二年级数学奥数讲义(精华版)

PAGEPAGE1数学思维训练（二年级）目录第一讲缩小包围圈找坏球4第二讲锻炼“身体”——爬楼梯6第三讲观察与找规律10第四讲画圈圈14第五讲分酒18第六讲下格子棋22第七讲贴标签——划数游25第八讲抓棋子28第九讲养兔子31第十讲形象思维初步——画线段34第十一讲下格子棋（2）36第十二讲“代数”游戏39第十三讲排排坐41第十四讲填数游戏43第十五讲脑筋急转弯45.第十六讲填数游戏48导入：小魔术同学们！你们在电视、剧场和街头都见过魔术表演，观看了表演后，你们发现了魔术的奥秘和技巧没？今天老师来表演几个小魔术，请你们注意观察。魔术一、“摸”出扑克牌的花色与点数请一名同学验牌，再请一名同学洗牌。表演者洗牌，将洗好的牌置于台面上。请一名同学将洗好的牌，依次分为4叠请4名同学做好记录。下面面老师来“摸”出每一叠牌中最上面的一张是什么牌。

思维风向标第一讲缩小包围圈找坏球思维导航站在电视中，我们常看到，当发现坏人的大致行踪后，就将该区域先包围起来，然后缩小包围圈，最后将坏人给抓住。在捕鱼期，为了将鱼塘中的鱼都抓出来卖掉，人们常用拉网将鱼赶到鱼塘的一角后，再将鱼打捞出来，这样既快捷，打捞的也干净，事半功倍。这样的道理就如同：在大鱼塘抓一条鱼容易，还是在一个脸盘内抓一条容易呢？从上面的生活常识中我们不难发现，要“找”到目标，必须缩小目标所在的范围。比如：有八十一个外观一样的零件。其中一个是次品，次品比正品轻一些，正品都一样重。现在用一个不带砝码的天平，至少称几次，可以保证找到次品。（手补“天平”图）思维新航道案例一、有三个外观一样的乒乓球。其中一个是坏球，坏球比好球轻一些，好球都一样重。现在用一个不带砝码的天平，至少称几次，可以保证找到坏球。（手补图）案例二、有九个外观一样的乒乓球。其中一个是坏球，坏球比好球轻一些，好球都一样重。现在用一个不带砝码的天平，至少称几次，可以保证找到坏球。案例三、有二十七个外观一样的乒乓球。其中一个是坏球，坏球比好球轻一些，好球都一样重。现在用一个不带砝码的天平，至少称几次，可以保证找到坏球。思维点睛：在上面的案例二和三中，我们先将球平均分成三堆，先拿其中的两堆放在天平的两边托盘上称一次，就可以将坏球所在的范围缩小，再将坏球所在的那一堆的球再平均分为三堆，再来称一次，直到坏球的范围缩小到一堆，这一堆中只有一个球，这个球就是坏球。为什么要分三堆呢？因为有两个托盘，3=2+1，“2”是指两个托盘的各一堆，“1”是放在边上的一堆。思维加油站：在下面的案例中，小球的个数或待检查的物品的个数不能平均分为三堆，那我们应该怎么办呢？我们可以先将它们大至平分，例如：8=3+3+2，先将两个有3球的堆堆，放到天平的两个托盘上，最坏的情况就是，在其中的某一堆中，那问题就变的和案例一一样的了，再称一次，就可以找到了。案例四、有八个外观一样的小泥人。其中一个是空心的（次品），空心的比实心的轻一些，实心的都一样重。现在用一个不带砝码的天平，至少称几次，才可以保证找到空心的呢。案例五、有二十个外观一样的篮球。其中一个是坏球，坏球比好球轻一些，好球都一样重。现在用一个不带砝码的天平，至少称几次，可以保证找到坏球。案例六：有九个外观一样的乒乓球。其中二个是坏球，坏球比好球轻一些，好球都一样重，坏球也一样重。现在用一个不带砝码的天平，至少称几次，可以保证找到这两个坏球。智力趣味问题：今年是虎年，老虎喜欢吃鸡，下面三句话是关于“老虎吃鸡”的，请你读后，想一想，这几句话的说法是否一样两只老虎两分钟吃了两只鸡。两只鸡两分钟被两只老虎吃了。两分钟内，两只老虎吃了两只鸡。思维引导：1，两只老虎两分钟吃了两只鸡，八只老虎八分钟吃了几只鸡？2，两只老虎两分钟吃了两只鸡，八只老虎吃八只鸡需要要几分钟？思维竞技场：1、有八十一个外观一样的零件。其中一个是坏的，坏的比好的轻一些，好的都一样重。现在用一个不带砝码的天平，至少称几次，才可以保证找到坏的零件呢？（提示：81=27+27+27）2、有十四个外观一样的篮球。其中一个是坏球，坏球比好球轻一些，好球都一样重。现在用一个不带砝码的天平，至少称几次，可以保证找到坏球。3、有二十七个外观一样的乒乓球。其中两个是坏球，坏球比好球轻一些，好球都一样重，坏球也一样重。现在用一个不带砝码的天平，至少称几次，可以保证找到坏球。

【思维风向标】第二讲锻炼“身体”——爬楼梯【思维导航站】王老伯晚餐后，出门散步，在楼道内，看到小明同学，在一个10级台阶的楼梯上来回不定地上下，口中还念念地说着数字，王老伯就问小明怎么这样锻炼？小明说，他正在做个数学题：“有一个10级台阶的楼梯，每次1或2个台阶。上完这样的楼梯共多少种不同的上法？”王老伯一听，乐了，说“如是是100个台阶的楼梯或20个台阶的楼梯，你怎么办呢？即使有20个台阶的楼梯，你这样做，也会累坏的，你呀应该学会在草稿纸上‘爬楼梯’，并讲解了方法，就是在纸上画一个‘楼梯’，然后在纸上爬楼梯和记录。”小明回家照此办理，顿觉比在楼梯间爬楼梯轻松许多，可是做了一晚上，第二天给老师的答案还是不对。于是小明将问题拿到思维训练课堂来解决。