新人教版高中数学教材例题课后习题必修二72复数的四则运算

复数的四则运算复数的加､减运算及其几何意义例1计算.解：.例2根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点，之间的距离.分析：由于复平面内的点，对应的复数分别为，，由复数减法的几何意义知，复数对应的向量为，从而点，之间的距离为.解：因为复平面内的点，对应的复数分别为，，所以点，之间的距离为.练习1.计算：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）5（2）（3）（4）0【解析】【分析】直接进行复数的加减运算即可.【详解】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式.【点睛】本题考查复数的加减运算，属于基础题.2.如图，向量对应的复数是z，分别作出下列运算的结果对应的向量：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）作图见解析（2）作图见解析（3）作图见解析【解析】【分析】复数与以原点为起点的向量是一一对应的，根据平行四边形法则作出相应向量即可.【详解】（1）复数1与复平面内点一一对应，利用平行四边形法则作出所求向量，如图所示：（2）复数与复平面内点一一对应，利用平行四边形法则作出所求向量，如图所示：（3）复数与复平面内点一一对应，利用平行四边形法则作出所求向量如图所示：【点睛】本题考查复数加法的几何意义，属于基础题.3.证明复数的加法满足交换律、结合律.【答案】证明见解析【解析】【分析】设，根据复数的加法运算证明，即可.【详解】证明：复数的加法满足交换律.设，则有，，∵，，∴.即复数的加法满足交换律.复数的加法满足结合律.设，有，∴，即复数的加法满是结合律.【点睛】本题考查复数加法运算的交换律、结合律的证明，属于基础题.4.求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离：（1）；（2）.【答案】（1）（2）5【解析】【分析】即为复平面上点到的距离，求的模即可.【详解】（1）；（2）.【点睛】本题考查复平面内两个复数对应的两点之间的距离，属于基础题.复数的乘､除运算例3计算.解：.例4计算：（1）；（2）.分析：本例可以用复数的乘法法则计算，也可以用乘法公式①计算.解：（1）；（2）.例5计算.解：.例6在复数范围内解下列方程：（1）；（2），其中a，b，，且，.分析：利用复数乘法容易得到（1）中方程的根.对于（2），当时，一元二次方程无实数根.利用求解一元二次方程的“根本大法”——配方法，类似于（1），就能在复数范围内求得（2）中方程的根.解：（1）因为，所以方程的根为.（2）将方程的二次项系数化为1，得.配方，得，即.由，知.类似（1），可得.所以原方程的根为.在复数范围内，实系数一元二次方程求根公式为：（1）当时，；（2）当时，.练习5.计算：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据复数乘法法则求解；（2）根据复数乘法法则求解；（3）根据复数乘法法则求解.【详解】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式．【点睛】本题考查复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.6.计算：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）-5（2）-2i（3）5【解析】【分析】（1）根据复数乘法法则求解；（2）根据复数乘法法则求解;（3）根据复数乘法法则求解.【详解】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式．【点睛】本题考查复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.7.计算：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】根据复数的运算律直接计算.【小问1详解】解：；【小问2详解】解：；【小问3详解】解：；【小问4详解】解：.8.在复数范围内解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用配方法得到方程的根；（2）利用公式法得到方程的根.【详解】解：（1）因为，所以方程的根为．（2）因为，所以方程的根为，即．【点睛】本题考查复数范围内一元二次方程的根，考查基本分析求解能力，属基础题.习题复习巩固9.