上海市民办丰华高级中学2022年高一数学理上学期期末试题含解析

上海市民办丰华高级中学2022年高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，从到的四种对应方式如图，其中是从到的映射的是()

A

B

C

D参考答案：C略2.如图，小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后，用15分钟返回家里，下面的图像中表示小明的父亲离家的时间与距离之间的关系的是

（

）参考答案：D略3.下面式子正确的是（

）A.>；B.>;

C.<；

D.<参考答案：C略4.二次函数的图象如何移动就得到的图象（

）A.向左移动1个单位，向上移动3个单位。B.向右移动1个单位，向上移动3个单位。C.向左移动1个单位，向下移动3个单位。D.向右移动1个单位，向下移动3个单位。参考答案：C5.函数(a>0，且a≠1)的图象必经过点(

)A．(0,1)

B．(1,1)

C．(2,2)

D．(2,3)参考答案：D略6.设向量均为单位向量，且(＋)，则与夹角为（

）A．

B.

C.

D.参考答案：C略7.是的（

）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A8.有下列函数：①y=x2﹣3|x|+2；②y=x2，x∈（﹣2，2]；③y=x3；④y=x﹣1，其中是偶函数的有----------------（）A、①

B、①③

C、①②

D、②④参考答案：A略9.计算，结果是(

)A．1 B． C． D．参考答案：B【考点】有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题．【分析】通过变分数指数幂为根式，分母有理化及结合非0实数的0次幂为1化简求得结果．【解答】解：==．故选B．【点评】本题考查有理指数幂的化简求值，是基础题．10.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若，则角A等于

A.

B.

C.

D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的定义域为

．参考答案：12.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则下列结论正确的是．①△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形②△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形③△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形④△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形．参考答案：④【考点】GZ：三角形的形状判断．【分析】首先根据正弦、余弦在（0，π）内的符号特征，确定△A1B1C1是锐角三角形；然后假设△A2B2C2是锐角三角形，则由cosα=sin（﹣α）推导出矛盾；再假设△A2B2C2是直角三角形，易于推出矛盾；最后得出△A2B2C2是钝角三角形的结论．【解答】解：因为△A2B2C2的三个内角的正弦值均大于0，所以△A1B1C1的三个内角的余弦值也均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形．若△A2B2C2是锐角三角形，由，得，那么，A2+B2+C2=，这与三角形内角和是π相矛盾；若△A2B2C2是直角三角形，不妨设A2=，则sinA2=1=cosA1，所以A1在（0，π）范围内无值．所以△A2B2C2是钝角三角形．故答案为：④．13.若集合，，则=____________参考答案：

14.（3分）在△ABC中，A为最小角，C为最大角，已知cos（2A+C）=﹣，sinB=，则cos2（B+C）=

．参考答案：考点： 二倍角的余弦．专题： 三角函数的求值．分析： 依题意，可求得cos（A﹣B）=，继而可得sin（A﹣B）=﹣，再由sinB=，求得cosB=，利用两角和的余弦可求得cosA，于是可求得cos2（B+C）=cos=cos2A的值．解答： 在△ABC中，cos（2A+C）=cos=﹣cos（A﹣B）=﹣，所以，cos（A﹣B）=，又A为最小角，C为最大角，∴A﹣B＜0，∴sin（A﹣B）=﹣；又sinB=，B为锐角，∴cosB==，∴cosA=cos=cos（A﹣B）cosB﹣sin（A﹣B）sinB=×﹣（﹣）×=，∴cos2（B+C）=cos=cos2A=2cos2A﹣1=2×﹣1=．故答案为：．点评： 本题考查三角函数的化简求值，着重考查两角和的余弦、二倍角的余弦及同角三角函数间关系式的综合应用，属于中档题．15.关于函数有下列命题：①函数的图象关于轴对称；

②在区间上，函数是减函数；③函数的最小值为；

④在区间上，函数是增函数．其中正确命题序号为_______________．参考答案：①③④16.设集合，则=_____________参考答案：略17.如图，在正方形ABCD中，AD=4，E为DC上一点，且=3，F为BC的中点，则?=

