高一数学必修1 数学 第一章 完整知识点梳理大全(最全)

高一数学必修1数学第一章完整知识点梳理大全(最全)

集合与函数概念集合是数学中的基本概念之一，它包含了一些确定性、互异性和无序性的元素。常见的数集有自然数集、正整数集、整数集、有理数集和实数集等。集合中的元素与集合之间存在着一些关系，例如一个元素属于一个集合，可以表示为a∈M，而不属于则表示为a∉M。集合的表示方法有自然语言法、列举法、描述法和图示法等。其中，描述法是通过{x|x具有的性质}来表示集合，而图示法则是用数轴或韦恩图来表示集合。集合还可以分为有限集、无限集和空集。空集是不含有任何元素的集合，记为∅。集合间的基本关系有子集、真子集和集合相等等。子集指一个集合中的所有元素都属于另一个集合，而真子集则是指一个集合是另一个集合的子集，但不等于该集合。如果两个集合中的元素完全相同，则它们是相等的。集合的基本运算有交集、并集和补集等。交集是指两个集合中共同存在的元素所组成的集合，而并集则是指两个集合中所有的元素所组成的集合。补集是指一个集合中不属于另一个集合的所有元素所组成的集合。最后，含有绝对值的不等式和一元二次不等式的解法也是数学中的重要知识点。对于含有绝对值的不等式，可以通过分情况讨论来求解。而对于一元二次不等式，则可以通过求解二次函数的根来确定其解集。|x|>a(a>0)|x|<c,|x|>c(c>0)Solution:{x|-a<x<a}{x|x<-aorx>a}Wecantreatax+basawholeandtransformitintotheformof|x|<a,|x|>a(a>0)tosolvetheinequality.SummaryofKnowledgePointsinChapter1ofHighSchoolMathematics2.SolvingQuadraticInequalitiesDiscriminantΔ>0Δ=b-4acQuadraticFunctiony=ax^2+bx+c(a>0)Δ=Δ<0QuadraticEquationax^2+bx+c=0(a>0)Ox=(-b±√Δ)/(2a)1,2(wherex1<x2){x|x<x1orx>x2}{x|x1<x<x2}x1=x2=-b/2aSolutionofNoRealRootax^2+bx+c>0(a>0)Solutionset{x|x≠-b/2a}Rax^2+bx+c<0(a>0)Solutionset{}1.2FunctionandItsRepresentation1.2.1ConceptofFunction1.Afunctionisacorrespondencebetweentwonon-emptysetsAandB,suchthatforanynumberxinsetA,thereisauniquenumberf(x)insetBcorrespondingtoitunderacertainrulef.Thiscorrespondence(includingsetsA,B,andtheruleffromAtoB)iscalledafunctionfromsetAtosetB,denotedasf:A→B.2.Thethreeelementsofafunctionarethedomain,range,andcorrespondencerule.3.Onlytwofunctionswiththesamedomainandcorrespondencerulearethesamefunction.2.ConceptandRepresentationofInterval1.Letaandbbetworealnumbers,anda<b.Thesetofrealnumbersxsatisfyinga≤x≤biscalledaclosedinterval,denotedas[a,b];thesetofrealnumbersxsatisfyinga<x<biscalledanopeninterval,denotedas(a,b);thesetofrealnumbersxsatisfyinga≤x<bora<x≤biscalledahalf-openinterval,denotedas[a,b)or(a,b];thesetofrealnumbersxsatisfyingx≥a,x>a,x≤b,orx<baredenotedas[a,+∞),(a,+∞),(-∞,b],or(-∞,b),respectively.Note:Fortheset{x|a<x<b}andtheinterval(a,b),amustbelessthanb,butforthelatter,a<bisnecessary.3.Whenfindingthedomainofafunction,thefollowingprinciplesaregenerallyfollowed:1.Iff(x)isapolynomial,thedomainisallrealnumbers.2.Iff(x)isarationalfunction,thedomainisallrealnumbersexceptforthosethatmakethedenominatorzero.3.Iff(x)isanevenroot,thedomainisthesetofrealnumbersthatmaketheradicandnonnegative.4.Forlogarithmicorexponentialfunctions,thebasemustbegreaterthanzeroandnotequalto1whenitcontainsavariable.(Notdiscussedhere)5.Iny=tanx,xcannotbeequaltokπ+(k∈Z).(Notdiscussedhere)6.Thebaseofazero(negative)exponentcannotbezero.1、函数的定义与性质函数是一种数学工具，用于描述两个变量之间的对应关系。函数的定义包括自变量、因变量和对应关系。函数的性质包括奇偶性、周期性、单调性、有界性等。2、函数的分类函数可以按照定义域、值域、解析式等方式进行分类。按照定义域分类，可以分为初等函数、分段函数、隐函数等。按照值域分类，可以分为单射函数、满射函数、双射函数等。按照解析式分类，可以分为多项式函数、指数函数、对数函数等。3、函数的定义域问题对于由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数，其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集。对于求复合函数定义域问题，可以通过解不等式来得到。对于含有字母参数的函数，需要根据具体情况进行分类讨论。对于实际问题确定的函数，其定义域需要符合问题的实际意义。4、求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的。常用方法包括观察法、配方法、判别式法、不等式法、换元法、反函数法、数形结合法和函数的单调性法。5、函数的表示方法函数的表示方法包括解析法、列表法和图象法。解析法是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；列表法是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；图象法是用图象表示两个变量之间的对应关系。6、映射的概念映射是指集合之间的对应关系。如果按照某种对应法则，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应就是集合A到B的映射。映射可以用f:A→B来表示，其中A是原集合，B是象集合，f是对应法则。【1.3.1】函数的单调性与最大（小）值1、函数的单调性函数的单调性指的是函数在定义域内的增减性质。如果对于定义域I内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在这个区间上是增函数。如果对于定义域I内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在这个区间上是减函数。判定函数单调性的方法包括利用定义、已知函数的单调性、函数图象和复合函数。2、双“√”函数f(x)=x+√a（a>0）的图象与性质双“√”函数f(x)=x+√a（a>0）的图象在区间（-∞，-a]、[a,+∞）上为增函数，在区间[-a,0)、(0,a]上为减函数。3、最大（小）值定义一般地，如果函数y=f(x)在定义域I内存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x∈I，使得f(x)=M。那么，我们称M是函数f(x)的最大值，记作fmax(x)=M。同理，如果函数y=f(x)在定义域I内存在实数m满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥m；（2）存在x∈I，使得f(x)=m。那么，我们称m是函数f(x)的最小值，记作fmin(x)=m。函数的奇偶性是函数的一种重要性质。如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数。如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数。我们可以通过两种方法来判断函数的奇偶性。第一种方法是利用函数的定义，但是在判断之前要先确定函数的定义域是否关于原点对称。第二种方法是利用函数的图象，奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。如果函数f(x)是奇函数，并且在x=0处有定义，那么f(0)=0。奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反。在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数。函数的图象是函数的一种重要表现形式。我们可以利用描点法或基本函数图象的变换来作图。在作图之前，我们需要确定函数的定义域