专题06 几何体的截面10种归类2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第二册）（原卷版）

专题6几何体的截面10种归类目录TOC\o"1-1"\h\u【题型一】棱柱截面形状 1【题型二】棱锥截面 2【题型三】棱台截面 2【题型四】球截面 3【题型五】球截面计算基本型 4【题型六】球内两平行面 5【题型七】棱锥截面周长与面积计算 5【题型八】柱体截面周长计算（难点） 6【题型九】柱体截面面积计算（难点） 7【题型十】几何体表面截球面型（难点） 8培优第一阶——基础过关练 9培优第二阶——能力提升练 11培优第三阶——培优拔尖练 12【题型一】棱柱截面形状【典例分析】用平面截正方体，截面不可能是（

）A．菱形 B．等腰梯形C．正五边形 D．正六边形【提分秘籍】基本规律1有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都互相平行，把这样的多面体叫做棱柱；那一对互相平行的面称为棱柱的底面_，其余的面则称为棱柱的侧面，不在底面上的棱称为棱柱的侧，而棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高．【变式训练】1.．用一平面去截一长方体，则截面的形状不可能是（

）A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形2.若正方体的一个截面恰好截这个正方体为等体积的两部分，则该截面(

)A．一定通过正方体的中心 B．一定通过正方体一个表面的中心C．一定通过正方体的一个顶点 D．一定构成正多边形3.在正方体中，点Q是棱上的动点，则过A，Q，三点的截面图形是（

）A．等边三角形 B．矩形 C．等腰梯形 D．以上都有可能【题型二】棱锥截面【典例分析】一个透明封闭的正四面体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状可能是：①正三角形②直角三形③正方形⑤梯形，其中正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【提分秘籍】基本规律有一个面是三角形或平面多边形，且不在这个面上的棱都有一个公共点，这样的多面体叫做棱锥，其中，这个三角形或平面多边形称为棱锥的底面，其余的面称为棱锥的侧面_，不在底面上的棱称为棱锥的侧冷_，所有侧棱的公共点称为棱锥的定点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高_.【变式训练】1.已知正三棱锥底面面积=6，点在高上且，则经过点且平行于底面的截面面积为___________.2.棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为，则此棱锥的高被分成的上、下两段之比为A． B．C． D．3.过棱锥的高的两个三等分点，分别作与底面平行的两个平行截面，则自上向下的两个截面与底面的面积之比是（

）．A． B． C． D．【题型三】棱台截面【典例分析】用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截得的棱台上、下底面积之比为，已知截去的棱锥的顶点到其底面的距离为3，则棱台的上、下底面的距离为（

）A．12 B．9 C．6 D．3【提分秘籍】基本规律如果棱锥被一个平行于底面的平面所截，那么截去一个小棱锥后剩下的多面体称为棱台，其中，由正棱锥截得的棱台称为正棱台_.【变式训练】1.如图所示，三棱台中，沿面截去三棱锥，则剩余部分是A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱台 D．四棱台2..如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S0，那么A．2＝＋ B．S0＝C．2S0＝S＋S′ D．S0＝2S′S3.棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是（

）A． B． C． D．【题型四】球截面【典例分析】一个正方形内接于一个球，过球心作一截面，则截面的图形不可能是（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律如图，将圆心为的半圆面绕其直径所在的直线旋转一周，所形成的几何体叫做球，记作球．半圆的圆弧绕直径旋转所形成的旋转面叫做球面_．点到球面上任意一点的距离都相等，点叫做球心，原半圆的半径和直径分别叫做球的半径和直径．【变式训练】1.用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是（

）A．圆柱 B．圆锥C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体2.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，这个几何体可能是（

）A．圆锥、圆柱 B．圆柱、球体 C．圆锥、球体 D．圆柱、圆锥、球体【题型五】球截面计算基本型【典例分析】一平面截一球得到半径为的圆面，球心到这个平面的距离为3，则该球的体积为（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律1.球心与截面圆圆心的连线垂直于截面2.截面圆的半径，球心到截面圆的距离满足勾股定理【变式训练】1.过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是A． B． C． D．2.过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是，则截面的面积是()A． B． C． D．3.已知平面截一球面得圆，球中过小圆心的直径为，过点且与成角的平面截该球面得圆，若该球的半径为4，圆的面积为，则圆的面积为（

）A． B． C． D．【题型六】球内两平行面【典例分析】两平行平面截半径为的球，若截面面积分别为和，则这两个平面间的距离是（

）A． B． C． D．或【变式训练】1.两平行平面截半径为13的球，若截面面积分别为和，则这两个平面间的距离是（

）A．7 B．17C．5或12 D．7或172.已知球的半径为4，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为2．若球心到这两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为（）A．4 B．6 C．8 D．10【题型七】棱锥截面周长与面积计算【典例分析】已知四棱锥中，平面，四边形为正方形，，平面过，，的中点，则平面截四棱锥所得的截面面积为（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律棱锥截面如果平行底面，则满足以下关系：高为一维的量，面积为二维的量，体积为三维的量，故若立体图形的相似比为，则高的比为，各面积的比为，体积比为【变式训练】1.如图，棱锥的高，截面平行于底面，与截面交于点，且.若四边形的面积为36，则四边形的面积为（

