直线倾斜角和斜率

设直线l与x轴交于点M，将x轴绕点M按逆时针方向旋转至与直线l重合时所成的最小正角a

叫做直线l的倾斜角我们规定，若直线l与x轴平行或重合时，a

=0xy

laM

O\直线倾斜角a的范围为：a

˛

[0，p

)p.XYOaXYOp

a

=

90oXpYOaYOa

=

0o2a

„p

时，k

=tan

a为直线l的斜率2a

=p

时，直线l的斜率k不存在,即为无穷大0k2pp

aXOk

=

0k

>

0Y

+

¥

(-¥

)22p

tan

a

a

„

p不存在

a

=k

=(2)已知斜率k

,求倾斜角a(1)已知倾斜角a，求斜率karctan

k k

‡

0k

<

0p

+

arctan

ka

=

(1)若已知直线

l的方向向量为

d

=

(u,

v)则斜率k

=v

(u

„0)若u

=0，则斜率k不存在，u(2)若已知a，(3)若已知k，那么d

=

(cos

a

,

sin

a

)那么d

=

(1,

k

)一条直线经过两点p1(x1,y1)，p2(x2,y2)，(x1≠x2）由p1，p2确定的直线的斜率k=？向量P1

P2的坐标是(x2

-

x1

,

y2

-

y1

)x

2

-

x1即该直线的方向向量为P1

P2

,\斜率k

=y

2

-y1（x1≠x2

)直线的斜率公式：k

=y2

-y1

.x2

-

x1k

=tan

a

˛

(-¥

,-1][1,+¥

)或不存在4

43p

]，例：(1)若直线的倾斜角a满足a

˛

[p

，X则斜率k的范围是YO对称的直线的倾斜角为？(2)若直线l:3x

+4

y

-5

=0的倾斜角为q，则l关于y

=3XYO4a

=

arctan

3(3)若直线l过A(1,2),B(m,3)，则它的倾斜角为？21

m

=

1

a

=

p12

m

„

1

tan

a

=11m

-1arctanm

<

1m

>

1m

-1p

+

arctan

a

=

11m

<

1m

-1m

>

1m

-1m

=

1p

+

arctanp2综上a

=

arctan

m

-1例：已知直线为端点的线段角a

的范围l过点P(-1,2)且与以A(-2,-3),B

(3,0)AB

有公共点，求直线斜率

k及倾斜PAB21-1

+

2

-1

-

32

+

3 2

-

0==

5,

k

PB

= =

-k

PA2\

k

‡

5或k不存在或

k

£

-

1]21\

a

˛

[arctan 5,

p

-

arctan例：若三点A(m,2),B

(-4,2m

),C

(5,1)在同一直线上，求m法一：利用向量AB

=

(-4

-

m,2m

-

2),

BC

=

(9,1

-

2m)由于AB//BC

(-4

-m)(1

-2m)=9(2m

-2)法二：利用斜率BCAB\

k

=

k由于A,B,C三点共线法三：利用行列式

2m

-

2

=

1

-

2m-

4

-

m

9m

2

1-

4

2m

1

=

05

1

1及倾斜角的范围2B

( 3

sin

x,cos

2

x),x

˛

[p

,p

],求直线斜率k例5：已知两个不同的点

A(-

cos

x,3

sin

2

x),3

sin

x=

cos

x

-3

sin

x

+

cos

xcos

2

x

-

3

sin

2

xk

=6=

-2

sin(

x

-

p

)p

p

5p6

3

6p2˛

[

,

],

p

]

x

-

x

˛

[,1]216\

sin(

x

-

p

)

˛

[\

k

=

-2

sin(

x

-

p

)

