【课件】圆与圆的位置关系-高二上学期人教A版（2019）选择性必修第一册第二章直线和圆的方程

引

入引

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入日食是一种天文现象,在民间称此现象为天狗食日.日食只在月球与太阳呈现重合的状态时发生.日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食。我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的?问题1圆与圆有几种不同的位置系？2.5.2圆与圆的位置关系第二章直线和圆的方程2023/7/132.5直线与圆、圆与圆的位置关系探究新知1个2个1个0个0个1个2个0个1个问题2观察左圆运动过程中两圆的相对位置如何变化？交点个数分别是多少？外离外切相交内切内含探究新知1.圆与圆的位置关系：(1)两圆相交，有两个公共点；(2)两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；(3)两圆相离，包括外离与内含，没有公共点.①按位置分有5种：外离、外切、相交、内切、内含.②

按公共点个数分有3种：相离、相交、相切.外离外切相交内切内含探究新知2.圆与圆的位置关系判定方法：问题3类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，如何利用圆的方程，判断它们之间的位置关系?(1)把两圆的方程联立成方程组；(2)消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程；(3)求出△；(4)判断△的符号，得出结论：①若△<0，则两圆内含或外离；②若△=0，则两圆内切或外切；③若△>0，则两圆相交．优点：能求出两圆的交点缺点：当△<0或△=0，不能判断出两圆的确切的位置关系1.代数法：探究新知(1)把两圆的方程化成标准方程；(2)求出两圆的圆心坐标及半径r1，r2；(3)求两圆的圆心距d；(4)比较d与|r1-r2|,r1+r2的大小关系，得出结论：2.几何法：判断圆心距与两圆半径的和与差的绝对值的大小关系.①若d>r1+r2

，则两圆外离；②若d=r1+r2，则两圆外切；③若|r1-r2|<d<r1+r2

，则两圆相交；④若d=|r1-r2|

，则两圆内切；⑤若0≤d<|r1-r2|

，则两圆内含．优点：直观，能够准确判断两圆的位置关系缺点：不能求出两圆的交点．探究新知①若d>r1+r2

，则两圆外离；②若d=r1+r2，则两圆外切；③若|r1-r2|<d<r1+r2

，则两圆相交；④若d=|r1-r2|

，则两圆内切；⑤若0≤d<|r1-r2|

，则两圆内含．(4)比较d与|r1-r2|,r1+r2的大小关系，得出结论：公切线？|C1C2|=0同心圆(一种特殊的内含)r2r1C1(C2)例题讲解例1解法1:将圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组①-②，得联立①③，消去y，可得方程④的根的判别式△>0，所以，方程④有两个不相等的实数根x1，x2.把x1，x2分别代人方程③，得到y1，y2.

因此圆C1与圆C2有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，这两个圆相交.yxABC2C1例题讲解例1解法2:把圆C1与圆C2的方程分别化成标准方程，得∴圆C1与圆C2相交.yxABC2C1例题讲解例12.你发现了什么？你能说明什么吗？先动手后动脑1.画出两圆的图象和方程表示的直线的图象当两圆相交时，两圆方程相减，可得两圆公共弦所在直线的方程.课堂练习1.两圆x2+y2-6x=0和x2+y2+8y+12=0的位置关系（）Ａ.相离Ｂ.外切Ｃ.相交Ｄ.内切2.若圆x2+y2-2ax+a2=4和x2+y2-2by+b2=1外离，则a,b满足的条件是________.3.两圆x2+y2-2x=0与x2+y2-4y=0的公共弦所在直线的方程__________.Bx-2y=0解:把圆C2方程化成标准方程，得∴圆C1与圆C2外切.4.

课堂练习5.

当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？例题讲解3.圆与圆相交的公共弦问题：【教材98页·9】•C(2,-2)O•xyAB解1:将圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组联立①③，消去y，可得例2例题讲解3.圆与圆相交的公共弦问题：【教材98页·9】例2•C(2,-2)O•xydAB解2:将圆C1与圆C2的方程相减，可得公共弦所在直线l的方程为l探究新知(1)当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法

若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，

则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.(2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求

出弦长.