因为他知道自己在纪录的时候，条理性不好，所以得不到正确的结果，今天我们帮小明找到正确的答案。【思维新航道】案例1：一个有十级台阶的楼梯，小明每次上1或2个台阶，上到第1个台阶时有几种上法？【思维点睛】从地面到第一个台阶，只需要上一个台阶，上的方法用数字表示就是“1”，只有1种上法。案例2：一个有十级台阶的楼梯，小明从地面开始，每次上1或2个台阶，上到第2个台阶时有几种上法？【思维点睛】从地面到第二个台阶，需要上2个台阶，那就可以这样上：1+1、2，“1+1”表示两个台阶分两次上的，“2”表示从地面直接跨两个台阶，上到了第二个台阶，再没有其它的上法了，所以答案是：只有2种上法。案例3：一个有十级台阶的楼梯，小明从地面开始，每次上1或2个台阶，上到第3个台阶时有几种上法？【思维点睛】从地面到第三个台阶，一共需要上3个台阶，可以这样上：1+1+1、2+1、1+2，其中“2”表示一次直接跨两个台阶，“2+1”表示先一次上两个台阶，然后上一个台阶就到了第3个台阶，所以“2+1”和“1+2”表示的是两种不同的上法。答案是：只有3种上法。【观察与思考】在上面的三个问题中，我们都得到了答案，上到第一个台阶上到第二个台阶上到第三个台阶上到第四个台阶算式表示的上法11+121+1+12+11+2总的上法1种2种3种？那现在我们要研究，四个台阶有多少种上法？大家观察上面的表格后会认为，四个台阶会有四种上法，这样的看法对吗？不要轻易地下结论，我们共同地来算算有几种上法。案例4：一个有十级台阶的楼梯，小明从地面开始，每次上1或2个台阶，上到第4个台阶时有几种上法？【思维点睛】现在的数字变大了，情况复杂些，但是不要忙乱！最容易想到的一种上法是1+1+1+1，再想到的是。。。。。。案例5：一个有十级台阶的楼梯，小明从地面开始，每次上1或2个台阶，上到第5个台阶时有几种上法？【思维加油站】通过大家的努力我们找到了下面表格中的数据，我们观察后会发现规律，第一个台阶第二个台阶第三个台阶第四个台阶第五个台阶第六个台阶算式表示的上法11+121+1+12+11+21+1+1+12+1+11+2+11+1+22+21+1+1+1+12+1+1+1。。。。。。1+1+1+1+1+12+1+1+1+1。。。。。。。总的上法1种2种3种5种8种？从第三个台阶开始的上法是3种，而3=2+1，其后的是：5=3+28=5+3，按照这样的规律，上到第六个台阶的上法应该有8+5=13种，我们能把13种都用算式写出来吗？下面我们来帮助小明同学吧，算一算,上完10个台阶的楼梯有多少种上法。【智力趣味问题】烧一根不均匀的绳子，从头烧到尾总共需要一小时。如果两头同时点燃，烧完这根绳子要多长时间？【思维竞技场】王老师每次上1式2个台阶，上完一个有6级台阶的楼梯共有多少种不同的上法，并用数字串表示出来（例如1221）？【思维风向标】第三讲观察与找规律【思维导航站】在上一讲，爬楼梯中，我们通过自己的观察发现了“每次上1式2个台阶”时的规律，从而轻松地解决了小明爬有十级台阶楼梯的问题。因此找到规律，在解决问题时是很重要的。科学研究就是在不断地寻找自然界的规律。在自然界中有很多的规律都是观察后发现的，比如：地球绕太阳一年转一圈，月亮绕地球一个月转一圈，就是天文学家经过多年的观察发现的规律。在学习中，也可以通过观察找到规律、公式、算式，例如：小明在学习路程问题时，有一个问题是:小乌龟每分钟爬三米，问小乌龟1分钟走了几米？小乌龟2分钟走了几米？小乌龟3分钟走了几米？小乌龟4分钟走了几米？小乌龟5分钟走了几米？小明做对了。做的过程是：1分钟走的路程:3=31个“3”2分钟走的路程:3+3=62个“3”3分钟走的路程:3+3+3=93个“3”4分钟走的路程:3+3+3+3=124个“3”5分钟走的路程:3+3+3+3+3=155个“3”老师让小明观察自己做的运算后，小明发现，计算路程的公式：路程=速度乘以时间。【思维新航道】案例1，观察与联想1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、。。。。。。1、2、1、1、2、1、1、2、1、。。。。。。1、2、3、5、8、13、21、。。。。。。【寻找规律】上面的第一串数，是我们经常“念”和“写”的，就是从1开始按顺序写自然数。（补个图）第二串数，同学们联想到什么了呢？第三串数，同学们又联想到什么了呢？在上面的每个数字串中，第十二个是什么你知道吗？我们有信心找到吗？案例2、递推式3、6、9、（）、15、……2、4、8、（）、32、……7、11、15、（）、23、……21、18、15、（）、9、……【思维点睛】数字型的找规律，要注意变化和运算。第一串数中，数字在变大，后一个数字总比前一个大3.第二串数中，数字也在变大，但是，不是加“3”的运算，而是“倍”的关系，就是乘“2”。第三串数中，数字在变大，后一个数字总比前一个大几呢？第四串数中，数字在变小，后一个数字总比前一个小4.案例3、3、7、6、11、9、15、（）、（）、15、23、。。。。。。2、7、4、11、8、15、（）、（）、32、23、。。。。。。1、33、3、30、5、27、（）、（）、9、21、。。。。。。