复变函数课件f变换

积分变换baf

(t

)K

(t,a

)dtf

(t

)可逆的积分运算fi

F

(a

)K

(t,a

)----积分变换的核选取不同的积分变换的核和积分区间，就得到不同的积分变换。傅利叶变换（Fourier)拉普拉斯变换(Laplace)f

(t

)e

dt+¥-¥-

jw

tF

(w

)

=f

(t

)e

dt+¥-stF

(s)

=0象函数象原函数象函数用途：

偏简化运算

常常代1第一章 傅里叶变换§1.1

傅氏积分1.傅里叶（Fourier）级数f

(t

)为周期为T的函数T在[-T/2,T/2]上满足狄利克雷（Dirichlet）条件：连续或只有有限个第一类间断点；只有有限个极值点.（简称狄氏条件）(1.1)20+¥n=1T()=tbafsin

nwt

,n(an

cos

nwt

+

)那么fT

(t

)在[-T/2,T/2]上就可以展成傅氏级数。2(1

.1

)0+¥n

=

1nnT()=tba2fsin

n

w

t

),(a

cos

n

w

t

+T2p其中

w

=

，2(t

)d

t

,TT2T

Tfa

0-

2==

2=--

2(n

=

1,2,3…

…

).T(n

=

1,2,3,…

…

)2TT2T2TT2TTbnanf

(t

)sin

nw

tdtf

(t

)cos

nw

tdt在间断点右端的级数收敛于：fT

(t

-

0)

+

fT

(t

+

0)2在fT

(t

)的连续点成立为了应用方便，下将其转换为复指数形式32.

傅立叶级数的复数形式+¥n

=

1Tsin

n

w

t

)n()=tb(a

n

cos

n

w

t

+a

0

2f¥22n

=1

nnT-

e2

je+

b(t

)= 0

+

aaf-

jn

w

tjn

w

te

jn

w

t

+

e

-

jn

w

t¥++

=22n=1

eea0an

+

j

bn2

an

-

j

bn-

jnw

t

jnw

t[c

ec

e

c

ecnnnnnjw

tjw

t+¥n=-¥-

jw

t-n]=+¥n=1=

0

+200ac=bacnnn-

j2=2c=

an

+

j

bn-nw

n

=

nw4120(t

)d

t

,2

TT

Tfa

0c

2-

T====2[

212T

-

TTnTfa

n

-

j

b

nc(t

)cos

n

w

td

tTT

Tf12(t

)[cos

nw

t

-

j

sin

nw

t

]d

t=

2-

T222==dt

(n

=

1,2,3…

…

)1TcT

T-f

T

(t

)ean

+

jbn-njnw

t2T-TT-

j

2f(t

)sin

nw

tdt

]2=

2dt

(n

=

1,2,3…

),1T(t

)efT-TT-

jnw

t512=

2dt

(n

=

0,–1,–2,…

…

)Tf

(t

)ecT-TTn-

jnw

tnjw

t

c

e+¥n=-¥fT

(t

)

=Te

jw

nt

n=-¥

n=¥

T

2

f

()t

e-

jw

nt

dt-T

T2n

1=(t)efT-

jw

nt

dt-TT22合写成一个式子傅氏级数的复指数形式6lim

f

T

(t

)=

f

(t

).T

fi

+¥当T

fi+¥

时转化而来的。即期函数f

T

(t

)()(

).eefT2TTTnn

1Tjw

tt+¥-

2-

jw

tT

fi

+¥

T

fi

+¥dt

n=-¥

f

t

=

lim

f

(t

)

=

lim无穷和式的极限3、非周期函数的展开问题任何一个非周期函数

f

(t

)都可以看成是由某个周72fT

(t)22T

T-

2

O2Of

(t

)O2-

T

T

2fT

(t

)82pw

n

=

nw

=

n

Tw

3w

n2pT2pTw

2To

w

1当n取一切整数时，w

n所对应的点便均匀地分布在整个数轴上，2p2pTTnnDw

=

w

-

wn-1nDw=

2p

T

=

2pnT

fi

+¥ Dw

fi

0()(

)nTTeefnntjw

tDwdtf

t

=

+¥n=-¥

-

jw

tT2-

2Dw

n

fi

0

1

lim

2p.eefT2TTnn

1Tjw

t+¥-

2-

jw

tT

fi

+¥(t)

dt

n=-¥

f

()t

=

lim()(

)dwdtf

teejwt+¥+¥-¥-

jwt-¥

f

t

=

1

2pf(t)的Fourier积分公式9()(

)dw

1

2pjw

tf

te+¥+¥-¥-

jwtdte-¥

f

t

=狄氏条件；4、傅氏积分定理若f

(t

)在(-¥

，+¥

)上满足下列条件：1.f

(t

)在任一有限区间上满足f

(t

)dt收敛).2.

f

()

(

)+¥-¥t

在无限区间-¥

，+¥

上绝对可积（则在f(t

)的连续点有：在f(t

)的间断点有：dw2jw

tf

(t)e+¥+¥-

jwtdte-¥

-¥=

f

(t

-

0)+

f

(t

+

0)

1

2p10dwdt

ef

(t)e+¥+¥-

jwt

jw

t-¥

-¥f

(t

)=

1

2p()(

)tdt

dw+¥+¥-¥

-¥ejw

(t

-t)ff

t

=

1

2p-¥+¥j

f

(t)sin

w

(t

-t)dt]dw1

¥

+¥f

()t

=

2p

[

f

(t)cosw

(t-t)dt-¥ -¥Fourier

积分公式的其他形式(

)01[p¥

¥-¥f

t

=f

(t)

cos

w(t

-t)dt]dw+三角形式当f

(t

)为奇(偶）函数时,f

(t)的Fourier正(余)弦积分式11(

)[1p¥

¥0

-¥f

t

=f

(t)

cos

w(t

-t)dt]dw三角形式

¥-¥=01

+¥[

f

(t)(cos

wt

cos

wt

+

sin

wt

sin

wt)dt]dwp当f

(t

)为奇函数时,f

(t

)的Fourier正弦积分式

¥002

+¥f

(t

)

=[

f

(t)

sin

wt

dt]sin

wt

dwp当f

(t

)为偶函数时,

¥002

+¥f

(t

)

=[

f

(t)

cos

wt

dt]cos

wt

dwpf

(t

)的Fourier余弦积分式12例10,其它求函数

f

(

t

)

=

1，t

£

1的Fourier积分表达式解：dwcosw

tdt

e+¥

1

jw

t-¥

0=w(cossin

w+¥-¥=0=+¥wt

+

jsinw

t

)dwdw

,

t

„

–1wsin

w

coswt

1p

1p

2pt-1

o

1=+1-1(coswt

-

j

sin

wt)dt+¥-¥-

jwtf

(t)e

dtF

(w

)

=10sinw

wf

(t

)=

2coswt

dt

=(

)jw

tF

(w

)e

dw+¥-¥f

t

=

1

2p13当t

=–1时，有0=+¥

f

(–1

+

0)dw

,

t

=

–1wsin

w

coswt+

f

(–1

-

0)

22

p0dw

,

t

=

–11

2

+¥

sin

w

coswt2

p

w即，=从而有：2t

=