抽象函数专题分析

抽象函数专题分析第1页，课件共32页，创作于2023年2月研究性学习“五步曲”

课题：抽象函数数学复习教学中的第2页，课件共32页，创作于2023年2月1．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则f(x)是()AA．奇函数B．偶函数C．既是奇函数，又是偶函数D．既不是奇函数，又不是偶函数第3页，课件共32页，创作于2023年2月2．函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)＝()A．13B．2

13C. 2

2D. 13C3．设奇函数f(x)满足：对∀x∈R有f(x＋1)＋f(x)＝0，则f(5)＝____.04．已知定义在R上的函数f(x)是偶函数，对x∈R都有f(2＋x)＝f(2－x)，当f(－3)＝－2时，f(2013)的值为_____.－2第4页，课件共32页，创作于2023年2月

5．已知函数f(x)的定义域为R＋，并且对任意正数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，则(1)f(1)＝____；012第5页，课件共32页，创作于2023年2月考点1正比例函数型抽象函数例1：设函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2.(1)求证：f(x)是奇函数；(2)试问在－3≤x≤3时，f(x)是否有最值？如果有求出最值；如果没有，说出理由．第6页，课件共32页，创作于2023年2月(1)证明：令x＝y＝0，则有f(0)＝2f(0)⇒f(0)＝0.令y＝－x，则有f(0)＝f(x)＋f(－x)．即f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．(2)解：任取x1<x2，则x2－x1>0⇒f(x2－x1)<0.且f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)＝－f(x2－x1)>0.∴f(x1)>f(x2)．∴y＝f(x)在R上为减函数．因此f(3)为函数的最小值，f(－3)为函数的最大值．f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.∴函数最大值为6，最小值为－6.第7页，课件共32页，创作于2023年2月

(1)正比例函数型抽象函数的一般步骤为f(0)＝0⇒f(x)是奇函数⇒f(x－y)＝f(x)－f(y)⇒单调性．(2)小技巧判断单调性：设x1<x2，则x2－x1>0⇒f(x2－x1)<0⇒f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)<f(x1)，得到函数单调递减．第8页，课件共32页，创作于2023年2月【互动探究】

1．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则下列错误的是()D第9页，课件共32页，创作于2023年2月考点2对数函数型抽象函数(1)求证：f(x)是偶函数；(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(3)解不等式f(2x2－1)<2.例2：已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，对定义域内的任意x1，x2，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时f(x)>0，f(2)＝1.(1)证明：对定义域内的任意x1，x2都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，令x1＝x，x2＝－1，则有f(－x)＝f(x)＋f(－1)．第10页，课件共32页，创作于2023年2月第11页，课件共32页，创作于2023年2月第12页，课件共32页，创作于2023年2月

证明抽象函数的单调性通常是用单调性的定义结合比较法(作差法、作商法)，函数的单调性是比较大小的常用方法．运用不等式性质时应从结论出发，寻找解题的切入点．第13页，课件共32页，创作于2023年2月【互动探究】当f(x)＝lgx时，上述结论中正确结论的序号是_____.②③第14页，课件共32页，创作于2023年2月考点3指数函数型抽象函数例3：定义在R上的函数y＝f(x)，f(0)≠0，当x＞0时，f(x)>1，且对任意的a，b∈R，有f(a＋b)＝f(a)·f(b)．(1)求证：f(0)＝1；(2)求证：对任意的x∈R，恒有f(x)＞0；(3)求证：f(x)是R上的增函数；(4)若f(x)·f(2x－x2)＞1，求x的取值范围．第15页，课件共32页，创作于2023年2月第16页，课件共32页，创作于2023年2月

(1)指数函数型抽象函数的一般步骤为f(0)＝1⇒(4)由f(x)·f(2x－x2)＞1，f(0)＝1得f(3x－x2)＞f(0)．又f(x)是R上的增函数，∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.(2)小技巧判断单调性：设x1>x2，x1－x2>0，则f(x1－x2)>1.f(x1)＝f(x2＋x1－x2)＝f(x2)f(x1－x2)>f(x2)，得到函数是增函数．第17页，课件共32页，创作于2023年2月【互动探究】

