概率论与数理统计知识点总结(详细)

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念1．事件间的关系A仁B则称事件B包含事件A，指事件A发生必然导致事件B发生A不B={xxEA或xEB}称为事件A与事件B的和事件，指当且仅当A，B中至少有一A八B={xxEA且xEB}称为事件A与事件B的积事件，指当A，B同时发生时，事件A—B={xxEA且x庄B}称为事件A与事件B的差事件，指当且仅当A发生生时，事件A—B发生基本事件是两两互不相容的定义在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数n称为A事件A发生的频数，比值nn称为事件A发生的频率A称为事件的概率1．概率P(A)满足下列条件：P(A)（n可2．概率的一些重要性质：等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同i1]i2ikijnS中基本事件的总数（1）定义：设A,B是两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)=为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率（2）条件概率符合概率定义中的三个条件Bii（3）乘法定理设P(A)>0，则有P(AB)=P(B)P(A|B)称为乘法公式ii贝叶斯公式：P(BkΣΣii定义设A，B是两事件，如果满足等式P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A,B相互独立第二章随机变量及其分布1．离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量2．三种重要的离散型随机变量—kqn-kk注意到kqn-k是二项式n的展开式中出现pk的那一项，我们称随机变量X服从参数为λke-λλke-λ连续随机变量：如果对于随机变量X的分布函数F（x存在非负可积函数f(x)，使对于密度函数，简称概率密度f(x)dx4）若f(x)在点x处连续，则有F，(x)=f(x)2,三种重要的连续型随机变量(1)均匀分布(2)指数分布,其他,则成X在区间(a,b)上服从,其他1(x-μ)2fYfXl的随机变量，称X=X(e)为随机变量，由它们构成的一个向量（X，Y）叫做二维随机变量布函数如果二维随机变量（X，Y）全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称（X，Y）是离散型的随机变量。xf二维随机变量（X，Y）作为一个整体，具有分布函数F（x，y）.而X和Y都是随机XY伪伪i•iji•jiji伪伪i•iji•jijii••jppi••jf(x,y）dx分别称fX(x)，fY(y)为X，Y关于X和关于Y的边缘概率密度。定义设（X，Y）是二维离散型随机变量，对于固定的j，若P{Y=yj}>0,j条件下j•jii•设二维离散型随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)X，Y）关于Y的边缘概率密度为fY(y)，若对于固定的y，fY(y)〉0，则称为在Y=y的条件下X的条件概Yf(x,y)XYf(y)率密度，记为f(x,y)XYf(y)Y§4相互独立的随机变量定义设F（x，y）及F(x)，F(y)分别是二维离散型随机变量（X，Y）的分布函数XYXY对于二维正态随机变量（X，YX和Y相互独立的充要条件是参数P=0设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度f(x,y).则Z=X+Y仍为连续性随机变量，其概率密度为fX+Y(z)=又若X和Y相互独立，设（X，Y）关于X，Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y)则伪fX(z-y）fY伪fX(x）fY(z-x)dx这两个公式称为f,f的卷积公式XY有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布YZ=XY的分布设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度f(x,y)，则Z=YX仍为连续性随机变量其概率密度分别为fYX(z)=∫伪xf(x,xz)dxf(x,)dx又若X和Y相互独立，设（X，Y）关于X，Y的边缘密度分别为设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x),FY(y)由于第四章随机变量的数字特征则称级数Σ伪xp的和为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即E(X)=Σxp定理设Y是随机变量X的函数Y=g(X)(g是连续函数)（ii）如果X是连续型随机变量，它的分概率密度为f(x)，若∫伪g(x)f(x)dx绝对收敛则有E(Y)=E(g(X))=伪g(x)f(x)dx数学期望的几个重要性质1设C是常数，则有E(C)=C4设X，Y是相互独立的随机变量，则有E(XY)=E(X)E(Y)定义设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]2}存在，则称E{[X-E(X)]2}为X的方差，D(X)=E(X-E(X))2=E(X2)-(EX)2方差的几个重要性质1设C是常数，则有D(C)=0,别，若X,Y相互独立，则有D(X+Y)=D(X切比雪夫不等式：设随机变量X具有数学期望E(X)=σ2，则对于任意正数ε,不等式2成立ε2Cov(X,Y)=E[(XE(X))(YE(Y))]=E(XY)E(X)E(Y)Cov(X，Y）而pXY=D(X)D(Y)称为随机变量X和Y的相关系数一_协方差具有下述性质定理12pp<1XY附：几种常用的概率分布表分布律或概率密度分布律或概率密度n分布布分布参数pλk!,λk!,p2(b-a)2泊松分布几何分布均匀分布指数分布正态分布1p2,其他-xθe-()21f(x)=λ2第五章大数定律与中心极限定理弱大数定理（辛欣大数定理）设X1，X2…是相互独立，服从统一分布的随机变量序列，并具nknkk伯努利大数定理设fA是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数ε〉0，有limP{fn-p<ε}=1或limP{fn-p>ε}=0定理一（独立同分布的中心极限定理）设随机变量X1,X2,…,Xn相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差E(X)=μ,D(X)=σ2（k=1,2，…则随机变量ik)ΣX-nμΣ)ΣX-nμ