【思维点睛】观察发现每一串数字中，数字的变化忽大忽小，并且每一串数字中，有两个小括号里要填数，那请看你第一串数：3、7、6、11、9、15、（）、（）、15、23、。。。。。。分离成了两个数字串3、6、9、（）、15、。。。。。。7、11、15、（）、23、。。。。。。那也可以说，第一个数字串是由两个规律简明的数字串，“套”起来的。所以说：复杂的总是由简单的组合而成的。同学们，以后再遇到复杂的问题，观察后，看由什么简单的问题来组成的。下面大家自己做第二和第三个数字串的“分离”。案例4雅雅育行教育界助乐人为育界思练维训育界快园乐家育界助人乐为乐助为人为乐人助人为助乐1136224931246155236113412196530??856?下面的图形,请同学们自己想一个规律,填数字或文字。思维加速度维加速度思加速度思维速度【思维点睛】原来的都是一行一行的数字串，现在变成了在图形中去找规律，除了数字，还有文字的。与前面的一样，先观察、再得到规律。【思维竞技场】请在下面的数字串中的括号内填上正确的数字。1、2、3、5、（ ）、131、4、7、（ ）、13、1618、15、12、（ ）、62、4、（ ）、16、32请在下面的数字串中的括号内填上正确的数字。1、2、4、4、7、（ ）、（ ）、16、13、323，ABCDBCDAC？ABDAB？

【思维风向标】第四讲画圈圈【思维导航站】期末考试成绩出来以后，班主作将全班同学叫到操场上集合，用粉笔在操场上画了一个大圈，请同学们都站到圈内，然后又画了一个小点的圆圈，请语文考试为优（即90分及以上的同学）站到“语文圈”内，接着班主任又画了一个“数学圈”，请数学成绩为优的同学站到“数学圈”中，这时有同学为难了，同学们，你们说，哪些同学为难了？语文优语文优数学优【思维新航道】案例1、三年级（二）班参加调考成绩出来后，有A、B、C、D四位同学的成绩如下：A同学：语文优B同学：语文、数学都不是优C同学：语文、数学都是优D同学：数学优请问他们应该站在图一中的那个区域？语文优语文优数学优PEKR全部同学思维加速度数学培优BD思维加速度数学培优BDCA三年级一班全部同学B区域：A区域：C区域：D区域：案例3、期中考试后，4年级语文为优的有97人，数学为优的有106人，数学、语文同为优的有31人，数学、语文都不为优的有43人，请问全年级有多少人？BB思维加速度数学培优DCA四年级全部同学B区域：人A区域：人C区域：人D区域：人案例4、某班开展了围棋、象棋、格子棋等三项兴趣活动，可以选择参加1～3项或不参加，请问我们应该画几个圈圈？【思维点睛】因为有三项活动，所以每项活动有一个圈圈，圈圈和圈圈之间还需要重叠起来。请在此画圈圈，并标出每个圈圈的名称。案例5、某班参加思维训练小组的有25名同学，参加语言训练小组的有26人，参加科技活动小组的有16名同学，同时参加思维训练与语言训练的有13名同学，同时参加语言训练与科技活动的有11名同学，同时参加思维训练与科技活动的有10名同学。三个活动都参加的有7名同学，每名同学都至少参加了一项活动。请问这个班上有多少名同学。【思维点睛】先填中心区域，因为中心区域是信息区域。语言思维【思维点睛】先填中心区域，因为中心区域是信息区域。语言思维科技案例6、看图说话象棋27象棋2717围棋1928科技38跳棋81816【思维竞技场】训练1、三年级（二）班参加调考成绩出来后，有Y、M、V、S四位同学的成绩如下：BY同学：语文优BM同学：数学优数学优语文优V同学：数学、语文都不是优数学优语文优S同学：数学、语文都是优ACD请问他们应该站在图一中的那个区域？ACD全部同学全部同学象棋177围棋1422科技象棋177围棋1422科技38跳棋91813只参加象棋，没有参加其它活动的有只参加象棋，没有参加其它活动的有人。同时参加围棋和科技，但没参加象棋的有人。三项活动都参加的有人。【智力趣味问题】1，有一天，小李去体育场参观田径比赛，看400米的圆形跑道上正在进行着万米决赛。他发现跑在他朋友小马面前的有5个人，后面的也有5个人。那么，请问总共有多少人参加万米决赛？2，两个人同时来到河边，都想过河，但却只有1条小船，而且小船只能载1个人。请问，他们能否都过河？

【思维风向标】第五讲分酒【思维导航站】练醉拳的人，都要喝酒，有兄弟两人是醉拳的高手，一天，哥哥买回了十斤酒，让弟弟来分五斤回去，弟弟从家带来了一个刚好装七斤。和刚好装三斤的酒壶，哥哥说，那怎么刚好给你分五斤呢？各个酒壶上都没有刻度线，兄弟俩正为难时，嫂子发话了，说：“我来帮你们分酒”嫂子是这样做的：从十斤向三斤壶倒满，再将三斤壶中的酒全部倒入七斤中，再从十斤壶中向三斤壶倒满，再将三斤壶中的酒全部倒入七斤壶中。再将十斤壶中的酒将三斤壶倒满，将三斤壶中的酒倒一斤到七斤壶中（因为这时候七斤壶中，正好有一斤的空位置），这时三斤壶中剩下二斤。将七斤壶中的七斤酒全部倒入十斤壶中，再将三斤壶中的二斤倒入七斤壶中（注意：这时七斤壶中只有二斤酒），将十斤壶中的酒倒满三斤壶，将三斤壶中的三斤酒倒入七斤壶，就得到了两个五斤酒。小朋友们，你们看了这段文字会分了吗？