高中数学第二章圆柱圆锥与圆锥曲线2.1.1平行投影的性质2.1.2圆柱面的平面截线课件新人教B版选修4-

第二章

圆柱、圆锥与圆锥曲线2.1平行投影与圆柱面的平面截线2.1.1平行投影的性质

2.1.2圆柱面的平面截线1.掌握正投影的概念.2.理解平行投影的概念,能确定平行投影的形状.3.会判断圆柱面的平面截线的形状.1.正投影(1)定义:给定一个平面α,从一点A作平面α的垂线,垂足为点A'.称点A'为点A在平面α上的正投影.一个图形上各点在平面α上的正投影所组成的图形,称为这个图形在平面α上的正投影.(2)圆面的正投影:一个圆所在的平面β与平面α平行,那么该圆在平面α上的正投影显然是一个圆,并且是和原来的圆全等的圆;如果圆所在的平面β与平面α不平行且不垂直时,从生活经验我们知道,正投影的形状发生了变化,就好像一个圆被压扁了,我们称之椭圆;如果圆所在的平面β与平面α垂直时,那么该圆在平面α上的正投影是一条线段,其长度等于圆的直径.名师点拨一个图形在一个平面上的正投影与图形和平面的位置关系有关,如一条直线,当它和平面α垂直时,它在平面α上的正投影是一个点;当它和平面α斜交时,它在平面α上的正投影是一条直线;当它和平面α平行时,它在平面α上的正投影是一条与原直线平行的直线.【做一做1】

△ABC在平面α上的正投影是(

)A.三角形 B.直线C.线段 D.三角形或线段解析:当△ABC所在平面垂直于α时,△ABC在α上的正投影是一条线段,否则是三角形.答案:D2.平行投影定义:如果直线l与平面α相交.过任一个图形F上任一点M作直线平行于l,交平面α于点M',则点M'叫做点M在平面α内关于直线l的平行投影(或象).如果图形F上的所有点在平面α内关于直线l的平行投影构成图形F',则F'叫做图形F在α内关于直线l的平行投影.平面α叫做投影面,l叫做投射线.显然,正射影是平行投影的特例.3.平行投影的性质(1)直线的平行投影是直线或一个点,线段的平行投影是线段或一个点;(2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线或两个点;(3)平行于投射面的线段,它的平行投影与这条线段平行且等长;(4)与投射面平行的平面图形,它的平行投影与这个图形全等;(5)在同一直线或平行直线上的两条线段的平行投影(不是点)的比等于这两条线段的比.【做一做2】

两条异面直线m和n在平面α上的平行投影是(

)A.一条直线和直线外一个点B.两条相交直线C.两条平行直线D.以上都有可能解析:当m和n中有一条直线与投影方向平行时,它们的平行投影是一个点和一条直线;否则是两条平行直线或相交直线.答案:D4.圆柱面的平面截线(1)如果一个平面垂直于一圆柱的轴,截圆柱所得的截线为一圆.(2)如果一个平面与圆柱的轴所成角为锐角,截圆柱所得的截线为一椭圆.【做一做3】

圆柱形物体的截口是(

)A.双曲线 B.圆C.抛物线 D.椭圆或圆解析:当截面与圆柱的底面平行时,截口是圆,否则是椭圆.答案:D1.平行投影与正投影的区别与联系剖析对于平行投影,取不同的投影方向,同一个图形的平行投影有所不同,正投影是平行投影中投影方向与平面垂直时的一种特殊情况.因而我们可以从两个不同的角度加以考虑,并且要注意这二者的区别与联系,从而才能完整、全面地看待问题.例如,如下图所示,直线l与平面α所成的角是45°,交点为A.在l上取不同于A的另一点B,过点B作BC⊥α于点C.则l在平面α上的正投影是直线AC.当投影方向与l相同时,l在平面α上的平行投影是一个点,即点A,当投影方向垂直于平面α时,l在平面α上的平行投影是直线AC,此时平行投影和正投影是相同的.2.点的投影与图形的投影间的区别与联系剖析图形是由点组成的集合,因而图形的投影是被投影图形上各点在平面α上的投影的集合,所以,要找到一个图形的投影只需找到组成这个图形的关键点的投影即可.题型【例1】

下列说法正确的是(

)A.正投影和平行投影是两种截然不同的投影B.投射线与投射平面有且只有一个交点C.投影方向可以平行于投射平面D.一个图形在某个平面上的平行投影是唯一的解析:正投影是平行投影的特例,本质是相同的,故选项A错误;投射线与投射平面只能相交,选项B正确,选项C错误;一个图形在一个平面上的平行投影与投影方向有关,方向改变了,就可能得到不同的平行投影,故选项D错误.答案:B反思图形的平行投影与两个因素有关:一个是投影方向,一个是投射平面.正确地理解平行投影的有关概念,是解决平行投影问题的关键.题型【例2】

如图,点E,F分别为正方体的面ADD1A1,面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是

.(要求:把可能的图的序号都填上)

题型解析:对四边形BFD1E在正方体的六个面上的正投影都要考虑到,并且对于图形要考虑所有点的正投影,又知线段由两个端点唯一确定,故考察四边形BFD1E的投影,只需同时考察点B,F,D1,E在各个面上的正投影即可.答案:(2)(3)反思判断平行投影的形状时,常常先确定图形中各顶点的投影,再依次连接各顶点的投影即可;同一图形在平行平面上的平行投影是相同的.123451.一个图形的正投影是一条线段,这个图形不可能是(

)A.线段 B.圆C.梯形 D.长方体解析:当线段不与投射面垂直,圆、梯形所在的平面与投射面垂直时,它们的正投影都是一条线段,很明显长方体的正投影不可能是一条线段.答案:D123452.下列说法正确的是(

)A.平行投影是正投影B.正投影是平行投影C.同一个图形的平行投影和正投影相同D.圆的平行投影不可能是圆解析:正投影是平行投影的特例,则选项A不正确,选项B正确;对同一个图形,当投射线垂直于投射面时,其平行投影就是正投影,否则不相同,则选项C不正确;当投射线垂直于投射面,且圆面平行于投射面时,圆的平行投影是圆,则选项D不正确.答案:B123453.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BB1,BC的中点,则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为下列各图中的(

)解析:点D在平面ADD1A1上的正投影是它本身;点M在平面ADD1A1上的正投影是AA1的中点;点N在平面ADD1A1上的正投影是AD的中点,则阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为选项A中的图形.答案:A123454.在梯形ABCD中,AB∥CD,若梯形不在平面α内,则它在平面α上的平行投影是

.

解析:若梯形ABCD所在平面平行于投影方向,则梯形ABCD在平面α上的平行投影是一条线段.若梯形ABCD所在平面不平行于投影方向,则梯形ABCD在平面α内的平行投影仍是梯形.答案:一条线段或一个梯形123455.关于直角∠AOB在平面α内的平行投影有如下判断:①可能是0°的角;②可能是锐角;③可能是直角;④可能是钝角;⑤可能是180