数列万能解法

#主要性质□□□：□□□□ {a}n若m+n=p+q则a+a=a+am n p q推论：若 m+n=2p则a+a=2am n p□□□：□□□□ {a}n若m+n=p+q则a・a=a•am n p q推论：若m+n=2p则a•a=（a）2mn p其它性质1、等差数列中连续 m□□□,□□□□□□□□□□□□□：s,s-s,s-S,…等差m2m m3m 2m2、从等差数列中抽取等距离的项组成的□□□□□□□□□□如：a,a,a,a,•••□□□□□□□□□1 4 7 103、{a},{b}等差，则 {a},{a},n n 2n 2n-1{ka+b},{pa+qb}也等差。n n n4、等差数列 {a}的通项公式是 n的一次n函数，即： a=dn+c（d中0）n等差数列 {a}的前n□□□□□□□□n□□□□□ n□□□□□,即：S=An2+Bn（d丰0）n1、□□□□□□□□□□,□□□□□□ □□□□□□□:s,s-s,s-s,•••□□,□□□ qm□m2m m3m 2m2、口等比数列中抽取等距离的项组成□□□□□□□□□□□如： a,a,a,a,•••□□□□□□□□□1 4 7 103、{a},{b}等比，则{a},{a},{ka}n n 2n 2n-1 n□□□□□□ k牛04、等比数列的通项公式类似于 n的指数函数，rr rrr G即：a=cqn，其中 c=一n q□□□□□□ n□□□□□□□□□加振幅的n□□□□□,□：s=cqn-c（q丰1）n证明方法□□□□□□□□□□□□□□:1、定义法： a-a=4（常数）n+1 n2、中项法： a+a=2a（n>2）n-1 n+1 n□□□□□□□□□□□□□□:a 1、定义法： —=q（常数）an2、中项法： a•a=（a）（n>2,a丰0）n-1n+1 n n设元技巧三数等差： a-d,a,a+d四口等差： a-3d,a-d,a+d,a+3dnnnnn & # 一三数等比： —,a,aq或a,aq,aq2q四数等比： a,aq,aq2,aq3联系1、若数列 ｛a｝是等差数列，则数列 Can｝是等比数列，公比为 Cd，其中 C是常数，nd是｛a｝的公差。n2、若数列 ｛a｝是等比数列，且 a>0，则数列 ｛loga｝是等差数列，公差为 logq,n n an a其中a是常数且 a>0,a中1,q是｛a｝的公比。n数列的项a与前n项和S的关系：n ns (n=1)1.~s—s (n>2)n n—1数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。2、错项相减法：适用于差比数列(如果{a}等差，

n{b}等比，那么

n{ab}叫做差比数列)

nn即把每一项都乘以{b}的公比 q，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列n求和。3、裂口相消0：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数列可裂口为：等差数列前n项和的最值问题：1、口等差数列{a}的首项na>0，公差1d<0，则前n项和S有最大值。n(iOOOOOOa，则nS最大na>0n；a<0n+1(ii)若已知S=pn2+qn，则当nn取最靠近q-的非零自然数时2PS最大；n2、若等差数列{a}的首项

na<0，公差1d>0，则前n项和S有最小值n(i)若已知通项a，则nS最小nnan+1(ii)若已知S=pn2+qn，则当nn取最靠近—q-的非零自然数时2PS最小；n数列通项的求0：⑴公式0：①等差数列通项公式;□等比数列通项公式。⑵已知S□即a+a+n 1 2+a=f(n))求na,0000：nS-S,(n=1)丫S1—S ,(n>2)已知..『(n)求a，用作商法:n⑶已知条件中既有⑷若a—an+1 n(n>2)。S还有n=f(n)求aa，有时先求n0000：S，再求nf(1),(n=1)【毋，(n>2)a;有时也可直接求n1—a)+n—1 n—2a口n+(a—a)2 1⑸已知a，用累乘法:n n—an—1a—n1•an—2・a(n>2)口1□□□□□□□□特别地，1)形如a-=ka+b□--1a=ka+bn(k,b□□□)□□□□□□□□□□□□□□n n-1□□□□□□a；□□-a=ka+kn□□□□□□□□□□n n-1kn得到一个等2)形如3)形如 -_■1