【思维新航道】案例1、有一个10斤的酒壶，装满了酒，另外有两个空酒壶，分别是3斤和7斤的，请分出3斤和7斤的酒。【思维点睛】0+3=3，0+7=7，其中“0”表示原来3斤和7斤的酒壶是空着的，“+3”和“+7”表示向壶中倒酒。10斤满 7斤空 3斤空 案例2、有一个10斤的酒壶，装满了酒，另外有两个空酒壶，分别是3斤和7斤的，请分出一个4斤的酒来。【思维点睛】7-3=4，其中“7”表示：7斤的壶装满了酒，“减3”表示：将7斤壶中的酒向空着的3斤壶倒酒，把3斤壶倒满，“=4”表示：7斤壶内还剩下4斤。10斤满 7斤空 3斤空 案例3、有一个10斤的酒壶，装满了酒，另外有两个空酒壶，分别是3斤和7斤的，请分出一个1斤的酒来。【思维点睛】7-3=4，4-3=1，（7-3-3=1），其中“7”表示：7斤的壶装满了酒，“减3”表示：将7斤壶中的酒向空着的3斤壶倒酒，把3斤壶倒满，“=4”表示：7斤壶内还剩下4斤。将3斤壶中的3斤酒倒入10斤壶后，“4-3=1”中的“4”的表示：7斤壶内还剩下的4斤，“减3”表示：将7斤壶中剩下的4斤酒向空着的3斤壶倒酒，把3斤壶倒满，“=1”表示：7斤壶内还剩下1斤。请看案例4中表格的记录。10斤满 7斤空 3斤空 案例4、有一个10斤的酒壶，装满了酒，另外有两个空酒壶，分别是3斤和7斤的，请分出一个5斤的酒来，并装在7斤的酒壶中。【思维点睛】3+3+3-7=2，2+3=5，其中“3+3+3”表示：从10斤的壶中向3斤的壶倒了3次，“减7”表示扣除7斤，具体的请大家看下面的表格。开始状态10斤满 7斤空 3斤空 703730433460163172802820523550从上面表格中的数字来看，还可以分1、2…………8斤。你们喜欢“文字”说明，还是“表格”说明，请评选~~~~~~【思维竞技场】训练1、有一个8斤的酒壶，装满了酒，另外有两个空酒壶，分别是3斤和5斤的，请分出3斤和5斤的酒。训练2、有一个8斤的酒壶，装满了酒，另外有两个空酒壶，分别是3斤和5斤的，请分出一个2斤的酒来。训练3、有一个8斤的酒壶，装满了酒，另外有两个空酒壶，分别是3斤和5斤的，请分出一个1斤的酒来。训练4、有一个8斤的酒壶，装满了酒，另外有两个空酒壶，分别是3斤和7斤的，请分出一个4斤的酒来，并装在5斤的酒壶中。案例1、水浒中的孙二娘开酒店时，只有7两和11两的两个量具，有一次高太尉到其店中吃饭，故意为难孙二娘，说要买1两酒，结果孙二娘用两个量具倒腾来，倒腾去，倒出来了一个1两酒，高太尉喝了1两酒。不干心继续为难孙二娘，说还要买个6两酒，结果孙二娘又做到了，同学们，我们一起来看孙二娘是怎么做到的。7两11两开始状态7两11两大酒缸大酒缸课外训练：水浒中的孙二娘开酒店时，只有7两和11两的两个量具，有一次高太尉到其店中吃饭，故意为难孙二娘，说要买9两酒，结果孙二娘用两个量具倒腾来，倒腾去，倒出来了一个9两酒，同学们，你们看孙二娘是怎么做到的。【智力趣味问题】1，有一天，小李去体育场参观田径比赛，看400米的圆形跑道上正在进行着万米决赛。他发现跑在他朋友小马面前的有5个人，后面的也有5个人。那么，请问总共有多少人参加万米决赛？2，两个人同时来到河边，都想过河，但却只有1条小船（没有船夫），而且小船只能载1个人。请问，他们能否都过河？

【思维风向标】第六讲下格子棋【思维导航站】小朋友们，在平常的生活中，下过各种各样的棋，例如跳棋、飞行棋、围棋、象棋等，每一种棋都有规则和策略，今天老师发明了一个格子棋，它很简单，棋盘和棋子便于制做。下棋的规则可以改变。下棋前先约定规则，再开始下棋。两个对于轮流地按规则下棋，请看：【思维导航站】案例1、每个人拿起棋子（△）只能向右走一格，谁先走到最右边，谁就获胜。现在让你选择的话。你选择先走还是后走？△△△案例2、每个人拿起棋子（△）只能向右走1格或2格谁先走到最右边格子中，谁就算获胜。为了获胜，你选择先走还是后走？△△△△△案例3、每个人拿起棋子（△）只能向右走1格或2格，谁先走到最右边格子中，谁就算获胜。为了获胜，你选择先走还是后走？△案例4、每个人拿起棋子（△）只能向右走1、2格或3格，谁先走到最右边格子中，谁就算获胜。为了获胜，你选择先走还是后走？△△△△【思维竞技场】与家人和其他的小朋友下棋：1，每个人拿起棋子（△）只能向右走一格，谁先走到最右边，谁就获胜。现在让你的对手来选择。△2，每个人拿起棋子（△）只能向右走1格或2格谁先走到最右边格子中，谁就算获胜。现在让你的对手来选择。△3，每个人拿起棋子（△）只能按箭头方向走1格或2格，谁先走到最后的格子中，谁就算获胜。现在让你的对手来选择。△请家长写个证明，孩子是否在家和人下过棋。【智力趣味问题】1，有一天，小李去体育场参观田径比赛，看400米的圆形跑道上正在进行着万米决赛。他发现跑在他朋友小马面前的有5个人，后面的也有5个人。那么，请问总共有多少人参加万米决赛？2，过河两个人同时来到河边，都想过河，但却只有1条小船（没有船夫），而且小船只能载1个人。请问，他们能否都过河？3，搬家某富翁的左右邻居都养狗，一到晚上，这两条狗就吠叫不停。无法忍受折磨的富翁便出搬家费1万元，希望左右邻居搬走。的确，两个邻居是连狗一起搬走了，可是一到晚上，富翁还是听到完全相同的狗吠声。请问这是为什么？

