《核反应堆物理分析》公式整理

第1章—核反应堆物理分析中子按能量分为三类：快中子(E>0、1MeV),中能中子(1eV<E<0∖1MeV),热中子(E<1eV)、共振弹性散射aZX+01n→[a+1ZX]*→aZX+01n势散射aZX+01n→aZX+01n辐射俘获就是最常见的吸收反应、反应式为 AZX+01n→[A+1ZX]*→A+1ZX+γ235U裂变反应的反应式23592U+01n→[23692U]*→a1Z1X+a2Z2X+ν01n微观截面ΔI=-σINΔx-ΔI-ΔI/1O= = INΔx NΔx宏观截面单位体积内的原子核数Σ=σNN=NP

—0—

A中子穿过X长的路程未发生核反应,而在X与x+dx之间发生首次核反应的概率P(x)dx=e-ΣxΣdx核反应率定义为中子通量密度总的中子通量密度①平均宏观截面或平均截面为R=nv∑ 单位就是中子∕m3∙s3=nv①=JSn(E)v(E)dE=∫∞φ(E)dE00—RJ∑(E)φ(E)dEΣ= =-ΔE ①Jφ(E)dEΔEO辐射俘获截面与裂变截面之比称为俘获-裂变之比用α表示 a=一Of有效裂变中子数VOVO

η=—f= f—OO+oafYV1+a有效增殖因数keff系统内中子的产生率系统内中子的总消失(吸收+泄漏)率四因子公式keffnεpfηAA

S nd=kA

∞k=εPfη∞中子的不泄露概率A= 系统内中子的吸收率 系统内中子的吸收率+系统内中子的泄露率热中子利用系数燃料吸收的热中子f=被吸收的热中子总数第2章-中子慢化与慢化能谱a=fa.≡1IA+12在L系中,散射中子能量分布函数ɪE=-[(1+α)+(1—a)cosθ]E2 C能量分布函数与散射角分布函数一一对应f(E→E')dE'=f(θ)dθcc在C系内碰撞后中子散射角在θ附近dθ内的概率:f(θ)dθ=

ccdθ对应圆环面积 2兀(/sinθ)rdθ sinθdθ球面积能量均布定律dE'f(E→E')dE'=-—dE—(1—a)E平均对数能降ξ=1+Jlna=1—(AξJHlnfAH)1—aCC4兀r222AIa—1)当A>10时可采用以下近似ξ≈I

A+3L系内的平均散射角余弦片一1Acosθ+1μ=-Jπ C02o(A2+2Acosθ+1sinθdθ=

CC23A慢化剂的慢化能力慢化比ξ∑s/∑a由E0慢化到Eth所需的慢化时间tsEλ(E)dE=√2LL

ξL区，=」SEoξVE11—λ(£) 1 1 热中子平均寿命为 t(E)= = =-一(吸收截面满足1/v律的介质)d VΣ(E)vΣVa OOO中子的平均寿命 l=t+1Sd慢化密度 q(r,E)=J00dE'J0Σ(r,E')f(E,→E)φ(r,E')dEEEsq(r,E)=fE*/E∑(r,E')φ(r,E')dEadES E ɑE, (1—a)EE=JEα∑(r,E')φ(r,E')E—aE'

(1—a)E'dE'稳态无限介质内的中子慢化方程为∑(E)φ(E)=∫eΣ(E')φ(E')f(E'→E)dE'+S(E)t S∞无吸收单核素无限介质情况 ∑(E)φ(E)=∫EaJ(E和(E)dE't E (1—a)Ee无限介质弱吸收情况dE内被吸收的中子数dq=q(E)—q(E—dE)=Σφ(E)dE

aEΣdEe q(E) EΣ(E)dE'、q(E)=Sexp(—f0在a—逃脱共振俘获概率P(E)=——=exp(—f0—a——0EξΣEE S EξΣEES 0 S第j个共振峰的有效共振积分 I≡∫σ(E)φ(E)dEj N,A *EjNNI 「N」逃脱共振俘获概率P等于 P=1—e=exp—V-AIi i⅛Σ ⅛ΣiS S整个共振区的有效共振积分 I=ΣI」σ(E)φ(E)dEiAEai2兀 L热中子能谱具有麦克斯韦谱的分布形式 N(E)= e-E/kTnE1/2(兀kT)3/2

n中子温度 T=T(I+C"fTM))nM ξΣS_∫Ecσ(E)N(E)vdE∫Ecσ(E)N(E)%∙EdE核反应率守恒原则,热中子平均截面为σ=1 =- ———JEcN(E)vdE JEcN(E)^EdE0 0若吸收截面a服从“"律 σ(E»E=σ(0.0253)JGTa aσ(0.0253)ll293若吸收截面不服从“1/V”变化,须引入一个修正因子g σ=a…。Ikgna1.128VTnn第3章-中子扩散理论λD=—3菲克定律J=-DVφλtrλI-N0φ φ11z5φJ-=-0+ _(——)z 4 6Σ&0SSφ)0J=J+—J-=7 7 17Zzz3F(称)。SS-^3.gradφ=-J=Ji+Jj+Jk=

xyzJT-16Σ(&—2N=—o 3A中子数守恒(中子数平衡) dJn(r,t)dV=产生率(S)-泄漏率(L)-吸收率(A)dtv中子连续方程°n(r，t)=S(r,t)-Σφ(r,t)-divJ(r,t)