ka+b--1的递推数列都可以用倒数法求通项。an+1=ak□□□□□□□□□□□□□□□□n(7)(理科)数学归纳法。(8)当遇到a(8)当遇到a-+1一a--1—a =d或n+1=q时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段形式。a--1□□□□□□□□□:(1)公式法：①等差数列求和公式；口等比数列求和公式。(2)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，口□□□□□□□□(3)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常n□□□□□□□□□n□□□□□□□□□n□□□□□□□□□(4)n□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□(5)裂口相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选□□□□□□□□1 —1n(n+1)nn+1=1(」k2-12k-1k+11 1n——；(k+1)k k2 (k-1)kk-1k=匕」n(n+1)(n+2) 2n(n+1) (n+1)(n+2);⑤(n+1)!n!(n+1)!⑥2(\?n+1-nn)=_2 <工<_2 nn+n++17nnn+n--1=2(Jn-n--1)□□□□□□□□□□□□：1、公式法2、由S求a- -(n=1时，a=S,n>2时，a=S-S)1 1 nnn-13、求差(商)法如：｛an1满足1a1+ +1+—a2nn=2n+5解：-1n=1时，一a=2义1+5,.・a=1421 11 1 1一一一一nN20^,—a+—a+ + a—2n—1+5 <2>21222 2n-1n-11<1>—<2>得：——a—22nn•\a=2n+1n. [14(n—1)・・a=<n 2n+1(n>2)I□□□□数列｛a｝满足S+S=5a，a—4，求an n n+13n+1 1 nS(注意到a=S-S代入侍：一n+1=4n+1 n+1 n Sn・{・{S}是等比数列，Sn=4nnn>2时，a—S-S= ― 3,4n-1nnn-14口乘法例如：数列｛a｝例如：数列｛a｝中，a—3,n 1aa1

―3-——n———aa22 n-1解:a一nn11― ,an+1nn-1 .a1- ,••—n"——nan1TOC\o"1-5"\h\zT7c. 3^又a=3,••a——1 nn5口■□口公□由a-a=f(n),a=a，求a，用迭加法n n-1 1 0 nn>2时，a-a―f(2)1a-a=f(3)上/日2 B两边相加，得：a-a—f(n)n n-1a-a=f(2)+f(3)+……+f(n)n1・a=a+f(2)+f(3)+……+f(n)n0□□□□数列｛a｝,a=1,a—3n-1+a (n>2)，求an 1 n n-1 n(a=1Gn-1))n26、口口■■口a=ca+d(、d为常数，c中0,c中1,d中0：n n-1

可转化为等比数列，设a+x=c(a +x)n-1na=ca +(c-1)xn-1令(c-1)x=d,，x=是首项为a1c为公比的等比数列•Cn•Cn-1+ c-1JCnCn-1Ia1+□□□□数列｛a数列｛a｝满足a=9，

n 13an+1+a=4,求an nn-1(a=8-4 +1)nI3J?□□□□2a例如：a=1,a= n—,求an+1a+2nn由已知得:TOC\o"1-5"\h\z1a+2 1 1由已知得: =-n =+a2a2an+1 n n1 1 - aan+1 n.•./］为等差数列IanJX=1+(n-1)・1=1(n+1)a 22n.c 21a二 nn+1□□□n□□□□□□□：1、公式口：等差、等比前 n□□□□?□□□□：□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□如：｛a｝是公差为d的等差数列，求£^^n aak=1kk+1□:由=z1)=1(-1-JL1(d00)

a•aa(a+d)d<aaJkk+1kk kk+1□□□□・・・Jk=1aakk+1dIak=1 kakJ求和:kaa)

n n+1anJ(an若｛a｝为等差数列，n｛b｝为等比数列，求数列｛ab｝(差比数列)前n项和，可由S-qS求S其中q为｛b｝的公比。n如：Sn=1+2x+3x2+4x3++nxn-1x+2x2+3x3+4x4++(n-1)xn-1+nxn(1-x)S=1+x+x2+

n+xn-1一nxnx牛1时，(1-xn)x=1时，nxn(1-x)2 1-xn(n+1)+n