②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.3.圆与圆相交的公共弦问题：课堂练习解:

把圆C1与圆C2的方程分别化成标准方程，得∴圆C1与圆C2相交.把圆C1与圆C2的方程相减，得∴圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为6.课堂练习解：由题意将两圆的方程相减，可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为

x＋y－1＝0.

又圆C3的圆心坐标为(1，1)，

7.圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝

所截得的弦长为______.例题讲解例3

求圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程.∴两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点坐标分别为A(－1，－1)，B(3，3)，线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y－1＝－(x－1).即所求圆的圆心坐标为(3，－1)，所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.解法一:得两圆公共弦所在直线的方程为y＝x.例题讲解例3

求圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程.解法二:设经过两圆交点的圆系方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)，所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0.例题讲解【教材98页·7】解1：例题讲解【教材98页·7】解2：4.圆系方程：例题讲解1.若两圆相交，则过交点的圆系方程为2.若两圆相切(内切或外切),则公切线所在直线方程为

注意：①

λ为参数,圆系中不包括圆C2;

②当λ＝－1时,方程两圆的公共弦所在直线方程,即(也就是两圆方程相减所得)例题讲解例4

已知圆O的直径AB＝4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍.试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.•P•MxyO•AB解:如图示，以线段AB的中点O为原点建立平面直角坐标系.由AB=4，得A(一2,0)，B(2,

0).所以点M的轨迹是以P(6,0)为圆心，半径为的一个圆.

因为两圆的圆心距为|PO|=6，两圆的半径分别为r1=2，r2=，又r2-r1<|PO|<r2+r1，所以点M的轨迹与圆O相交.例题讲解已知圆O的方程为x2+y2=9,求过点A(1,2)所作的弦的中点P的轨迹.变式:探究新知已知圆O的方程为x2+y2=9,求过点A(1,2)所作的弦的中点P的轨迹.变式:点

差

法例题讲解O•xyAlBC(-1,2)得直线与圆的交点坐标为故所求圆方程为：解1：【巩固训练2】例题讲解【巩固训练2】设所求圆的方程为解2：故面积最小的圆的方程：例题讲解【巩固训练3】解：探究新知【典例】已知⊙C:(x－1)2＋(y－2)2＝2,P(2,－1),过P作⊙C的切线,切点为A,B.求:(1)直线PA、PB的方程；(2)过点P与⊙C相切的切线长；(3)∠APB的余弦；(4)以PC为直径的圆的方程；(5)直线AB的方程.xyOPABC例题讲解解：【典例】已知⊙C:(x－1)2＋(y－2)2＝2,P(2,－1),过P作⊙C的切线,切点为A,B.求:(1)直线PA、PB的方程；xyOPABC例题讲解解：【典例】已知⊙C:(x－1)2＋(y－2)2＝2,P(2,－1),过P作⊙C的切线,切点为A,B.求:(2)过点P与⊙C相切的切线长；xyOPABC例题讲解(3)取两切线PA、PB的方向向量分别为【典例】已知⊙C:(x－1)2＋(y－2)2＝2,P(2,－1),过P作⊙C的切线,切点为A,B.求:(3)∠APB的余弦；xyOPABC解：例题讲解∴以PC为直径的圆的圆心坐标为半径为【典例】已知⊙C:(x－1)2＋(y－2)2＝2,P(2,－1),过P作⊙C的切线,切点为A,B.求:(4)以PC为直径的圆的方程；xyOP(2,－1)ABC解：∴以PC为直径的圆方程为：∴以PC为直径的圆方程为：例题讲解【典例】已知⊙C:(x－1)2＋(y－2)2＝2,P(2,－1),过P作⊙C的切线,切点为A,B.求:(5)直线AB的方程.解1：xyOP(2,－1)ABC例题讲解【典例】已知⊙C:(x－1)2＋(y－2)2＝2,P(2,－1),过P作⊙C的切线,切点为A,B.求:(5)直线AB的方程.解2：xyOP(2,－1)ABC例题讲解【典例】已知⊙C:(x－1)2＋(y－2)2＝2,P(2,－1),过P作⊙C的切线,切点为A,B.求:(5)直线AB的方程.解3：xyOP