余弦定理教师版私塾国际学府学科辅导教案

年级数3授1234、正弦定理与三角形面积567a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosc2＝a2＋b2－2abcosC.π【例1】在△ABC中，若b＝1，c＝3，A＝6，则 【解析 a＝b2＋c2－2bccos【答案 9变式、在△ABCa＝5，c＝4，cos

，则 【解析 由余弦定理可25＝b2＋16－2×4bcos b2

cos

cos

cos

【例题】在△ABC中，a＝3，b＝7，c＝2，则

9＋4－7【解析 cos

＝22【答案 【解析 ∵cos 【答案 钝 21】已知△ABCa∶b∶c＝2∶6∶(3＋1) 点拨 设a＝2k，b＝6k，c＝(3＋1)k，代入cosA，cosB，cosC求解 3＋12622 3＋12622cos

1cos2

变式、已知△ABCa＝3，b＝4，c＝37，求△ABC ∵c>a，c>b，∴角C最大．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，37＝9＋16－24cosC，∴cosC＝－22】在△ABCa＝3，b＝2，B＝45° 点拨】法一：直接利用余弦定理求边、求角；法二：先利用正弦定理求角，再利用余弦定【解析 法 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos 2∴2＝3＋c－23·2 6＋2 6－2即c－6c＋1＝0，解得 或 6＋2当6＋226＋

－3cos

2×

＝6＋ 2

26＋6－

cos

2×

＝－6＋ 26－6－26＋6＋2

a法 由正弦定

sinAsin232asin sin232sin

b＝

c2＝a2＋b2－2abcos6－4＝3＋2－2× ＝2＋6－46＋2∴c＝2＋6＋2 bsin

6＋2·sin6＋ 2·sin6＋c，sin

sinB

sin

sin45°

26－26－2

6＋ 6－2或6－2变式、在△ABCb＝3，c＝33，B＝30°， 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得32＝a2＋(33)2－2a×33×cos30°，∴a2－9a＋18＝0，a＝31asin sinA＝b＝3331法 由b<c，B＝30°，b>csin30°＝32

＝

2

csin

323322由正弦定理得sinC＝ 由勾股定理a＝b2＋c2＝32＋ 332＝6；在△ABCcosA>0⇔b2＋c2-a2>0⇔AcosA=0⇔b2＋c2-a2=0⇔AcosA<0⇔b2＋c2-a2<0⇔A【提示 cos

即1、若a2＋b2<c2，则△ABC【提示 2、若钝角△ABCa，a＋1，a＋2，求实数a 点拨 【解析 a＋1故 a 即

2a 【解析 由题意可知－13<x<13，即x>5或x<－5，∴5<x< 【例题】△ABCA，B，Ca，b，c(2b－c)cosA＝acos【解析 2bcos π∴cosA＝0<A<πA＝34＝b2＋c2－2bccos 1

bcsin

·4＝33 33b＝c＝a＝2ABCb＋c≥2

即1、在△ABCA，B，Ca，b，c，cos2C＋22cos22(2)若b＝2a，△ABC的面积 sinAsinB，求sinA及c的值22【解析 (1)∵cos2C＋22cos∴2cos2C＋22cos 2即(2cosC＋1＝0，∴cosC＝－2C∈(0，π)，∴C＝4(2)∵c2＝a2＋b2－2abcos15∴c＝5a，即sinC＝5sinA，∴sin sin 151

2absinC，2

sinAsin2212∴absin

sinAsin

c sinC＝2，由正弦定理得：sin

sinC＝2，sinAsin 变式2、若△ABC的内角满足sinA＋2sinB＝2sinC，则cosC的最小值 【解析 由sinA＋2sinB＝2sinC，结合正弦定理得a＋

（a＋（a＋cos

2224a＋b ＝6－6－4

，6－4故cosC的最小值6－46－6－4 S＝absinC＝acsin

bcsinA， 含哪个角

cos

2AB·AC

2×5×3

23223【答案】在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则 【解析 ∵c2＝1＋4－2×1×2cos∴c＝【答案 “【解析 【答案 钝在△ABC中，若b＝1，c＝3，C＝3，则 【答案 设△ABCA，B，Ca，b，cb2＋c2＝a2＋3bc，2sinBcosC－sin(B－C)【解析 (1)由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos32 32cos

A＝6(2)2sinBcos＝2sinBcosC－(sinBcosC－cosBsin＝sinBcosC＋cosBsin1＝sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA＝2在△ABC中，a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角 【解析 ∵cos

4 422×7×432【答案 在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos

4 4【解析 ∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，∴cos

＝2a·2a＝3【答案】三角形的两边长分别为3cm,5cm，其夹角的余弦是方程5x2－7x－6＝0【解析 53Ccos

(∵cosC＝2>1，∴sinC＝

C＝

4

＝6 【答案 【解析 设顶角为8 8cos

＝2×2c×2c＝7【答案】

2【解析 由题可知，边长为7的边所对角为中间角，设为θ，则cosθ＝2×5×8＝2【答案 1在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－，则 4【解析 由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accos

∴b＝2＋c－2ac×－，∴b＝4＋(7－b)【答案

1在△ABC，a＝1，b＝2，cos4

，则 ，sin 4 4【解析 在△ABC中，由余弦定理得cos

a＝1，b＝2，cos

1cos4

sinC＝

4a

，解得sin sinAsin 【答案 【解析 ∵3sinA＝5sincos 5x×1＝－2∴C＝3【答案 在△ABC，BC＝a，AC＝b，a，bx2－23x＋2＝0【解析 (1)cos1＝－cos(A＋B)＝－2又∵C∈(0，π)，∴C＝3(2)∵a，bx2－23x＋2＝0a＋b＝2∴AB2＝a2＋b2－2abcos∴AB＝7在△ABCA，B，