等式分析：曲线积分