气体分子热运动的统计规律

气体分子热运动的统计规律第1页，课件共55页，创作于2023年2月本章内容本章内容Contentschapter14气体压强与温度的统计意义平衡态概率统计平均值equilibriumstate,probabiility,staticalmeanquantitystaticalmeanningofgaspressureandtemperature玻耳兹曼分布律Boltzmanndistribution麦克斯韦速率分布律maxwellspeeddistribution气体分子的平均自由程meanfreepathofgasmolecular第2页，课件共55页，创作于2023年2月平衡态

一气体系统若不受外界影响（无物质和能量交换）或只受恒定的外力场作用的条件下，气体系统的宏观特性（如温度、压强等）长时间不随时间改变的状态称为平衡态。

处于平衡态中的气体，其分子仍不停作热运动，但其总体平均效果不随时间改变，是一种动态平衡。平衡态概率统计平均值

ssss14.1第3页，课件共55页，创作于2023年2月物态参量

不受（或忽略）恒定外力场作用时，平衡态气体各部分的宏观性质是均匀的；只受恒定外力场作用时，平衡态气体的密度并不均匀。但这两种情况下气体的宏观性质都不随时间变化。本章除玻耳兹曼分布一节考虑恒定重力场作用外，均忽略恒定外力场的作用。

描述平衡态的参量称为物态参量或态参量。如体积、压强、温度等。第4页，课件共55页，创作于2023年2月微观与宏观量描述单个分子特征的量（大小、质量和速度等）。气体的微观量单个气体分子的运动具有偶然性和随机性。气体的宏观量表征大量分子宏观特征的量（体积、压强和温度等）。大量分子运动的集体表现具有统计规律性。气体的宏观量是大量分子行为的统计平均表现

热现象与物质的分子运动密切相关。大量分子的无规则运动称为分子的热运动。第5页，课件共55页，创作于2023年2月物态方程物态参量之间所满足的关系式称为物态方程理想气体的物态方程：VpMmRT1标准大气压（1atm)=1.10310Pa5热力学温度T=（摄氏温度t+273.15)注8.31p气体的压强单位：帕P()am3V气体的体积单位：立方米()KT气体的热力学温度单位：开()M气体的质量单位：千克()kgm气体的摩尔质量单位：JmolKR气体常数11摩尔(kgmol)11千克第6页，课件共55页，创作于2023年2月续上理想气体的物态方程：VpMmRT对一定量(mol)的气体三者只要给定pVT、、两个就确定了一个平衡态图中的一点pV代表一个平衡态pVOabpaVapbVb

若气体受外界影响，某平衡态被破坏，变为非平衡态。物态随时间而变化称为过程。pV图不能表示非平衡态，也不能表示这种非平衡情况下的动态变化过程。第7页，课件共55页，创作于2023年2月准静态过程准静态过程

若经历非平衡过程后可以过渡到一个新的平衡态，此过程称为弛豫，所需时间称为弛豫时间。若过程进行得充分缓慢，使过程中的某一状态到相邻状态的时间比弛豫时间大得多，则每一中间态都可近似地看作平衡态。这样的过程称为准静态过程。pVOabpaVapbVb准静态过程平衡态平衡态pV图中的过程曲线，都是准静态过程曲线。第8页，课件共55页，创作于2023年2月概率概率统计平均值概率在所有可能发生的事件中，某种事件发生可能性（或相对机会）的大小。某事件X出现的概率()pix事件X出现的次数Ni试验总次数N在很多次的试验中概率定义式若可能事件有种n则

种可能事件发生的总次数nSNini1试验总次数NNSNini1NN1NN2NNn1p1p2pn各种可能事件的概率之和等于1。称为概率的归一化条件。归一化条件第9页，课件共55页，创作于2023年2月概率密度函数等概率假设在气体动理论中经常用到一些等概率假设，如假设处于平衡态的气体，每个分子出现在容器内任何一点处的概率相等；每个分子朝各个方向运动的概率相等（如在直角坐标中，分子速度的三个分量的各种统计平均值相等）等。0Xxdx事件出现在内的概率dxpd()x与的位置和的大小有关xdxf()xpd()xdx称概率密度或概率密度函数x在附近单位间隔内出现的概率()若表示事X的量可连续变化（例如在某些随机因素影响下，多次测量某电机的转速可能在某一范围内变化）。x概率密度函数若函数f()x的形式已知则pd()xf()xdx第10页，课件共55页，创作于2023年2月统计平均值对某量进行次测量，Nx测量值出现次数1xN12xN2……nxNn测量值乘以出现次数1xN1nxNn2xN2……NSixNix的统计平均值xSixNiN1xN1N2xNN…nxN2Nnp1ii1x2xp2…nxpnSxp()fx若值可连续变化则xxxdx连续变量的平均值等于该量与概率密度函数乘积的积分。第11页，课件共55页，创作于2023年2月气体微观模型气体的压强与温度的统计意义一、理想气体的微观模型气体分子的大小与分子间的平均距离相比可以忽略。分子除碰撞瞬间外，无其它相互作用。碰撞视为完全弹性碰撞。

