数学分析试题及答案

数学分析试题及答案ItwaslastrevisedonJanuary2,2021(二十)数学分析期终考试题一叙述题：(每小题5分，共15分)开集和闭集函数项级数的逐项求导定理Riemann可积的充分必要条件二计算题：(每小题7分，共35分)1、J9x3口-xdxi2、求x2+(y-b)2=b2(0<a<b)绕x轴旋转而成的几何体的体积3、求幂级数£(1+-)n2xn的收敛半径和收敛域nn=14、lim._x2+=x-0\,；1+x2+y2-1y-05、f(x,y,z)=x+xy2+yz2，l为从点p0(2,T,2)到点(-1，1，2)的方向，求fl(P0)三讨论与验证题：(每小题10分，共30分)1、已知f(x,y)=<(x2+y2)sin=yr x2+y2’0，验证函数的偏导数在原0 x=0,y=0点不连续，但它在该点可微2、讨论级数£ln竺±1的敛散性。n2-1n=13、讨论函数项级数£(xn-x=)xG［-1,1］的一致收敛性。nn+1n=1四证明题：(每小题10分，共20分)1若卜f(x)dx收敛，且f(X)在［a,+8)上一致连续函数，则有limf(x)=0

a x-+^

2设二元函数f(x,y)在开集DuR2内对于变量x是连续的，对于变量y满足Lipschitz条件：f(x,y)—f(x,y")|<Qy—y］其中(x,y),(x,y”)gD,L为常数证明f(x,y)在D内连续。参考答案一、1、若集合S中的每个点都是它的内点，则称集合S为开集；若集合S中包含了它的所有的聚点，则称集合S为闭集。2设函数项级数£u(x)满足(1)u(x)(n=1,2,…)在［a，b］连续可导nnn=1£u(x)在［a，b］点态收敛于S(x)nn=1£u'(x)在［a，b］一致收敛于o(x)nn=1则S(x)=£u(x)在［a，b］可导，且—£u(x)=£du(x)n dxndxnn=1 n=1 n=13、有界函数f(x)在［a，b］上可积的充分必要条件是，对于任意分法，当九=max(Ax).0时Darboux大和与Darboux小和的极限相等1<i<n二、1、令t=311—x(2分)J9x3I—xdx=—31—2(1—13)13dt=—竺^(5分)i 0 7(2分)所求的体积为：2、y=b+^a2—x2,y=b7a2—x2兀J61(y2—y2)dx=2兀2a2b(5分)(2分)所求的体积为：3、解：由于lim［(n3、解：由于lim［(n-8(1+1)n

n(1+)n+11X 1(1+ 7)n+1n+1］=1收敛半径为1(4分)|x|=』时，(1+

eee4、lim.%2+丁2 =lim (%2+y叭1+%2+y2+D )同(,口干+y=2(7分)x^0.,：1+x2+y2—1x为((1+x2+y2-1)Q1+x2+y2+1)x为y-' yi y—5、解：设极坐标方程为f(2,-1,2)=2,f(2,-1,2)=0.f(2,—1,2)=-4(4分)x yzf(2,-1,2)--L(3分)l v13三、1、解、12x(sin fx=1 x2+y三、1、解、12x(sin fx=1 x2+y2 cos )x2+y2x2+y20x2+y2牛0,八、,十(4分)由于x2+y2-011 cos 当趋于（0,0）无极限。所以不连续，x2+y2x2+y2同理可的f也不连续，