【思维风向标】第七讲贴标签——划数游戏【思维导航站】聪明、善良、幽默的阿凡提，因为经常帮助穷人，而惹恼了有钱的老爷和官吏们，他们通过卑鄙的手段，陷害阿凡提，把他关进了监狱。国王知道这事后，有心想帮阿凡提，苦于找不到证据，只好来到监狱，搞一次特赦，希望阿凡提能用自己的智慧，争取到特赦的机会而出狱。国王知道很多的犯人，都希望喝酒划拳，他就来了个“划数”游戏，谁最后胜出，谁就被特赦。游戏与规则是，在一个圆圈的周边，顺时针依次排上若干个自然数，从某个数开始划起，划去的数就算没有了，顺时针，隔一个数，划掉一个数，最后只剩下一个数。国王先说从几开始，看谁能在5秒内，准确说出，剩下的数是几。监狱长将全监狱的一千多犯人集合了起来，第一次，国王将1—16个自然数依顺时针排好，见下图，国王说：先从1开始划掉数，问最后剩下的是几？阿凡提和另外的几十名犯人都在规定的时间内，回答了正确的结果，16。第二次，还是1—16个自然数依顺时针排好，国王说：先从9开始划掉数，问最后剩下的是几？阿凡提和另外的十二名犯人都在规定的时间内，回答了正确的结果，8。第三次，国王将1—20个自然数依顺时针排好，国王说：先从1开始划掉数，问最后剩下的是几？这次就只有阿凡提一个人在规定的时间内，回答了正确的结果，8。阿凡提用自己的智慧获得了特赦！【思维新航道】案例1、在下面的各个圆圈上划掉数字，规则是从1开始划起，顺时针每隔一个数划掉一个数。最后只剩下一个数，就算划完了，请大家在草稿纸上抄下来，再划数大家发现了什么？【思维点睛】大家不要轻易地做结论。案例2、划数的规则不变。每个图，都从“1”开始划起，看看最后剩下的一个数是几？大家发现了什么？案例3、划数的规则不变。下左图中，从字母A开始划起，最后剩下的字母是什么？下左图中，从字母E开始划起，最后剩下的字母是什么？下面中间的图形中，从字母P开始划起，最后剩下的字母是什么？下面中间的图形中，从字母S开始划起，最后剩下的字母是什么？下右图中，从字母E开始划起，最后剩下的字母是什么？案例4、划数的规则不变。1，下左图中，小明同学做划数游戏，最后剩下的是8，它开始划的数字是几？2，上面的中间图形中，小明同学做划数游戏，最后剩下的是25，它开始划的数字是几？【思维竞技场】划数的规则不变。每个问题都不要划，直接心算后，说出答案。下左图中，从字母B开始划起，最后剩下的字母是什么？下左图中，从字母F开始划起，最后剩下的字母是什么？下面中间的图形中，从字母K开始划起，最后剩下的字母是什么？下面中间的图形中，从字母L开始划起，最后剩下的字母是什么？下右图中，从字母N开始划起，最后剩下的字母是什么？6，在下图中，从开始划起，剩下的是13。【思维风向标】第八讲抓棋子【思维导航站】小明同学很喜欢下围棋和五子棋，当没有对手和他下棋时，他就数围棋子玩，由于经常数棋子的缘故，所以他对棋子数目的变化和规律掌握的很清楚，例如，有一堆围棋子，其中黑子数是白子数的两倍，每次从中拿白子3颗，黑子5颗，当白棋拿完时，黑子还剩下8颗。小明能很快地说出原来白棋有24颗。我们也来抓抓棋子，看看有什么道理和规律。【思维新航道】案例1：有一堆围棋子，白有18颗，黑有18颗（黑与白的数目是相等的），现在每次在白中拿1颗、黑中也拿1颗，这样的拿法，会有什么规律出现呢？【思维点睛】因为白子和黑子原来一样的多，每次拿的也是一样多，所以每次拿完后，剩下的也是一样的多，且当白拿完时，黑也正好拿完。案例2：有一堆围棋子，白有18颗，黑有18颗（黑与白的数目是相等的），现在每次在白中拿2颗、黑中只拿1颗，这样的拿法，会有什么规律出现呢？【思维点睛】因为白子和黑子原来是一样的多，现在每次拿的不是一样的多，每次黑少拿了一颗，所以每次拿完后，黑剩下的就比白会多出来一颗，当白拿完后，黑就有剩下的，白拿了多少次，黑就剩下多少颗。案例3：有一堆围棋子，白有18颗，黑有36颗，黑是白的两倍，现在每次在白中拿2颗、黑中拿4颗，这样的拿法，会有什么规律出现呢？【思维点睛】现在白子和黑子，在开始时，是不一样的多，但是，黑是白的两倍，现在每次拿的也不是一样的多，但每次，黑拿的也是白的两倍，所以，黑，剩下的也是白剩下的两倍。案例4：有一堆围棋子，白有18颗，黑有36颗，黑是白的两倍，现在每次在白中拿2颗、黑中拿3颗，谁先被拿完，没拿完的剩几颗？【思维点睛】现在白子和黑子，在开始时，是不一样的多，但是，黑是白的两倍，现在每次拿的也不是一样的多，与上面的案例不一样，现在每次在白中拿2颗、黑中拿3颗(而不是4颗)，所以每拿一次，黑就会多剩下一颗，当白拿完时，黑就有剩下的，白拿了多少次，黑就剩下多少颗。案例5：有一堆围棋子：其中黑子数是白子数的2倍，如果每次从中拿2颗白子，4颗黑子，当白子刚好拿完时，黑子拿完了没？每次从中拿2颗白子，3颗黑子，当白子拿完时，黑子拿完了没？如果每次从中拿2颗白子，3颗黑子，当白子刚好拿完时，黑子拿完了没？如果这样拿了7次，请问黑子剩下了几颗？【思维竞技场】妈妈买回来了水果糖和巧克力糖各8颗，小丽每天各吃一颗，4天后，还剩下几颗？