这是由气体的共性抽象出来的一个理想模型。在压力不太大、温度不太低时，与实际情况附合得很好。ssss14.2第12页，课件共55页，创作于2023年2月理想气体压强二、理想气体的压强公式宏观：器壁单位面积所受的压力微观：大量气体分子频繁碰撞器壁对器壁单位面积的平均冲力标准状态下气体的分子数密度n1205的数量级为m3个m7亦即10m3个其数量之多已能很好满足微观统计的要求要考虑分子速度（大小及方向）不同的因素对各种不同速度间隔的分子碰壁冲量求和考虑单位时间作用在单位面积上的冲量就是压强运用统计平均值及平衡态概念得到压强与微观量的关系推导思路第13页，课件共55页，创作于2023年2月压强公式推导容器盛同种气体，分子质量，居平衡态m射向器壁面元的某分子束碰壁后反射s（不与法向平行的速度分量，其相应的动量无变化）速度为的某分子弹碰中的动量变化为vicos2mviq2mvix反X向在时间内，入射分子束斜园柱体的体积中速度基本为的分子，都能碰撞器壁一次。tVvi()0其xivVvixtss光滑器壁XqxivqyivzivvimmviviviqqXtvisstvix若气体中速度基本为的分子数密度为vini则该组分子与碰撞而发生的动量变化为spni2mvixV2mnivix2tsi第14页，课件共55页，创作于2023年2月续上容器盛同种气体，分子质量，居平衡态m射向器壁面元的某分子束碰壁后反射s（不与法向平行的速度分量，其相应的动量无变化）速度为的某分子弹碰中的动量变化为vicos2mviq2mvix反X向在时间内，入射分子束斜园柱体的体积中速度基本为的分子，都能碰撞器壁一次。tVvi()0其xivVvixtss光滑器壁XqxivqyivzivvimmviviviqqXtvisstvix若气体中速度基本为的分子数密度为vini则该组分子与碰撞而发生的动量变化为spni2mvixV2mnivix2tsi气体中速度基本为的分子数密度为vini该组分子与碰撞而发生的动量变化为spni2mvixV2mnivix2tsi将上式对平衡态气体中从各个不同方向、以不同速度射向的各组分子求和，其总动量变化为sipSp2mnivix2tsS（负射向分量）此式包含0vix和0vix因平衡态中两者各占一半，故的分子才能与相碰。s0vix的分子。只有p21pmnivix2tsS能与碰撞的所有分子的总动量变化为s第15页，课件共55页，创作于2023年2月续上s光滑器壁XqxivqyivzivvimmviviviqqXtvisstvix气体中速度基本为的分子数密度为vini该组分子与碰撞而发生的动量变化为spni2mvixV2mnivix2tsi将上式对平衡态气体中从各个不同方向、以不同速度射向的各组分子求和，其总动量变化为sipSp2mnivix2tsS（负射向分量）此式包含0vix和0vix因平衡态中两者各占一半，故的分子才能与相碰。s0vix的分子。只有p21pmnivix2tsS能与碰撞的所有分子的总动量变化为sp21pmnivix2tsS能与碰撞的所有分子的总动量变化为smntsivix2Snn

容器中气体总体的分子数密度vx2的统计平均值vx2mnpts得vx2应用动量定理，分子受器壁作用的平均冲力为F壁对气mnptsvx2器壁受气体分子作用的平均冲力F壁对气mnsvx2气对壁F第16页，课件共55页，创作于2023年2月续上s光滑器壁XqxivqyivzivvimmviviviqqXtvisstvixp21pmnivix2tsS能与碰撞的所有分子的总动量变化为smntsivix2Snn