y(2分）n2+1ln 2、解：lim n2-1-1n-8n2-1（5分）£；收敛，所以原级数收敛（5分）n2-1n-13、解：部分和S（x）=x-x=（3分）

n n+1Ve>0,取N=|1|，n>N时有|S（x）-x|=x;<-<£，所以级数一致收敛（7分）n n+1n四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：用反证法若结论不成立，则380>0,VX.a,3x0>X，使得|f（x0）|>80， （3分）又因为在f（x）在［a,8）上一致连续函数，380€（0,1）,Vx',x">a，只要|x'-x"|<60，有8 ，.一 * _ f（x'）-f（x"）|<才，（3分）于是V4 >a,令X =4 +1，取上述使|f（x ）>8/勺点2 ° ° oox>X，，不妨设f（x）>0，则对任意满足lx-x|<8的x，有0 0 1 01 08 8_一..b_b_.L, 8cf(X)>f(X)-天2天>0取A和A'分别等于x-4和x+天，则Jf(x)dx>-；050 2 2 02 02a 20有，由Cauchy收敛定理，0°f(x)dx不收敛，矛盾(4分)a2、证明：V(x,y)gD,由Lipschitz条件00|f(x,y)-f(x,y)|<|f(x,y)-f(x,y)|+|f(x,y)-f(x,y)|1 0 0 0 0 0 01<Ly-y0|+1f(x,y0)-f(x0,y0)|⑴，(6分)又由二元函数f(x,y)在开集DuR2内对于变量x是连续的，(1)式的极限为0，f(x,y)在(x0,y°)连续，因此f(x,y)在D内连续(4分)(二十二)数学分析期末考试题一叙述题：(每小题5分，共15分)1Darboux和2无穷限反常积分的Cauchy收敛原理3Euclid空间二计算题：(每小题7分，共35分)&痴lim n—+°n2、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积3、I=P°e-xxndx(n是非负整数)n04、设u=f(x2+y2+z2,xyz),f具有二阶连续偏导数，求£ud.zo.x5、求f(x)=ex的幂级数展开式三讨论与验证题：(每小题10分，共20分)1、讨论二元函数连续、偏可导、可微之间的关系。对肯定的结论任选一进行证明；对否定的结论，给出反例2、讨论级数£cosnx(0<x<兀)的绝对和条件收敛性。npn=1四证明题：(每小题10分，共30分)Jxtf(t)dt1f(x)在［0,+8)上连续且恒有f(x)>0,证明g(x)=o 在［0,J-H Fx-构成-H Fx-构成Euclid空间11 nn0+8)上单调增加2设正项级数£x收敛，&｝单调减少，证明lmnx=0TOC\o"1-5"\h\znn n1 n-8n=13 f(x,y)=---，证明：limf(x,y)不存在x2+- x-0--0参考答案P一、1、有界函数f(x)定义在［a,b］上，给一种分法，a=x<x<•••<x=b和TOC\o"1-5"\h\z01 n记M=supf(x),[x,x]]m=inf{f(x),[x,x]}，则i i-1ii i-1iP P PS(P)=£MAx,S(P)=£mAx分别称为相应于分法的Darboux大和和ii- iii=1 i=1Darboux小和。2、Ve>0.3N>a使得Vm>n>N，成立Jnf(x)dx<£m3、Rn向量空间上定义内积运算;x,y二、1、由于limlnnn=lim—((2nLlni)-nInn)=lim£nnn-8 n-8i=1n-8i=1In—.1=J1lnxdx=-1(7nn0分)2、解：两曲线的交点为(2,2)(0,0)(2分)所求的面积为：12(v2x-=)dx=4(5分)0 233、解：I=J+se-xxndxn0=-xne-xI+s+nJ+00I=n!(1分)ne-xxn-1dx=nlJ1e-xxndx+f+se-xxndx(6分)

