湖南省益阳市山口中学高二数学文测试题含解析

湖南省益阳市山口中学高二数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设则的关系是(

)A．

B．

C．

D．无法确定参考答案：C略2.函数f（x）=x3﹣x2﹣x（0＜x＜2）极小值是（）A．0 B．﹣1 C．2 D．1参考答案：B【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值即可．【解答】解：f′（x）=3x2﹣2x﹣1=（3x+1）（x﹣1），（0＜x＜2），令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，故f（x）在（0，1）递减，在（1，2）递增，故f（x）极小值=f（1）=﹣1，故选：B．3.甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲及格概率为，乙及格概率为，丙及格概率为，则三人中至少有一人及格的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】先求出甲、乙、丙三位同学不及格的概率，三人中至少有一人及格的对立事件为三人都不及格，求出三人都不及格则三人中至少有一人及格的概率为1减三人都不及格的概率．【解答】解：设甲及格为事件A乙及格为事件B，丙及格为事件C，则P（A）=，P（B）=，P（C）=∴P（）=，P（）=，P（）=格，则P（）=P（）P（）P（）==∴P（ABC）=1﹣P（）=故选D4.命题若，则是的充分而不必要条件；

命题函数的定义域是，则

（

）A．“或”为假

B．“且”为真

C．真假

D．假真参考答案：D略5.在平行六面体中，设，则等于（）A、

B、

C、

D、参考答案：D略6.运行如图的程序框图，则输出s的结果是（）A．B．C．D．参考答案：B7.已知方程有两个正根，则实数的取值范围是（

）(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：D略8.从集合中随机取出一个数，设事件为“取出的数为偶数”，事件为“取出的数为奇数”，则事件与（

）A．是互斥且对立事件

B．是互斥且不对立事件C．不是互斥事件

D．不是对立事件

参考答案：A9.若，则复数在复平面上对应的点在A.第一象限

B.第二象限

C.

第三象限

D.第四象限参考答案：D10.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m(m＞0)为整数，若a和b被m除得余数相同，则称a和b对模m同余.记为.若，，则b的值可以是（

）A.2019 B.2020 C.2021 D.2022参考答案：A【分析】先利用二项式定理将a表示为，再利用二项式定理展开，得出a除以10的余数，结合题中同余类的定义可选出合适的答案。【详解】，则，所以，除以的余数为，以上四个选项中，除以的余数为，故选：A.【点睛】本题考查二项式定理，考查数的整除问题，解这类问题的关键就是将指数幂的底数表示为与除数的倍数相关的底数，结合二项定理展开式可求出整除后的余数，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若x>0,y>0且，则xy的最小值是

；参考答案：6412.将集合{|且}中的元素按上小下大，左小右大的顺序排成如图的三角形数表，将数表中位于第行第列的数记为（）,则=

.参考答案：14413.在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项互不相邻的概率为__________（用最简分数表示）.参考答案：由题意可知，展开式的通项为：（0，1，2，…，），则有，得.则当时，为整数，即在展开式的9项中，有3项为有理项，则所求的概率为14.若是正数，且满足，用表示中的最大者，则的最小值为__________参考答案：略15.已知向量a和b的夹角为60°，|a|＝3，|b|＝4，则（2a–b）a等于________参考答案：12，略16.数列的通项公式（N*），，试通过计算的值，推测出的表达式为

.参考答案：17.根据如图所示的算法流程图，可知输出的结果i为________．参考答案：7三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.把半椭圆=1（x≥0）与圆弧（x﹣c）2+y2=a2（x＜0）合成的曲线称作“曲圆”，其中F（c，0）为半椭圆的右焦点．如图，A1，A2，B1，B2分别是“曲圆”与x轴、y轴的交点，已知∠B1FB2=，扇形FB1A1B2的面积为．（1）求a，c的值；（2）过点F且倾斜角为θ的直线交“曲圆”于P，Q两点，试将△A1PQ的周长L表示为θ的函数；（3）在（2）的条件下，当△A1PQ的周长L取得最大值时，试探究△A1PQ的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出面积的取值范围．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由扇形FB1A1B2的面积为可得a，在△OFB2中，tan∠OFB2=tan60°=，又因为c2+b2=a2，可得c．（2）分①当θ∈（0，）；