计算：（1）；（2）；（3）（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】【分析】根据复数加减法的运算法则直接运算即可.【详解】（1）；（2）；（3）；（4）.【点睛】本题考查了复数加减混合运算，考查了数学运算能力.10.在复平面内，复数对应的向量分别是，其中O是原点，求向量对应的复数.【答案】，【解析】【分析】根据复数写出它在复平面对应点的坐标，从而知道向量的坐标表示，利用平面向量减法的几何意义求出平面的坐标表示，最后求出对应的复数.【详解】解：由题意得，所以，故对应的复数为.因为，所以向量对应的复数为.【点睛】本题考查了复数与平面向量之间的关系，属于基础题.11.计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【解析】【分析】运用复数乘法运算法则、加减法的运算法则直接运算即可.【详解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【点睛】本题考查了复数乘法的运算、加减法的运算法则，考查了数学运算能力.12.1.计算：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】（1）分子分母同乘；（2）分子分母同乘；（3）先化简，再分子分母同乘；（4）先化简与，再分子分母同乘【小问1详解】【小问2详解】【小问3详解】【小问4详解】综合运用13.已知ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，求点D对应的复数．【答案】3＋5i【解析】【详解】试题分析：法一：设的坐标为，则对应的复数为，根据平行四边形的性质，对角线互相平分，即可求解的值，即可得到点对应的复数．法二：设的坐标为，由于，可得，求出的值，即可得到点对应的复数；试题解析：方法一设D点对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，则D(x，y)，又由已知A(1,3)，B(0，－1)，C(2,1)．∴AC中点为，BD中点为.∵平行四边形对角线互相平分，∴，∴.即点D对应的复数为3＋5i.方法二设D点对应的复数为x＋yi(x，y∈R)．则对应的复数为(x＋yi)－(1＋3i)＝(x－1)＋(y－3)i，又对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i，由于＝.∴(x－1)＋(y－3)i＝2＋2i.∴，∴.即点D对应的复数为3＋5i.点睛：本题主要考查了复数的几何意义及复数的表示，解答中根据复数的表示和平行四边形的性质，利用平行四边形的对角线互相平分和复数相等的坐标间的关系，得到方程，求解的值，其中熟练掌握复数的运算和复数相等的条件是解答的关键．14.在复数范围内解下列方程：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先判断一元二次方程根的判别式，再利用求根公式求解即可；（2）先判断一元二次方程根的判别式，再利用求根公式求解即可.【详解】解：（1）,∴方程的根为，即.（2），∴方程的根为，即.【点睛】本题考查了在复数范围内求一元二次方程根的问题，考查了数学运算能力.15.已知－3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p、q的值．【答案】【解析】【详解】∵－3＋2i方程2x2＋px＋q＝0的一个根，∴2(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0即(10－3p＋q)＋(2p－24)i＝0.∴解得拓广探索16.利用公式，把下列各式分解成一次因式的积；（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）运用平方差公式进行因式分解即可；（2）运用平方差公式进行因式分解即可.【详解】（1）；（2）.【点睛】本题考查了在复数范围内因式分解，考查了平方差公式的应用，属于基础题.17.若，则复平面内满足的点2的集合是什么图形？【答案】以为圆心，以3为半径的圆.【解析】【分析】解法1：根据复数模的几何意义进行判断即可；解法2：根据复数的减法的运算法则和复数模的公式进行求解判断即可.【详解】解法1：由复数模的几何意义可知，复平面内满足的点Z的集合是以为圆心，以3为半径的圆.解法2：.即，故复平面内满足的点2的集合是以为圆心，以3为半径的圆.【点睛】本题考查了复数模的几何意义，考查了数学运算能力，属于基础题.10.使用信息技术手段进行试验：尝试在复数集中对实系数多项式进行因式分解，观察并记录所发现的规律.变式练习题18.