．参考答案：20【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的加法法则与共线向量基本定理把用基向量表示，展开数量积得答案．【解答】解：如图，在正方形ABCD中，AD=4．∵=3，∴，又F为BC的中点，∴．∴?====．故答案为：20．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知集合A={x|2≤2x≤16}，B={x|log3x＞1}．（1）分别求A∩B，（CRB）∪A；（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C?A，求实数a的取值范围．参考答案：解：（1）∵集合A={x|2≤2x≤16}=[1，4]，B={x|log3x＞1}=（3，+∞）．∴A∩B=（3，4]，CRB=（﹣∞，3]，（CRB）∪A=（﹣∞，4]；（2）∵集合C={x|1＜x＜a}，C?A，当a≤1时，C=?，满足条件；当a＞1时，C≠?，则a≤4，即1＜a≤4，综上所述，a∈（﹣∞，4]考点：集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．专题：计算题；分类讨论；分类法；集合．分析：（1）解指数不等式和对数不等式求出集合A，B，结合集合的交集，交集，补集运算的定义，可得答案．（2）分C=?和C≠?两种情况，分别求出满足条件的实数a的取值范围，综合讨论结果，可得答案．解答：解：（1）∵集合A={x|2≤2x≤16}=[1，4]，B={x|log3x＞1}=（3，+∞）．∴A∩B=（3，4]，CRB=（﹣∞，3]，（CRB）∪A=（﹣∞，4]；（2）∵集合C={x|1＜x＜a}，C?A，当a≤1时，C=?，满足条件；当a＞1时，C≠?，则a≤4，即1＜a≤4，综上所述，a∈（﹣∞，4]．点评：本题考查的知识点是集合的交集，交集，补集运算，难度不大，属于基础题．19.已知函数⑴判断函数的单调性并用函数单调性定义加以证明；⑵当，若在上的值域是

，求实数a的取值范围参考答案：解：⑴在上是增函数证明：设，则，，∴函数在上是增函数……6分⑵依题意得……8分又方程有两个不等正实数根又，对称轴∴实数a的取值范围为……14分20.（21）（本小题满分12分）如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点.（1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA=45°.求证：MN⊥平面PCD.

参考答案：证明

（1）连接AC，AN，BN，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，N为PC中点，∴AN=PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，∴BN=PC.∴AN=BN，∴△ABN为等腰三角形，又M为底边的中点，∴MN⊥AB，又∵AB∥CD，∴MN⊥CD.（2）连接PM、CM,∵∠PDA=45°，PA⊥AD，∴AP=AD.∵四边形ABCD为矩形.∴AD=BC，∴PA=BC.又∵M为AB的中点，∴AM=BM.而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM.又N为PC的中点，∴MN⊥PC.由（1）知，MN⊥CD，PC∩CD=C,∴MN⊥平面PCD.略21.已知函数．（1）若函数f（x）在[4，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为3，求实数a的值．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）根据函数的单调性求出f（x）的最小值，求出a的值即可．【解答】解：（1），由已知，即x﹣2a≥0，∴2a≤x，∴2a≤4，∴a≤2．（2）当2a≤1，即时，x∈[1，e]，f'（x）≥0，∴f（x）在[1，e]上单调递增，∴f（x）min=f（1）=2a=3，∴舍；当1＜2a＜e，即时，x∈（1，2a），f'（x）＜0，∴f（x）在x∈（1，2a）上单调递减；x∈（2a，e），f'（x）＞0，∴f（x）在x∈（1，2a）上单调递增，∴f（x）min=f（2a）=ln2a+1=3，∴舍；当2a≥e，即时，x∈[1，e]，f'（x）≤0，∴f（x）在[1，e]上单调递减，∴，∴a=e；综上，a=e．22.设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=2n2+5n．（1）求证：数列{}为等比数列；（2）设bn=2Sn﹣3n，求数列{}的前n项和Tn．参考答案：【分析】（1）利用，求出an=4n+3，从而=34n+3，由此能证明数列{3}为等比数列．（2）求出bn=4n2+7n，从而==