第2课时 一次函数与正比例函数【新知探究+归纳总结】 八年级数学 上册备课精研（北师大版）

第2课时正比例函数与一次函数问题1京沪高速铁路全长1318km.设列车的平均速度为300km/h.考虑以下问题：知识点01：正比例函数的概念新知探究（2）京沪高铁列车的行程y（单位：km）与运行时间t（单位：h）之间有何数量关系？(2)京沪高铁列车的行程y是运行时间t的函数：y=300t（0≤t≤4.4）（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？

（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后，是否已经过了距始发站1100km的南京南站？

思考

下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式.（1）圆的周长l随半径r的变化而变化.

m=7.9V（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的本数n的变化而变化.（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：min）的变化而变化.h=0.5nT=-2t

以上四个函数解析式有什么共同特点？这样的函数解析式怎么定义？以上四个函数解析式都是常数与自变量的积的形式，这样的函数叫做正比例函数.概念：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.

注意：（1）正比例函数必须满足两个条件：

①比例系数k是常数，且k≠0；

②两个变量x,y的次数都是1.（2）一般情况下，正比例函数自变量的取值范围是全体实数，但在实际问题中，还要使实际问题有意义.1.下列函数中，是正比例函数的是（）.

A.①②B.②③C.③④D.②⑤D跟踪训练新知探究不是整式不符合y=kx（k≠0）的形式自变量x的次数不是1符合y=kx（k≠0）的形式符合y=kx（k≠0）的形式2.判断下列式子是否为正比例函数，是正比例函数的请写出正比例系数.（1）y=-3x;

（3）y=-3x+2;系数是-3不符合y=kx（k≠0）的形式自变量x的次数不是1分析：y随

x变化的规律为从大本营向上，当海拔增加xkm时，气温从5℃减少6x℃.函数解析式为：y=5-6x，也可以写作y=-6x+5.当登山队员由大本营向上登高0.5km时，他们所在位置的气温就是当x=0.5时函数y=-6x+5的值，即y=-6×0.5+5=2(℃)知识点02：一次函数的概念新知探究函数解析式y=-6x+5是正比例函数吗？函数解析式y=-6x+5不是正比例函数，因为不满足正比例函数的概念，正比例函数为y=kx（k是常数，k≠0）.思考

下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式.（1）有人发现，在20℃～25℃时蟋蟀每分鸣叫次数c与温度t（单位：℃）有关，即c的值约是t的7倍与35的差.（2）一种计算成年人标准体重G（单位：kg）的方法是：以厘米为单位量出身高值h，再减常数105，所得的差是G的值.c=7t-35（20≤t≤25）G=h-105（3）某城市的市内电话的月收费额y（单位：元）包括月租费22元和拨打电话xmin的计时费（按0.1元/min收取）.

y=0.1x+22

y=-5x+50（0≤x<10）上述问题中，表示变量之间关系的函数解析式分别为：（1）c=7t-35（20≤t≤25）;（2）G=h-105;（3）y=0.1x+22

;（4）y=-5x+50（0≤x<10）.这些函数解析式有哪些共同特征？（1）c=7t-35（20≤t≤25）;

（3）y=0.1x+22;（4）y=-5x+50（0≤x<10）.（2）G=h-105;-35，-105，22，50看作“b”可将c，G，y，y看作“y”；7，1，0.1，-5看作“k”；t、h、x、x看作“x”；以上四个函数解析式都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式，这样的函数叫做一次函数.一次函数

一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.当b=0时，y=kx+b即

y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注意：一次函数y=kx+b(k≠0)有三个特征:①k≠0;②自变量x的次数是1;③常数b可以是任意实数.正比例函数是特殊的一次函数，即正比例函数都是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数.正比例函数与一次函数有什么关系呢？一次函数是正比例函数吗？1.下列函数哪些是一次函数，哪些是正比例函数？

解：（4）,（5）是一次函数；（1）,（6）是正比例函数.

跟踪训练新知探究否恒等变形是b=0等号两边是否为整式是否具有y=kx+b

(k,b是常数,k≠0)的形式一次函数正比例函数是否不是一次函数判断一个函数是否为正比例函数或一次函数的方法2.下列说法正确的是（）.A.正比例函数是一次函数C.一次函数是正比例函数B.正比例函数不是一次函数D.不是正比例函数就不是一次函数A1.判断下列说法的正误.（1）若y=kx，则y是x的正比例函数.（）

（3）若y=3(x-1)，则y是x的正比例函数.

（）（4）若y=3(x-1)+3，则y是x的正比例函数.

（）×××√随堂练习y=3(x-1)+3=3x-3+3=3xk=0时，

y不是x的正比例函数易错警示：（1）正比例函数的比例系数用字母表示时，一定要注明“该字母≠0”.（2）判断一个函数关系式是不是正比例函数，要将式子化简后再进行判断.2.列式表示下列问题中x与y之间的函数关系，并判断是不是正比例函数.（1）菱形的边长为x，周长为y.解：y=4x，是正比例函数.（2）小明每个月的房租为x元，则一年的总房租为y元.解：y=12x，是正比例函数.

所以自变量x的次数为1，即a-2=1.解得a=3.4.下列式子中是一次函数的是（）.

C

C.y=2(x-2)+5不是整式k=0自变量x的次数不是1y=2(x-2)+5=2x+1,符合y=

kx+b

(k,b是常数,k≠0)的形式

5.正确填写下列各空.已知函数y=(k-1)x+k+1，当k=

时，它是正比例函数；当k

时，它是一次函数.-1≠16.下列说法正确的是（）.BA.已知y=kx+b，则y是x的一次函数.C.已知y=k(x-1)+k，则y不是x的一次函数.B.已知y与（x-1）成正比例，则y是x的一次函数.D.正比例函数跟一次函数无关系未说明k≠0时y=k(x-1)=kx-ky=k(x-1)+k=kx正比例函数定义注意一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.①比例系数k是常数，且k≠0；②两个变量x，y的次数都是1.课堂小结一次函数定义注意一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.正比例函数是特殊的一次函数.课堂小结1.下列函数解析式中，是一次函数但不是正比例函数的是（）.

C

拓展提升分析：由一次函数和正比例函数的概念可知，选项A,B是正比例函数；选项C是一次函数但不是正比例函数；选项D不是一次函数.

解得m≠2，m=2或0,所以当m=0时,函数是一次函数.

分析：（1）由正比例函数的定义可知：

①3-m≠0；②2m-4=0.（2）由一次函数的定义可知：3-m≠0.解得m≠3，m=2,

所以当m=2时，函数是正比例函数.（2）由题意可得，3-m≠0，解得m≠3,所以当m≠3时，函数是一次函数.4.根据题意正确填空.（1）如果y=(k+2)x是y关于x的正比例函数，则k的值需满足

.（2）如果y=2x+2k-1是y关于x的正比例函数，则k的值为

.

k≠-2

4k+2≠0，解得k≠-2

所以需同时满足m+2≠0，m-3=1，解得m≠-2且m=4，所以m的值为4.6.若y关于x-2成正比例函数，当x=4时，y=-4.试求出y关于

x的函数解析式.解：因为y关于x-2成正比例函数,所以设y=k(x-2)(k≠0).当x=4时，y=-4,所以-4=k(4-2)，即2k