计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2020＋2021i)＋(2021－2022i)．【答案】1011－1012i【解析】【分析】根据复数的加减法运算法则化简计算即可.【详解】原式＝(1－2＋3－4＋…－2020＋2021)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2021－2022)i＝(2021－1010)＋(1010－2022)i＝1011－1012i.19.计算：（1）(1－2i)(1＋2i)；（2）[(5－4i)＋(1＋3i)](5＋2i)．【答案】（1）5（2）32＋7i【解析】【分析】（1）根据复数的乘法法则或平方差公式即可求得答案；（2）根据复数的乘法法则即可求得答案.【小问1详解】方法一：原式＝1＋2i－2i－4i2＝5；方法二：原式＝1－(2i)2＝1－4i2＝5.【小问2详解】原式＝(6－i)(5＋2i)＝30＋12i－5i－2i2＝32＋7i.20.在复数范围内分解因式：（1）x2＋4（2）x4－4【答案】（1）(x＋2i)(x－2i)（2）(x＋i)(x－i)(x＋)(x－)．【解析】【分析】（1）利用复数范围内的因式分解即可求解.（2）利用复数范围内的因式分解即可求解.【小问1详解】x2＋4＝(x＋2i)(x－2i)．【小问2详解】x4－4＝(x2＋2)(x2－2)＝(x＋i)(x－i)(x＋)(x－)．21.已知求复数z.【答案】或.【解析】【分析】设，根据复数代数形式的乘法运算法则及复数相等的充要条件得到方程组解得即可；【详解】解：设，则，所以，即，则解得或，故或.22.计算i＋2i2＋3i3＋…＋2020i2020＋2021i2021.【答案】1010＋1011i【解析】【分析】根据的概念和运算规则化简计算即可得出答案.【详解】原式＝(i－2－3i＋4)＋(5i－6－7i＋8)＋(9i－10－11i＋12)＋…＋(2017i－2018－2019i＋2020)＋2021i＝505·(2－2i)＋2021i＝1010＋1011i.23.设，求证：（1）（2）（3）【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由，求得，即可证得；（2）由，求得，进而求得；（3）由，分别求得和，即可证得.【小问1详解】解：由，可得，所以.【小问2详解】解：由，可得，则【小问3详解】解：由，可得，，则，所以.24.1.计算：【答案】－2i【解析】【分析】根据复数的除法法则和乘方运算即可得到答案.【详解】.25.计算：i2019＋(＋i)8－50＋.【答案】256－i【解析】【分析】根据复数的运算规则化简计算即可.【详解】原式＝i4×504＋3＋[2(1＋i)2]4－＋＝i3＋(4i)4－＋i＝－i＋256＋＋i＝256＋＝256－i.26.在复平面内分别用点表示复数2－3i，5i，－3，－5＋3i及它们的共轭复数．【答案】答案见解析【解析】【分析】根据复数的几何意义和共轭复数的概念可得答案.【详解】复数2－3i，5i，－3，－5＋3i表示的点分别为A，B，C，D，其对应的共轭复数表示的点分别为A′，B′，，D′.作图如下：27.已知z＝(x＋1)＋(y－1)i在复平面所对应的点在第二象限，求x与y的取值范围．【答案】【解析】【分析】解不等式组即得解.【详解】解：由题意得所以28.已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于，则实数x的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】由复数模的定义列不等式求解即可.【详解】由题意得，∴5x2－6x－8＜0，∴(5x＋4)(x－2)＜0，∴.【点睛】本题主要考查了复数模的计算，属于基础题.29.已知复数z1＝a＋bi，z2＝1＋ai(a，b∈R)，若|z1|<z2，则b的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】根据|z1|<z2，得到z2为实数，故a＝0，再计算不等式得到答案。【详解】因为|z1|<z2，所以z2为实数，故a＝0，，即，即－1<b<1.故b的取值范围是(－1，1).故答案为：.30.已知复数z满足条件z＝x＋yi，其中x<0，y>0，且x2＋y2<9，求此复数在复平面内表示的图形．【答案】答案见解析【解析】【分析】由复数的几何意义及点与圆的位置关系即可求解.【详解】解：如图，所求图形是以原点O为圆心、半径为3的扇形OAB的内部，不包括圆弧AB和半径OA，OB31.设全集U＝C，A＝{z|||z|－1|＝1－|z|，z∈C}，B＝{z||z|<1，z∈C}，若z∈A∩(∁UB)，求复数z在复平面内对应的点