n-10 1（3分）身&c.x=2x(2zf+xyf)+yf+yz(2zf+xyf)(411 1221 22分）ex5、解：由于余项|rn（x）|<⑺+J.n+1f0(nfs),（3分）所以x2 xnex=1+x+——+———+—(4分)2! n!三、1、解、可微必可偏导和连续，证明可看课本三、1、解、可微必可偏导和连续，证明可看课本133页（4分）可偏导不一定连续和可微例子可看课本135页（6分）2、解：当p>1时，级数绝对收敛，（4分）当0<p<1,由Dirichlet定理知级数收cocosnx^cos2nx1 cos2nxc.VIcosnxI心心 业心—”忆人人.“敛，但^ > =—+——，所以乙 发散，即级数条件收敛（4np np 2np 2np npn=1分），当p<0时，级数的一般项不趋于0，所以级数不收敛（2分）四、证明题（每小题10分，共30分）xf(x)Jxf(t)dt-f(x)Jxtf(t)dt f(x)Jx(xf(t)-tf(t))dt证明：g'(x)= 0一p 0 = 什 >0(8分)证明：(Jxf(t)dt)2 (Jxf(t)dt)200所以函数单调增加（2分）

证明：Vm,n>m,有(n-m)<x H—x证明：Vm,n>m,有(n-m)<x H—xm+1 n<x由此得nx< x,m nn-mm（4分）由又lim-n-又lim-n-=1,

nisn-m0故3n使得n>n时，

00有——<2,（4分）于是当n>n时，有0<nx<2s,得证（2分）TOC\o"1-5"\h\zn-m 0 nx x2 13、证明：limf（x,y）=lim =111mf（x,y）=lim =-，所以xi0 xi0x2+x xi0 xi0x2+x22y=x y=x2limf（x,y）不存在（10分）xi0yi0（二十三）数学分析期末考试题叙述题：（每小题5分，共15分）微积分基本公式无穷项反常积分紧几合计算题：（每小题7分，共35分）1、d[J"2 +J2上]dx0y1+14 11+x42、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积3、求£n（n+2）xn的收敛半径和收敛域n=14、设u=xeyz+e-z+y，求偏导数和全微分..-1+xy—15、lim^ xi0 xyyi0三讨论与验证题：（每小题10分，共30分）i讨论f（x,y）=—x2y2 、的二重极限和二次极限x2y2+（x-y）2

2讨论』e^L_的敛散性

0xplnx3、讨论函数项f(X)=X”-x〃+1(0<X<1)的一致收敛性。nI}uf(X)dXdu0I}uf(X)dXdu0设f(x)连续，证明Jxf(u)(x-u)du=fx00au证明u=y①(X2-y2)满足y—ex参考答案一、1、设f(x)在［a,b］连续，F(x)是f(x)在［a,b］上的一个原函数，则成立fbf(x)dx—F(b)-F(a)。a2、设函数f(x)在［a,+到有定义，且在任意有限区间a,A］上可积。若极限limfAf(x)dx存在，则称反常积分收敛，否则称反常积分发散A—9aTOC\o"1-5"\h\z3、如果S的任意一个开覆盖U｝中总存在一个有限子覆盖，，即存在U｝a a中的有限个开集U｝，满足DunS，则称S为紧集ai1 aii—1 i—1i二、1、d［fx2_^=+f2_d^］=dfx2 =-^x=(7分)dx0J1+14 11+x4dx011+14 1++x82、解：两曲线的交点为(-2，4)，(1，1)，(2分)所求的面积为：f1(2-x-x2)dx=9(5分)-2 2：lim£；而巨=1，收敛半径为1(4分)，由于x=±1时，级数不收”—9敛，所以级数的收敛域为(-1，1)(3分)(4分)eu eu(4分)：—=eyz—=xzeyz.+1—=xyeyz.+e-zex ey ezdu=eyzdx+(xzeyz.+1)dy+(xyeyz.+e-z)dz(3分)5、解：lim三11二圆巨］［二区三^」(7分)x.0 xy x.0 xy(、:1+xy+1) 2y.0 y.0一 x2y2 10k牛1三、1、解、由于沿y=kx趋于(0,0)时，lim y—-二〈z__所以(x,kx).(0,0)x2y2+(x—y)2 L1k=1重极限不存在（5分）limlim xxyy =limlim xxyy =0,limlimx.0y.0x2y2+(x—y)2 y.0x.0x2y2x2y2+(x