ðt a如果斐克定律成立,得单能中子扩散方程VT)=S(r,t)+DV2φ(r,t)-Σφ(r,t)a设中子通量密度不随时间变化,得稳态单能中子扩散方程DV冲(r)-Σφ(r)+S(r)=0a直线外推距离扩散长度慢化长度Lld=0.7104ltrDλλλλ 1 1——L2= =—a—t-= a--S——= -=—r2Σ3 3(1-N) 3ΣΣ(1-N)6a 0 as0-Zφ=0V2φ- =0—L2= =~~ ln→^1 11 1L2 1Z3ξ∑∑E1 1 atr0L21称为中子年龄,用Tth表示，即为慢化长度。中子的年龄ɪ(EUE0等ETdTWESS当热中子能谱按麦克斯韦谱分布时,热中子吸收截面等于ς=ς 孚ga a,02∖∣Tan1/——、 1—M2称为便动面积,而M称为便动长度 M2=L+t=—(r2+r2)=—r2th6Sd6M第4章-均匀反应堆临界理论无外源无限平板反应堆单群扩散方程1竺XD=DV2φ(x,t)-Σφ(x,t)+kΣφ(x,t)D Ot a ∞aφ(X)=AnncosBx=Acos

nn(2n-1)π xal=nL2D/Σ_l

a /DD(1+L2B2) DD(1+L2B2) 1+L2B2nnnkkk= 决—n1+L2B2nBn_(2n-1)πan=1,2,3, φ(X,t)=EA`CoSnn=1(2n-1)π I x∣e(k

aI裸堆单群近似的临界条件为k=1k1+L2B21=1稳态反应堆的中子通量密度空间分布满足波动方程不泄漏概率A--中子吸收率—中子吸收率+中子泄漏率V2φ(r)+B2φ(r)=0

gΣJφdV I a ^-V- f - ΣJφdV+DB2JφdV1+L2B2aV gV g裸堆单群近似的临界条件可写为k-kA-11 ∞球形反应堆d2φ(r)2dφ(r)+——ɪ--+B2φ(r)-0dr2 rdrg有限高圆柱体反应堆反应堆功率可表示为材料曲率临界条件可写为单群理论的修正02φ(r,Z)+10φ(r,Z)+0冲(r,Z)+B2φ(r,Z)=。Or2r Or Oz2 gP-EJΣφ(r)dV

fVfB2-mk-1-∞ LBm2=Bg2keffk

∞

1+L2B2gkk 1k— ∞ - 11 1+M2B2gB2-mk-1M2芯部稳态单群扩散方程(角标c) DV2φ(r)-Σφ(r)+kccaccΣφ(r)-0∞acc引入一个特征参数k来进行调整使其达到临界kDV2φ(r)-Σφ(r)+∞Σφ(r)-0cc acc kacc反射层稳态单群扩散方程(角标为r)V2φ(r)-k2φ(r)-0rrr热中子通量密度分布不均匀系数/功率峰因子K-φKm——max H -VJφ(r)dV第5章分群理论与能量相关的中子扩散方程 加(rE,t=产生率-泄漏率-损失率Ot产生率=外源(S)+散射源(Q)+裂变源(Q)

sfQ(r,E,t)=JcoΣ(r,E`)f(E`→E)φ(r,E,t)dE`=卜Σ(r,E'→E)φ(r,E`,t)dE`sQ(r,E,t)=fX(E)J00v(E')Σ(r,E')φ(r,E`,t)dE'

0fs0泄漏率=divJ(r,E,t)=—divD(r,E)gradφ(r,E,t)=-V∙DVφ(r,E,t)损失率=吸收损失率+散射损失率=∑(r,E)φ(r,E,t)+Σ(r,E)φ(r,E,t)=Σ(r,E)φ(r,E,t)ast与能量相关的中子扩散方程1刖(r,Ett=V∙DVφ(r,E,t)-Σ(r,E)φ(r,E,t)+∫∞Σ(r,E'→E)φ(r,E1,t)dE'UOt t 0S+X(E)∫∞v(E-)Σ(r,E')φ(r,E,t)dE`+S(r,E,t)0f稳态无外源中子扩散方程-V∙DVφ(r,E)-Σ(r,E)φ(r,E)

