常微分方程期末考试题(含答案)

常微分方程期末考试试卷（6）学院班级学号姓名成绩一•馍空题《共30分.自小题，10个空格，每格3分 K，方程M《x，¥）dx+M凡vJdv=。称为恰当方程.或称卡很分方程.2、 栋方齐欢方程，乩求黑=网计满足中山正心的解等也「求积分方杵09连续裨.4、若函数取皿礼区域G内连续，且是『y滴是利普希被条件，则力理号="x.y）

的解产Rk,而，气）作为x.%.4的函数在它的存在范围内是.5、苫K•心船”前小｝为n阶齐线性方程的n个腑则它们歧性无关的充要条心蛀j6,方程组x'H&t｝x的翅之为，=国讣亢的•个玷本阚科L7、若M）是常系数线性方程组/*4）（的基解矩阵，则expAt= P8、诫足 出点＜/./）►称为方程组的奇点。久3方程组的特征根为两个共桅虚限时，则当U实部零的是稳定的一对应的奇点称为.二，计完题《共6小题,每题101、求解方程；/=dxX+y*32解方程：｛2x+2y-11dK+（x+y-3）rfy=0

3,讨论方程曳■?/在怎样的IM域中满足解的存在喉-性定理的条件, 并求通dx2观点⑺，0)的切第4、求解常系影线性方程= /-2一+31"co3t门其中日he为帮5、成求方程组一■加的•个基解矩眸.并订，算白川.其U其中日he为帮6、试河谖方程酣—=ax+bv，—=cy(1)的葡点类型,dt dt数,且a、0.三证明题t共“题，湎仆10仆支演叵如果中3l是仁二Ax淌足初始条相叫tJ=H的帆那么自微分万科刖末考试答案卷一、埴空题,1、靛EK_削⑶打仃〜iX3半■心dxx3、产也+(fmY声4,连续的5、W鬲R)./《tJ，…，Xn(t)】w。6、n个线性无关解7、力m力。3E、X(xry>=O.Y(K.yJ=D9、为零 检定中心二、W和题,强口分31，解；(n-y+1)cix-(K+yJ+3)dy=0xdx-(ydx+xdy]+dX'y'dy'3dy=0即:d--比科什往北;dy3-3dy=0所展；--xy+-y：-3y-C3解：业=/广网,令*x号dK(k+y)-2IIe・1,虫dx必dz 2z-1 z+1-Z+2—-1 = , dz=dxdxz-2 -?+2z+1所或-z+3tn|z+1|=x+C|,In|zi+1|1=x+z+CtM>+y+1)a=«C/,3 -rfIJ3.解:：设f(Xy户二y\则—=—y?{y0)2cy2故在y的任何区域L：虫存在11匪续•因而方程任这样的区域门涓足解的存在唯一代定理的芸fl-曜然「y三。是通过点10.。、的一个解：又由宜ay解得，斛=模一产必2所以.通过点f必0)的一切解为¥受。殁。{XV门M=t.[{x-c)2 &>匕).仁生端常教TOC\o"1-5"\h\z4,卿二⑴炉-2入+3=d 士、/齐法方程的通解为X"Tg8等-CjSin<2t)信建不一1ti不足特征根.故取K-(Acost*B5lnt)eR A代入方件比较强载得A=—,B=-—41 41于是x*(^ccst-^sintje_1kli解为m=e(G,uus，2L+久sin421)+—(Sexist-4sint)c^411-1 -25>解:dat{>-E-At=. 一#一5/口-4a7所以，%=-1七=5设及=-1对底的符祉向及内明

白、舸二国为方程组c1）是二阶税性狂定方程组.且满足条件-ac^O,曲力点为原点（Oh0）乂山det(A-ZE)所以，方程纲的布点c0.0）可分为以下类型:3.c为实战，ac3.c为实战，ackO常点.为结点s'日亡稳定鼬点旧＞n©＞。不稳定精巧的式假d为薪戊«、稳定）b±01b±01奇点为退化站点

b=口市.壮为奇空点总vQuyQ他定结点a＞O,o0,不稳定躬点二证明屉.£1。分）证妣设叫I）证妣设叫I）的形式为中阳=^c(1〕CC为特定的常向量）刷由初始帮件科“=中也心/'C义附修尸所以，C=[e^J-lt'=BJil-n代人起。僧=臼孙❷鹏即命顾抻油一.力理--X1dx.方胃山—.力理--X1dx.方胃山—二dx+y。满足碑的存在唯一件定理条件的区域是 如y平而Ftx,Y),x-R,YR"的任何一个事的图取是 n+1空间中的一条积步曲线3.f；(X,如连地是福证方程曳三”冷力孙侑唯一的充〉蚤件.dx<3k—=-y4.方程组dt的田点@Q}的粪卡拈 4.方程组.dt1 1屋方程y=xy'+—《¥#的暗解是y=Cx+-C26,变量❿分离打理M保卜1{¥口区十P〔x8WHy=0的积分因于是 ,N(yF(x)7.一版城刊W决做分方程的网外解 y=中・(x),丫=中乂引点为展成小呀绢的花吧茶伴是魏忤无关 3.月期v"+4，+4y=Q的基本弊如乱白强’二，迎择四(餐小躯 3；?.胜情分儿.•防稣性渐卦山出:‘ip⑶y=4(分的积分国「是fAM,,阿H曲 -fplxjix „一日闻所<f\) =e-cB) =e-[C}V=€-io)=e.西分方也yinycfx+(x-Iny^cfy-0Ji!；(B，CA)nf分离变盘方程 ：税性方程rC}仝曲分方^ CD1拟努利方程.方程3(廿一1卬乂+¥£—通户0的所有帝敬利姑(C工(A>"±1 (B)y=±1<C)y=±1,X=±1 (DjV=1,X=112.n阶线性T卜齐欢的分方程的MfT解(D).

I/O构成-个桀件空间 也，构成，-个n-t维缆件空值I，C＞构成-个n+1沈法性才M (D)不能将战-个我性空间is.方程y'=y?一一+2;□)奇辑.1由1有-个 大白J有无数个 《C)只有两个 CD)二，计并处t年小坦日分，共48步兀.求力程::=2KV的通解解…工则包系+工%十为包=巴直，」L-4k dxdxdxx1-j所以用力■程的逆解为 y-.|+c~x、v二丈.-4tTrf':¥dx+(y,*ln*)df=0的通城ffft取M(xby)=-^,m(K，y)=y3+in工期Mv(x,y)=NJk,y)=-^,于足原方程打仝泄分方秒所以原方程的通韩为 [ydx+[y2dy即ytnk+；y*=C16球方程y=〔『『一盯'+：1的通解西鹏向IH■光于求甘,西鹏向IH■光于求甘,dp取=1=0,得P=k+C,代入r「胃原为祖用而解为d*y=—+Cx4cx.2仃一求才社y""的逋怅解对鹿的齐次方科的特征方程为件征根为X,-0电工3就齐次方科的迪解为 ¥=Ci+C泮.因为cc=5不足行任抠所以.汉几齐在方程的特解为yi(x)=a£"生人爆方程，带25Ae,H-15AeSy=eix即A^—-10故的方程忖速解为y+C：,-'+古丁".求力代『'+，2y=e(cosh-7sinx)解。先求解对应的其次方用， y'+y'=2y=(h则行.¥+「2H0,% =-2,y=C^+G产因为勘a±iP=1±i不是特怔植.植原方岩耳有悔如*=e*(Acosx+Bsirx) 的博琳.将上点代入原方杵.由于=^<(Acas+B3irx]/=e'tA*Bf