几天就全吃完了？2，有一堆围棋子，白有12颗，黑有24颗，黑是白的两倍，现在每次在白中拿2颗、黑中拿4颗，这样的拿法，会有什么规律出现呢？3，有一堆围棋子，白有12颗，黑有24颗，黑是白的两倍，现在每次在白中拿2颗、黑中拿3颗，谁先被拿完，没拿完的剩几颗？4，有一堆水果，其中桃子个数是梨子的两倍，小明每天吃3个桃子和两个梨子，当梨子吃完时，桃子还剩8个，请问原来有梨子多少个？【智力趣味问题】1，过河两个人同时来到河边，都想过河，但却只有1条小船（没有船夫），而且小船只能载1个人。请问，他们能否都过河？2，搬家某富翁的左右邻居都养狗，一到晚上，这两条狗就吠叫不停。无法忍受折磨的富翁便出搬家费1万元，希望左右邻居搬走。的确，两个邻居是连狗一起搬走了，可是一到晚上，富翁还是听到完全相同的狗吠声。请问这是为什么？

【思维风向标】第九讲养兔子【思维导航站】中世纪西欧经济开始繁荣，西方商人到东方来经商的逐渐地多起来，他们学习了东方文化，其中有一个意大利的数学家斐波那契（Fibonacci），在东方旅行后写出了一本《算法之书》，在这里提出了1对兔子的繁殖问题，这就是“斐波那契数”的来历。问题是这样的：“如果每1对兔子每月能生1对新兔，而每1对新兔在出生后的第3个月里开始生1对新兔，假定在不发生死亡的情况之下，1对初生的兔子在1年后能繁殖成多少对？”现在先列表计算如下：月份12（去年）123456789101112兔子的对数1123581321345589144233在2月份里，这对兔子生了1对小兔，总共是2对；在3月份里，仍然只有原来的1对能生小兔，所以总共是3对；在4月份里，因为2月份出生的兔子会生小免子，因此，这个月生了2对小兔，总共就有5对了；在5月份里，又增加了，共有8对；依同样的方法算出各个月份兔子的总数，如表中所列出的数目。从表中所列各个月份的兔子对数，我们发现了一个有趣的规律，就是后面一个月的兔子总数，恰好等于前面两个月的兔子总数的和。现在把各月份的兔子对数，排成一列数为：1，1，2，3，5，8，……，233，……上面这一列数就称为斐波那契数列。这数列的每项叫做斐波那契数。兔子全身都是宝，兔皮、兔毛可以做衣物和衣饰，兔肉具有较高的蛋白质和低脂肪，国家为了发展经济，鼓励农民养兔子致富。下面我们来看看王大爷家养兔子的情况。【思维新航道】案例1：王大爷家买了一对刚出生（算一个月大）的兔子，每对兔子长到3个月，就生下一对小兔子，以后每个月都生一对小兔子，兔子刚生下就是一个月大。请问四个月后，王大爷家有几对兔子？【思维点睛】在2月份里，这对兔子生了1对小兔，总共是2对；在3月份里，仍然只有原来的1对能生小兔，所以总共是3对；在4月份里，因为2月份出生的兔子会生小免子，因此，这个月生了2对小兔，总共就有5对了；月份12（去年）1234兔子的对数11235【思维新航道】案例2：王大爷家买了一对刚出生（算一个月大）的兔子，每对兔子长到3个月，就生下一对小兔子，以后每个月都生一对小兔子，兔子刚生下就是一个月大。请问四个月后，王大爷家有几对能生的兔子？，刚出生的兔子有几对？【思维点睛】见案例1的思维点睛，从中可以找到答案。但是我们应该用更好的方式来记录，那就是表格。月份12（去年）1234【思维新航道】案例3：王大爷家买了一对刚出生（算一个月）的兔子，每对兔子长到3个月，就生下一对小兔子，以后每个月都生一对小兔子，兔子刚生下就是一个月大。请问8个月后，王大爷家有几对能生的兔子？，两个月大的兔子有几对？【思维点睛】将上面4月份的数据先记录在下面的4月份的表格中，然后5月份的按4月份的来推算，6月份的按5月份的来推算。。。。。。月份45678【思维新航道】案例4：王大爷家买了一对刚出生（算一个月）的兔子，每对兔子长到3个月，就生下一对小兔子，以后每个月都生一对小兔子，兔子刚生下就是一个月大。请问12个月后，王大爷家有几对能生的兔子？，两个月大的兔子有几对？【思维点睛】同上面的案例一样，逐月计算。月份89101112请同学们把1月份到12月份的兔子的总对数全部排列出来：看看有什么规律？这样的规律我们在那见过的？【思维竞技场】训练1：洪山第二养殖场买回7对刚出生（算一个月大）的兔子，每对兔子长到3个月，就生下一对小兔子，以后每个月都生一对小兔子，兔子刚生下就是一个月大。请问8个月后，养殖场有了几对能生的兔子？，两个月大的兔子有几对？训练2：洪山第二养殖场买回7对刚出生（算一个月大）的兔子，每对兔子长到3个月，就生下一对小兔子，以后每个月都生一对小兔子，兔子刚生下就是一个月大。请问12个月后，养殖场有了几对能生的兔子？，刚出生的兔子有几对？月份12（去年）123456789101112