t=∫∞Σ(r,E'→E)φ(r,E`)dE`+χ(E)∫∞v(E')Σ(r,E')φ(r,E')dE,fS00任意系统稳态中子扩散方程-V∙DVφ(r,E)+Σ(r,E)φ(r,E)=∫∞Σ(r,E→E)φ(r,E)dE+χE∫∞v(E')Σ(r,E')φ(r,E、)dE`t 0S k0 feff在每一个能量区间对稳态中子扩散方程进行积分,可得G个不含能量变量E的扩散方程,其中第g群扩散方程为-V∙∫D(r,E)Vφ(r,E)dE+∫Σ(r,E)φ(r,E)dE=AE AEgg+ɪ∫ χ(E)dE∫∞v(E')Σ(r,E1)φ(r,E)dE,g=1,k AE 0 feffg∫dE∫∞Σ(r,E→E)φ(r,E')dEAE 0Sg,G引入关于能群g的相关物理量的定义g群中子通量密度φ(r)=∫Eg-1φ(r,E)dE

gEgg群总截面g群扩散系数Dg群转移截面Σg,→gΣ=ɪ∫Eg-1Σ(r,E)φ(r,E)dEt,gφEtgg∫Eg-1D(r,E)Vφ(r,E)dEEg广 "JEg-ιVφ(r,E)dEEg或者D=ɪ∫Eg-1D(r,E)φ(r,E)dEgφEggΣg'→gɪ∫dE∫φAE AE'ggg'Σ(r,E'→E)φ(r,E')dE'S散射源项JAEgdEJ∞Σ(r,E'→E)φ(r,E)dE=0SEJdEJΣ(r,E→E)φ(r,E)dE二E∑φ(r)AE AE,S g→ggg,=i g g g，=ig群中子产生截面 (y∑)fgg群中子裂变谱根据以上定义的物理量,得多群扩散方程=ɪJV(E)Σ(r,E)φ(r,E)dEφAe fggχ=Jχ(E)dEg AEg-V∙DVφ(r)+Σφ(r)=

gg t,ggEΣφ(r)+一'、一一'g→ggg'=1rE(VςfgφJr)g=1,2,effg=1,GE∑φX,gnΣ=nf寸——,X=a,f,X,g Eφnη∈gΣg'→gEE∑φn→nnη∈gn,∣^g=Eφn

n→g一侧有反射层的双区均匀反应堆•••芯部双群方程-D V2φ. (r)+Σφ.(r)=1,c1,c r,c 1,c1k力G∑)φLf1,c 1,c(r)+6∑)φ(r)]f2,c 2,c 」-D V2φ (r)+Σφ (r)=Σφ (r)2,c 2,C a2,c2,C 1→2,c1,c反射层的双群方程-D V2φ (r)+Σφ(r)=0r1,r r,r1,r-D V2φ (r)+Σφ(r)=Σφ(r)r2,r a2,r2,r 1→2,r 1,r第七章反应性随时间的变化核燃料中重同位素的燃耗方程"Jr")=βN(r,t)一(λ+£σφ(r,t))N(r,t)+Fdt iTiT i a,g,ig i igT(λ一X?T=<GT乙σφ(r,t)Y,g,i-1gIg=1F=乙》σ一φ(r,t),N(r,t)i i,iJ,g,i g i一，∙∙fg=II对于给定的燃耗区,给定的燃耗步长内,燃耗方程为dN(t)

i

dt=-σN(t)+-βN+Fii i-1i-1iσ=I+λI=乙σφia,ii a,i a,g,igg=1C (λβ=<ZT9-1 IYY,i-1裂变产物中毒:由于裂变产物的存在,吸收中子而引起的反应性变化A k'-k -∑P ΣP△P= X a=——ak' ΣF+∑M ∑aa a135Xe的产生与衰变过程:135Te—β~>1351一β一>135Xe—β一>135Cs β——>135Ba19.2s 6.58h 92h 2.3x106a忽略其中半衰期短的过程,简化为:135I————135Xe————135Cs135I与135Xe的浓度随时间变化的方程式dN(t)—I—=Y∑φ-λN(t)

dtIfIIdN(t) Xe

dt=Y∑φ+λN(t)-(λ+σXeφ)N(t)XefIIXeaXe135I与135Xe的平衡浓度Y∑φN(∞)=JIλINXe(∞)=(Y+Y)∑φ-4 Xefλ+σXeφXea平衡氙中毒△p(∞)≈-XeY∑f φ~∑λΓ-a~~Xe+φσXea最大氙浓度发生时间t= 1maxλ-λIXeln图≈11∙3hXe」149Sm的裂变产物链 >149Nd——β——>149Pm——β~>149SmYj=0.0113 2h 54hNd(n,Y)ʊσ=40800ba150Sm平衡浓度ΣφN(∞)=r∏mfPm APm/、y2N(t)=-rntm-fSm OBSma平衡钐中毒燃耗深度表示方法A/N(∞)σsm γ∑∆p(∞)—Sm a—=—PmfSm ∑ ΣaaBU=bP(t)dt/dW MW∙d/tWa=TX100%FWF核燃料的转换与增殖铀-钵循环 238U—(n,H)>239U β——>239Np——β一~>239