˛

[-2,-1]]3p

46\

倾斜角

q

˛

[p

-

arctan

2,2例：已知直线l

的倾斜角为a

(a

„p

)，且sina=

y

-

y0\直线l的点方向式方程为：x

-x

0过点N(x0

,y0

),求直线l的方程直线l的一个方向向量为(cos

a

,sina

)又直线l过点N

(x0

,y0

)cosa即(y

-y0

)cos

a

=(x

-x0

)sin

a(

x

-

x0)\

y

-

y0=

tan

a记k

=

tan

a

y

-

y0

=

k

(

x

-

x0

)探究：如果直线的斜率如何求直线的方程为k

,在y轴上的截距为b,由题意，该直线过点(0,

b)\直线的点斜式方程为：y

-b

=k

(x

-0)整理可得，y

=kx

+b直线的斜截式方程探究：如果直线在

x轴上的截距为

a,

y轴上的截距为

b,

如何求直线的方程

?x

+

y

=

1a

b直线的截距式方程例：过点P(-2,1)且在两坐标轴上的截距相等，求直线方程2(1)若直线过原点，则直线的方程为：y

=-1

xa

bx

+

y

=

1(2)若直线不过原点，设直线的方程为：-2

+

1

=

1

a

=

b

=

-1a

=

b则

a

b\直线方程为：x

+y

+1

=0线l的方程和的最小值求DAOB

面积的最小值及此时直求直线l在两坐标轴上的截距之求|

AP

||

BP

|

的最小值例：已知直线l过点P(3,2)且在x轴,y轴上的截距分别为a,b(a

>0,b

>0),交点为A,Ba

bx

y(1)设直线

l的方程为：

+

=

1+

=

13

2a

b

l过P(3,2)

ab

‡24,当且仅当3

=2

=1

,等号成立a

b

2\

1

=

3

+

2

‡

2

6a

b

ab6

4minx

+y

=1，即2

x

+3

y

-12

=0\S

=12,且直线l的方程为：线l的方程和的最小值求DAOB

面积的最小值及此时直求直线l在两坐标轴上的截距之求|

AP

||

BP

|

的最小值例：已知直线l过点P(3,2)且在x轴,y轴上的截距分别为a,b(a

>0,b

>0),交点为A,B(2)a

+

b

=

(a

+

b)(

3

+

2

)

=

3

+

2a

+

3b

+

2

‡

5

+

2

6a

b

b

ab当且仅当3b

=2a

等号成立sin

q

cos

q2

3a(3)

|

AP

||

BP

|=12‡

12=sin

2q4当且仅当sin

2q

=1,即q

=p

时，等号成立例：过点P(2,1)的直线l与坐标轴围成的面积为S

,(1)若l与x轴，y轴正向相交，求S的最小值(2)当S

=3和5时对应的直线分别有几条？(3)对S的不同取值，讨论l的条数(1)由题意，设直线的方程为：y

-1

=k

(x

-2)(k

<0)k\

A(2

-

1

,0),

B(0,1

-

2k

)\

S

=

1

(2

-

1

)(1

-

2k

)

=

1

(4

-

4k

-

1

)2

k

2

k=

1

[4

+

(-4k)

+

(-

1

)]

‡

1

(4

+

4)

=

42

k

22

k

2

k(2)S

=

1

|

2

-

1

||

1

-

2k

|=

1

|

4

-

4k

-

1

|1

k

<

0

S

=

1

(4

-

4k

-

1

)2

k即4k

2

-(4

-2S

)k

+1

=0(1)2

k

>

0

S

=

1

(4k

+

1

-

4)2

k即4k

2

-(4

+2S

)k

+1

=0(2)414>

0>0

（2）有两正根k1k2

=4

+

2S方程(2)中

k1

+

k2

=S

=3时，方程(1)中D=(4

-2S

)2

-16

<0，无解D

=

(4

+

2S

)2

-16

>

0\S

=3时，有两条直线1

k

<

0

S

=

1

(4

-

4k

-

1

)2

k即4k

2

-(4

-2S

)k

+1

=0(1)即4k

2

-(4

+2S

)k

+1

=0(2)412（1）有两负根2

k

>

0

S

=

1

(4k

+

1

-

4)2

k4>

0k1k2

==

4

-

2S

<

0中

k1

+

kD

=

(4

-

2S

)2

-16

>

0S

=5时，方程(1)414>

0>0

（2）有两正根k1k2

=4

+

2S方程(2)中

k1

+

k2

=D

=

(4

+

2S

)2

-16

>