②当θ∈（）；

③当θ∈（，）求出△A1PQ的周长；（3）在（2）的条件下，当△A1PQ的周长L取得最大值时P、Q在半椭圆：（x≥0）上，利用弦长公式、点到直线的距离公式，表示面积，再利用单调性求出范围．【解答】解：（1）∵扇形FB1A1B2的面积为=，∴a=2，圆弧（x﹣c）2+y2=a2（x＜0）与y轴交点B2（0，b），在△OFB2中，tan∠OFB2=tan60°=，又因为c2+b2=a2，∴c=1．（2）显然直线PQ的斜率不能为0（θ∈（0，π）），故设PQ方程为：x=my+1由（1）得半椭圆方程为：（x≥0）与圆弧方程为：（x﹣1）2+y2=4（x＜0），且A1（﹣1，0）恰为椭圆的左焦点．①当θ∈（0，）时，P、Q分别在圆弧：（x﹣1）2+y2=4（x＜0）、半椭圆：（x≥0）上，△A1PO为腰为2的等腰三角形|A1P|=4sin，△A1PQ的周长L=|QA1|+|QF|+|PF|+|A1P|=2a+a+|A1P|=6+4sin，②当θ∈（）时，P、Q分别在圆弧：（x﹣1）2+y2=4（x＜0）、半椭圆：（x≥0）上，△A1PO为腰为2的等腰三角形|A1P|=4cos，△A1PQ的周长L=|QA1|+|QF|+|PF|+|A1P|=2a+a+|A1P|=6+4cos，③当θ∈（，）时，P、Q在半椭圆：（x≥0）上，△A1PO为腰为2的等腰三角形|A1P|=4sin，△A1PQ的周长L=|QA1|+|QF|+|PF|+|A1P|=4a=8（3）在（2）的条件下，当△A1PQ的周长L取得最大值时P、Q在半椭圆：（x≥0）上，联立得（3m2+4）y2+6my﹣9=0y1+y2=，y1y2=．|PQ|=，点A1到PQ的距离d=．△A1PQ的面积s=|PQ|?d=12．令m2+1=t，t∈[1，]，s=12=12；∵g（t）=9t+在[1，+]上递增，∴g（1）≤g（t）≤g（），；10≤g（t）≤，≤s≤3∴△A1PQ的面积不为定值，面积的取值范围为：[]19.（12分）已知圆（其中O为圆心）上的每一点横坐标不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线C。（1）求曲线C的方程；（2）若点P为曲线C上一点，过点P作曲线C的切线交圆O于不同的两点A，B（其中A在B的右侧），已知点。求四边形面积的最大值。

参考答案：解：（1）设曲线上任意一点，则为上的点，，曲线。（2）易知直线的斜率存在，设，，，即，因为,设点到直线的距离为，则，，，由，，，，而，，易知，，，，。20.如图所示，圆的两弦和交于点，∥，交的延长线于点，切圆于点.（1）求证：△∽△；（2）如果=1，求的长.参考答案：（1）证明

.，.又

∽

…

4分（2）解∽，∴=..又切圆于，...

已知.

…

8分21.已知四棱锥的底面是正方形，底面，是上的任意一点。（1）求证：平面平面；（2）当时，求二面角的大小．参考答案：(1)底面,所以………2分底面是正方形,所以…………………4分所以平面又平面所以平面平面………………5分（2）证明：如图所示建立空间直角坐标系，点为坐标原点，所在的直线分别为轴.设.由题意得，,…………………6分，又设平面的法向量为，则，令，则，…………8分，，设平面的法向量为，则，令，则，……………10分设二面角的平面角为，则.显然二面角的平面角为为钝角，所以，即二面角的大小为.……………12分22.