3．设指数函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，则下列等式正确的有_________(填序号)．①③④第18页，课件共32页，创作于2023年2月考点4一次函数模型:f(x+y)=f(x)+f(y)

例4:解：第19页，课件共32页，创作于2023年2月解法2：

第20页，课件共32页，创作于2023年2月例5：

解：

第21页，课件共32页，创作于2023年2月例6

若奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，又f(-3)=0，则{x|x•f(x)<0}等于A.{x|x>3或-3<x<0}B.{x|0<x<3或x<-3}C.{x|x>3或x<-3}D.{x|0<x<3或-3<x<0}【说明】

f(x)是个抽象函数，千万不要去想f(x)的解析式.思维取向不能先考虑一般，而是在一些特殊条件上“不择手段”.【手段1】（直选和筛选并用）取x>3，有f(x)>0.得x•f(x)>0，故x>3不符合要求.按奇函数的对称性，x<-3也符合要求.从而淘汰A、B、C.答案是D.——这就是所谓的淘汰法.第22页，课件共32页，创作于2023年2月【例】

若奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，又f(-3)=0，则{x|x•f(x)<0}等于A.{x|x>3或-3<x<0}B.{x|0<x<3或x<-3}C.{x|x>3或x<-3}D.{x|0<x<3或-3<x<0}【手段2】（直选与筛选并用）按对称性，0<x<3也为所求.答案为D.由f(-3)=0知f(-2)>0.此时有x•f(x)<0.故-3<x<0为所求.由x•f(x)<0，知点（x，y）在第二或第四象限.【说明】手段2变成了直选法.和手段1一样，都可通过观察法完成，不需动笔.第23页，课件共32页，创作于2023年2月【手段3】（图解法1）据题设条件作y=f(x)草图(右).在图中找出f(x)与x异号的部分,可以看出x•

f(x)<0的解集为{x|0<x<3或-3<x<0}，选D.

【例】

若奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，又f(-3)=0，则{x|x•f(x)<0}等于A.{x|x>3或-3<x<0}B.{x|0<x<3或x<-3}C.{x|x>3或x<-3}D.{x|0<x<3或-3<x<0}第24页，课件共32页，创作于2023年2月【手段4】（图解法2）

f(x)为奇函数，作x>0时的图象(右)即可.不等式x•f(x)<0的解集关于原点对称,故先解x>0.f(x)<0，借助图象得0<x<3.由对称性得x•f(x)<0的解集为{x|0<x<3或-3<x<0}，故选D.【例】

若奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，又f(-3)=0，则{x|x•f(x)<0}等于A.{x|x>3或-3<x<0}B.{x|0<x<3或x<-3}C.{x|x>3或x<-3}D.{x|0<x<3或-3<x<0}第25页，课件共32页，创作于2023年2月【手段5】（特殊值法）借助图（2）,取特殊值x=2,知f(2)<0符合条件x•f(x)<0，故0<x<3为所求.按对称性，-3<x<0也为所求.答案为D.【手段6】（特殊性法）f(x)是奇函数，则x•f(x)是偶函数.答案区间关于原点对称.从而淘汰A和B.取特殊值x=4，f(4)>0，则有x•f(x)>0，从而淘汰C.答案为D.第26页，课件共32页，创作于2023年2月【手段7】（特殊式法）符合抽象函数f(x)性质的一个具体函数为y=x-3（x>0时），令xy=x(x-3)<0，解得0<x<3按对称性还有-3<x<0答案为D.【说明】手段6，体现的“不择手段”极为有趣.朦胧中碰上了“列不等式”和“解不等式”.此时，若你要去问这个理论，则你不是个书呆子，就是个老学究.第27页，课件共32页，创作于2023年2月当然，解决抽象函数的方法和技巧多种多样，如：合理赋值，整体思考，借助特殊点，利用递推式等。有的时候需要运用多种方法和手段。第28页，课件共32页，创作于2023年2月思想与方法6．转化与化归思想解信息给予题例题：对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为G函数：①