【思维风向标】第十讲形象思维初步——画线段【思维导航站】同学们，你们会画线段吗？你们画的线段是横、竖、还是斜着？线段有长短之分吗？如何比较线段的长短呢？你们用线段做过数字应用题吗？在我们前面的下格子棋和下次的下格子棋训练中，都有过游戏规则，同样地，在数学中画线段时，也有些基本规则：1、横着画线段2、要有左对齐线3、分开画，就是不要在一个长线段上，打很多的“分段符号”4、标注线段的含义5、整理线段（见训练题）今天，我们来看看用线段如何表现，“加、减、乘、除”的运算，并应用到几个具体问题上。【思维新航道】案例1：加减运算的画法与表现：3+55+35-312-530+5050+3060-40180-4623+35136+37100-701100-800【思维点睛】加法就是把线段连起来，然后看连起来的线段有多长。减法就是比较线段，看长出来的有多少，这就是差。【思维新航道】案例2：乘法运算的画法与表现：2×35×23×66×312×4100×311100×5【思维点睛】乘法就是把“被乘数按乘数的个数连起来，连起来的线段就是乘积”，也和同学们现在学的“倍数”具有相同的含义。【思维新航道】案例3：除法运算的画法与表现：4÷240÷2400÷215÷38÷49÷3156÷2156÷4【思维点睛】除法就是把“被除数按除数来分等份，分出来的一等份，就是商”，也和同学们以后学的“分数”具有相同的含义。【思维新航道】案例4：综合运用：小明与小丽的钱一共有13元，小明比小丽少5元。妈妈的年龄是小丽的3倍，妈妈和小丽的年龄和起来是60岁。爸爸的年龄是小明的4倍，爸爸比小明大30岁。【思维点睛】1、先画那句话，2、分开画，3、标含义，4、每个数字都要在线段图中表现出来。【思维竞技场】小明与小丽的钱一共有13元，小明比小丽少5元。请问小丽有多少元？妈妈的年龄是小丽的3倍，妈妈和小丽的年龄和起来是60岁。请问小丽有几岁？爸爸的年龄是小明的4倍，爸爸比小明大30岁。请问爸爸今年几岁？

【思维风向标】第十一讲下格子棋（2）【思维导航站】同学们，一个月前，我们下过格子棋吧！今天先来下我们以前下过的格子棋，请看第一盘棋的棋盘和规则，每次拿起棋子，只能向右走1或2格，谁没棋可走，谁就算输，如果你来选择，如何保证获胜。你选择了吗？你选择对了吗？我们上次训练用的是什么方法，大家回忆起来了吗？现在，我们画了一个长方形的格子棋盘，上面的棋盘和这里的棋盘有分别，下棋的规则也有变化，△每次拿起棋子只能向右、向下或向右斜下走一格，谁先走到右下方的格子里，谁就获胜。【思维新航道】案例1：请看下面的棋盘，下棋规则不变。【思维点睛】解决问题，先学会做简单的，再去做复杂的。在解决简单问题时，学会找到方法，再运用找到的方法，去做复杂的问题。【思维新航道】案例2：请看下面的棋盘，下棋规则不变。【思维点睛】现在棋盘变大了，看起来问题复杂些了，但是，只要盯住目标，我们同样可以运用上面找到的方法来寻找制胜的方式。【思维新航道】案例3：请看下面的棋盘，下棋规则不变。【思维竞技场】回家，自己绘制棋盘，与别人讲清楚下棋规则，并与朋友、家人下棋。案例1、几周前，我们做过“抓棋子”的游戏，今天再玩一次这样的游戏，看规则我有20颗棋子放在桌面上，两个人轮流抓棋子，规定再次只允许1式2颗，谁抓到最后一颗谁为胜，如果让你选择，你选择先抓还是后抓，如果你选择先抓应该怎么抓？△△△△△△△△△△△△△△△△△△△△

【思维风向标】第十二讲“代数”游戏【思维导航站】同学们，你们学过代数没？大家都知道，初中、高中乃至大学都有代数这门课，小学也有的，例如方程，其实你们早就接触了代数，请看，3+（）=5，这就是代数，用小括号代替了数字2。代数指的是用图形、符号、字母等代替数字的意思。下面我们一起来做“代数”游戏。【思维新航道】案例1、只有一个数被代替，先写一组这游戏19-7=1236+18=5416÷8=217×3=51在每一个算式中，任意选一个数，用图形来代替□-7=1236+△=5416÷☆=2

×3=51【思维点睛】在第一个算式中，我们将“19”用“□”来代替。显然，下面的每一个算式中，都有一个数被图形来代替，这就是代数。我们自己“做”的“代数”，我们就能知道图形所代替的数字是几。案例2、用字母代替数A+5=813-B=67×P=28100÷X=10【思维点睛】现在是别人出的代数题，我们来猜猜，各个字母代替的数是几。因为“A+5=8”，那么，动动小脑筋，什么数加5，可以等于8呢，那就是3，所以A=3。另一中想法是，“5”离“8”有“多远”，有“3”这么远，所以A=3。案例3、多个数被代替，相互关联的。请看下面的四个算式：2×13+7=335+7-1=111×6+7-5=87×5+18=52+1在每个运算中将7用△代替第一个运算式为2×13+△=33每个运算式中将5用○代替，则第二个运算式为○+△-1=11在每个运算中将1用□代替，第三个运算式为□×6+△-○=8在最后一个算式中，将18用☆代替，变成了△×○+☆=52+□同学们，现在自己会编这样的问题了吗？如果行，自己尝试着编一个考考老师。而老师在考同学时，往往把最复杂、最难的算式放在前面，请看案例4案例4：请看下面的代数题：△×○+☆=52+□□×6+△-○=8○+△-1=112×13+△=33【思维点睛】在上面的几个“代数式”中，最后一个代数式中，只有一个代数符号，就是“△”，那可以先确定△=7，然后将△=7带到其它等式中，这样第三个等式中，就只有图形“○”，所以可以确定○=5，以此类推，求出其它的图形代表的数字。【思维竞技场】练习1、请找到下面各个图形所代表的数字是几？

