调和函数Liouville定理的推广

1在研究复分析、哈密顿力学、数论、微分、代数中都有它的身影出现。调和函数是指满足拉普拉斯方程且存在二阶连续偏导的实解析函数。hnn0DphxDphxlimM(xph,x,p)0pp2m0=limA(x=limA(xph,x,p)pp2m0lim1M(h+,0,r)=0(特别是当limh(x)=0时)rrmrrm第一章绪论Liouville复数域上都是全纯函数)的值域进行了刻画，它的内容为任何有界的整函数都恒等于一个常数。在物2定理指出了具有初等原函广拉拉普拉斯算子是一个n维欧式空间中的二阶微分算子，其定义为梯度(f)的散度(•f)。所以一个二阶可微的实函f数的拉普拉斯算子定义为：f=2f=•f1.2.2拉普拉斯方程拉普拉斯方程是一种常见的偏微分方程，也可叫做调和方程或者位势方程，其形3第二章Liouville定理推广和函数且在n上满足h0，则h就等价于一个(非负)常函数。在近几年的报道中，并且hH在n上总是大于等于0，那么f就等于一个(非负)常函数乘以H。Murdock也4阶调和的，假如f在n上是实解析的并且Am(f)=Am-1(Af)=0(这里A是拉普拉斯算子)。一个小于等于2m-2次的(非负)多项式。n上的一个点，并规定n上的一个点，并规定i1i11122...nn1122...nn?p?飞p1?飞p2...?飞pn12n如果x=n，我们用S(p)和B(p)分别表示以x为圆心，以p(p>0)为半径的超球面0oo0onono00p)的p2m00p)的p2m0lim1M(h+,0,r)=0(特别是当limh(x)=0时)r)的rmr)的rm5第三章定理三的证明0001111ssssss=I+I=I+I应用归纳法假设，我们有oo1应用归纳法假设，我们有oo1p)w1p)w2nlimn山(m,n)M(xph,x,p)=lim山(m,n)j飞p1yhd装pp)wp2m0p)wsp2mppwvpmnB1?飞pwvpmnB1?飞no(p)110106lim1M(f,xp)=n+klim1A(f,x,p)p)wpk0,np)wpk01定理四的证明(1)(1)r)w通过应用定理第一个条件，可以得到在第二个假设下很容易证明,因为r)wr)wr)wr)w推论：如果h在n上调和，k>0，且x=Rn，那么p)p)w事实上，我们有p)wp)wp)w第五章定理二的证明71第一部分如果f是(2)中给出的函数，并且f之0趋近于无穷，那么函数h恒等于一个非负100p2m–210p2m–2m0 p2m–210p2m–2m0`首先，我们证明这个等式可以推导出在n中m m012n1000p)w100由这个结论，二项式定理，(3)式，定理三和它的推论就得到8?ni0?ri0?ni0?ri01我们可以得到对n中任意值都有负常数k。为了完备(4)的证明，我们现在观察Leibniz定理1对(4)式积分得到其中c是一个正整数乘以k，而c,c,...,c球面极坐标上极角度为9,9,...,9的任意连012m-112n-1续函数。因此，由定理四：h恒等于一个常数和(6)式中得到的h=c可以得到110r)wri令0r)wii=2可得(根据和导出(1)式类似的步骤)9r)的riiiq,i,其中Yq,i,是以9,9,...,9为角度的球面极角坐标系下泰勒展式的拉普拉斯函数。因为函我们有iq,i,并且根据)推倒出i=2i=2q=1r)的q,jm(8) Yri=2当j=2，q>3(此时q+2(m-2)>2m-1)时，因为Y=0，由(9)式和(10)式能得到r)的q,2q,22>2m-1)时，因为Y=0，由(9)式和(10)式能得到r)的q,3q,3因此,也就是说h是一个次数小于等于4的调和多项式。继续同样的过程我们就能完成3P(x)=xaxpp考虑到m次调和多项式P的齐次部分H的微分算子定义如下：H(x)=xaxp，D(H)=xaDp，p=mppp)w0p)w0对所有x=n均成立，并且由定理三：不等式左边等于一个正常数乘以D(H)x，我们00在n上000式我们得到x的值为0jBB0r)wr)wm数