）A．12 B．16 C．4 D．82.如图，已知三棱锥，点P是的中点，且，过点P作一个截面，使截面平行于和，则截面的周长为_________.2.已知三棱锥的底面是边长为a的等边三角形，则过各侧棱中点的截面的面积为________．3.．如图，正四棱锥的所有棱长都等于，过不相邻的两条棱作截面，则截面的面积为A． B．C． D．【题型八】柱体截面周长计算（难点）【典例分析】在正方体中，，为棱的四等分点（靠近点），为棱的四等分点（靠近点），过点，，作该正方体的截面，则该截面的周长是（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律棱柱截面多边形周长的计算，在画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．【变式训练】1.已知正四棱柱中，，点M是线段的中点，点N是线段上靠近D的三等分点，若正四棱柱被过点，M，N的平面所截，则所得截面的周长为（

）A． B． C． D．2.在正方体，中，，分别为正方形和的中心，，则平面截正方体所得截面的周长是（

）A．10 B．40 C． D．3.已知正方体的棱长为1，点分别为的中点，则过点的截面的周长为（

）A． B． C． D．【题型九】柱体截面面积计算（难点）【典例分析】如图，已知正方体的棱长为2，点是线段的中点，平面经过点，则正方体被平面截得的截面面积为（

）A．2 B．4 C．4 D．【提分秘籍】基本规律作截面的常用三种方法：（1）直接法：截面的定点在几何体的棱上；（2）平行线法；截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；（3）延长交线得交点：截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.【变式训练】1.已知正方体，棱长为2，E为棱的中点，则经过，D，E三点的正方体的截面面积为（

）A． B． C． D．2.如图，已知正方体的棱长为2，点是线段的中点，平面经过点，，，则正方体被平面截得的截面面积为（

）A． B． C．4 D．3.在正方体中，，E为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为（

）A． B． C．4 D．【题型十】几何体表面截球面型（难点）【典例分析】已知球O内切于正方体，P，Q，M，N分别是的中点，则该正方体及其内切球被平面所截得的截面面积之比为（

）A． B． C． D．【变式训练】1.如图，已知球是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为（

）A． B．C． D．2.在正四棱锥中，，，则平面截四棱锥外接球的截面面积是（

）A． B． C． D．3.已知点P、A、B、C是球O的球面上的四个点，PA、PB、PC两两垂直且长度均为，M是AP的中点，记过点M与平面ABC平行的平面，则球O被平面截得的截面面积等于(

)A． B． C． D．分阶培优练分阶培优练培优第一阶——基础过关练1．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为12的正方形，则该圆柱的体积为（

）A． B． C． D．2．已知正四面体的棱长为，为上一点，且，则截面的面积是（

）A． B． C． D．3．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（

）A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5）4．如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（

）A． B．C． D．5．如图，直四棱柱的所有棱长均为，，是侧棱的中点，则平面截四棱柱所得的截面图形的周长是（

）A． B．C． D．6．把截面半径为5的圆形木头锯成面积为y的矩形木料，如图，点O为圆心，，设，把面积y表示为的表达式，则有（

）．A． B． C． D．7．在正棱台中，为棱中点.当四棱台的体积最大时，平面截该四棱台的截面面积是（

）A． B． C． D．8．如图，在长方体中，，分别为的中点，点在平面内，若直线平面，则与满足题意的构成的平面截正方体的截面面积为（

）A． B． C． D．培优第二阶——能力提升练1．下列命题中正确的有（

）A．圆锥、圆台的底面都是圆面B．用一个平面去截圆柱，截面一定是圆C．用一个平面去截圆锥得到一个圆锥和一个圆台D．分别以矩形（非正方形）的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周后得到的两个空间图形是两个不同的圆柱2．如图，为正方体中所在棱的中点，过两点作正方体的截面，则截面的形状可能为（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形3．已知正方体的棱长为2，过棱，的中点E，F作正方体的截面，下列说法正确的是（

）．A．该正方体外接球的表面积是B．若截面是正六边形，则直线与截面垂直C．若截面是正六边形，则直线与截面所成角的正弦值为D．若截面过点，则截面周长为4．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面的图形可能是（

）A． B．C． D．5．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，则直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为_________．6．在棱长为的正方体中，，分别是正方形、正方形的中心，则过点，，的平面截正方体的截面面积为______．7．一个圆锥轴截面的顶角为，母线为2，过顶点作圆锥的截面中，最大截面面积为__．8．正方体中，棱长为分别是、的中点，是底面的中心，过作截面，则所得截面的面积为___________.培优第三阶——培优拔尖练1.