×7=63□-13=2542÷☆=713+△=112练习2、请找到下面各个字母所代表的数字是几？A+7=2319-B=65×P=4056÷X=8练习3、请找到下面各个图形所代表的数字是几？△-2=10--○15×2--4=33--△△-○=8--□×658+□=△×○+☆【思维风向标】第十三讲排排坐【思维导航站】平时我们放学都要排好队，排队有规则。每周我们都会换座位，也有规则（以前的下棋有规则吗？！）。排队和排座位在形式上一样吗？今天我们来排排坐~看那个同学排的又多，又不重复。和我们的以前训练与做事情一样，我们先都从简单的做起，先训练一个人的，再两个人、三个人的排队，最后做到4个人的排队就可以了，然后把我们在排队当中的“道理”运用到智力竞赛题中。【思维新航道】案例1、有一个人A，让他去一个位置，那就只有一种坐法。现在有两个人A、B，让他们去排队，哪有多少种排法呢？【思维点睛】同学们应该自己排排看，并观察自己的排法。案例2、有A、B、C三个人，站成一行排队，哪有多少种不同的排法呢？并都写出来。【思维点睛】观察自己排的个种站法，看是否有规律，如果没有规律，说明条理性不科学。案例3、有A、B、C、D四个人，站成一行排队，哪有多少种不同的排法呢？并都写出来。【思维点睛】先让A站在第一位的话，就变成了B、C、D三个人的排队，再根据案例2的条理性。案例4、有1、2、3、4四个数，可以组成多少个不同的四位数呢？从小到大，四位数“2134”，排在第几呢？【思维点睛】将上一个案例中的“A、B、C、D”换成“1、2、3、4”即可。【思维竞技场】练习1、P、R、H三个字母，有多少种不同的排法？练习2、请用2、5、8三个数字组成不同的三位数，并看“528”从小到大排到第几？练习3、M、U、F、K四个字母，有多少种不同的排法？练习4，7、3、6、8四个数字，可以组成多少个不同的四位数？其中“7368”在由小到大中，排在第几位？【思维风向标】第十四讲填数游戏【思维导航站】同学们在数学学习中，做过在括号中填数的作业或练习，但是没有给出要填的“数”的范围，那样的填数游戏有点像代数游戏，但一般的填数游戏，都给出了要填的数字是什么，以及其它的要求。请小朋友来参加我们今天的填数游戏中来。【思维新航道】案例1、请将1、2、3、4、5、6这六个数，各用一次，填到下图的圆圈中，使得每个线段上的两个圆圈中的数字和都是7.【思维点睛】因为1+6=2+5=3+4=7案例2、请将3、4、5、6、7、8这六个数，各用一次，填到下图的圆圈中，使得每个线段上的两个圆圈中的数字和都是11.【思维点睛】因为8+3=7+4=6+5=11案例3、请将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数，各用一次，填到下图的圆圈中，使得每个线段上的三个圆圈中的数字和都是15.【思维点睛】将1到9这九个数分为三组，（1、5、9），（2、6、7），（3、4、8）。案例4、请将1、2、3、4、5、6这六个数，各用一次，填到下图的圆圈中，使得每条边上的三个圆圈中的数字和都是9.【思维点睛】观察后发现，前面的三个案例中的没个数都没有重复累加，而现在的顶角圆圈中的数，被两边共用，所以顶角上圆圈中的数必须先确定下来。因为1+2+3+4+5+6=21，3×9=27，27-21=6，所以三个顶角上圆圈的和是6，那么就只能选择1、2、3了！【思维竞技场】练习1、请将6、5、4、3、2、1这六个数，各用一次，填到下图的圆圈中，使得每个线段上的两个圆圈中的数字和都是7.练习2、请将3、4、5、6、7、8、9这六个数，各用一次，填到下图的圆圈中，使得每个线段上的两个圆圈中的数字和都是12.练习3、请将2、4、6、8、10、12、14、16、18这九个数，各用一次，填到下图的圆圈中，使得每个线段上的三个圆圈中的数字和都是30.练习4、请将1、2、3、4、5、6这六个数，各用一次，填到下图的圆圈中，使得每条边上的三个圆圈中的数字和都是12.【思维风向标】第十五讲脑筋急转弯【思维导航站】平时大家都喜欢做各种各样的游戏，其中有一个就是脑筋急转弯，在做脑筋急转弯游戏时，注意文字理解、场景想象、破除传统的思维习惯等，【思维新航道】比赛人数有一天，小李去体育场参观田径比赛，看400米的圆形跑道上正在进行着万米决赛。他发现跑在他朋友小马面前的有5个人，后面的也有5个人。那么，请问总共有多少人参加万米决赛？节目主持人在班级组织的晚会上，班主任要通过智力测试来选定节目主持人。他让全班同学站成一排，站的位置可以自由挑选。站好后，老师一次又一次地让奇数位置的人往前站出来，最后，让剩下的2名同学做节目主持人。现在已知班上共有50人，如果小余同学想做节目主持人的话，他应站在什么位置上？3.司机的年龄是多大你设想自己是一个汽车司机，设想自己开的车已经用了多年，挡风玻璃已经破裂，容量为40公升的油箱，目前只能加得进20公升的油，汽车的门栓已坏，只好在上下车时用铁丝拴好，汽车的排气管也需要修理。那么，请问汽车司机的年龄是多大？4，烟头有个流浪汉，他所吸的