容器中气体总体的分子数密度vx2的统计平均值vx2mnpts得vx2应用动量定理，分子受器壁作用的平均冲力为F壁对气mnptsvx2器壁受气体分子作用的平均冲力F壁对气mnsvx2气对壁F器壁受气体分子作用的平均冲力F壁对气mnsvx2气对壁F由于分子向X、Y、Z方向运动概率相等vx2v2v2yz又因vx2v2v2yzv21vx2v2v2yzv23则可推知得气对壁Fmnsv213定义ke2mv21气体分子的平均平动动能为大量p气对壁Fsmnv21332n()2mv2132nke理想气体的压强公式由此推得：第17页，课件共55页，创作于2023年2月压强统计意义三、理想气体压强的统计意义定义ke2mv21气体分子的平均平动动能为大量p气对壁Fsmnv21332n()2mv2132nke理想气体的压强公式气体的宏观量压强，是大量气体分子作用于器壁的平均冲力，由微观量的统计平均值和决定。理想气体压强公式是反应大量分子行为的一种统计规律，并非力学定律，只对个别分子而言，气体压强没有意义。nke注：推导过程中的st和在宏观上很小，但在微观上相对于分子的大小和作用时间应当足够大，保证在时间内有大量分子与发生碰撞。ts平衡态中同种气体的分子全同，其出现位置和各向运动概率相等，这已包含了分子之间相互碰撞因素的一种动平衡，推导中不必考虑此类碰撞。第18页，课件共55页，创作于2023年2月气体温度公式气体温度的统计意义ke2mv21气体分子的平均平动动能物态方程理想气体VpMmRT可用另一形式表达其中MNmmNAmVpRTMmVNRANmmVNnRANkNm分子质量总分子数AN阿伏伽德罗常数n分子数密度k玻耳兹曼常数即pnkT压强公式p32nke理想气体ke32kT理想气体的温度公式1k玻耳兹曼常数AN阿伏伽德罗常数注：6.021.3810231023molJK1第19页，课件共55页，创作于2023年2月温度的统计意义ke2mv21气体分子的平均平动动能ke32kT理想气体的温度公式气体温度的统计意义气体的热力学温度

与气体分子的平均平动动能成正比。Tke气体的热力学温度可看作是对分子热运动剧烈程度的量度。气体的温度是大量分子热运动的集体表现，具有统计意义。离开大量分子，温度失去意义。第20页，课件共55页，创作于2023年2月凡例解法提要

1标准大气压（1atm)=1.10310Pa5例已知某氧器瓶内，氧气的压强p1.00

atm温度27

Ct视为理想气体，平衡态求氧分子的平均平动动能ke；分子数密度nkekT由32ke1.381023()27+27332J

6.211021()由pnke32pn32ke321.1031056.211021252.6610()个m3第21页，课件共55页，创作于2023年2月虚设联想解法提要：ke32kT由kekT232216.01019831.310234739.710()K3766()C难以实现太阳表面温度5490C标准状态下（0C，1atm）理想气体的分子平均平动动能分子数密度ke3.53102evn2.921025m3个例已知求一个电子经过1伏特电势差加速后所获的动能为1电子伏特（1ev)=1.6021019J如果某理想气体系统的分子平均平动动能要达到1ev,其温度将会有多高？第22页，课件共55页，创作于2023年2月玻耳兹曼分布ssss14.3玻耳兹曼分布律Eini分子动能势能和分子数密度0玻耳兹曼能量分布律第23页，课件共55页，创作于2023年2月数学表达in=AeEi-kTiE气体分子能量(含动能和势能)ni气体分子数密度T气体热平衡温度k玻耳兹曼常数A待定常数(与温度总分子数分子种类有关)玻耳兹曼能量分布的数学表达式第24页，课件共55页，创作于2023年2月麦氏速率分布处于平衡态的气体，其分子沿各向运动的机会均等，这并非意味着每个分子的运动速率完全相同，而是大量不同运动速度（大小和方向）的分子，在一定条件下所形成的一种热动平衡状态。

首先引用一种简明的实验方法，说明气体的分子数按速率分布的客观规律性：麦克斯韦速率分布律，是表示气体处于热平衡时，气体的分子数按速度大小（速率）分布的规律。麦克斯韦速率分布律ssss14.4第25页，课件共55页，创作于2023年2月麦氏速率分布实验实验动态示意vvv麦克斯韦速率分布实验恒温T同分子量m运动速率全同吗?转动圆筒开口记录纸剥离麦氏分布实验重复多次采样后第26页，课件共55页，创作于2023年2月速率分布含义分布曲线转换成相对分子数密度按速率的分布OvN总分子数vv+dv速率间隔内的分子数处于到fvdNNdvdvvdN

速率分布函数（速率附近单位间隔内的分子数与总分子数之比）v第27页，课件共55页，创作于2023年2月速率分布函数快减快增两者相乘2v曲线麦克斯韦速率分布律4em2dNNdvpm23/2T2vTpfv2v（函数）kk若m、T

给定，fv2vev2玻耳兹曼常数，函数的形式可概括为kabaev2曲线ba2vev2曲线有单峰，不对称vp速率分布曲线abfvOv速率恒取正v第28页，课件共55页，创作于2023年2月归一化条件fvOvv12v速率分布函数的归一化条件2速率在到区间内的分子数与总分子数之比

v12vNNNNfvdvv12v若将速率区间扩展至到08fvdv081即具有一切可能速率的分子数与总分子数之比应为1速率分布函数的归一化条件称为edNNdvm2vT43/2m2Tfv2vpp速率分布函数对分子质量为m、热力学温度为T、处于平衡态的气体kk第29页，课件共55页，创作于2023年2月最概然速率fvOvvp最概然速率edNNdvm22vT43/2m2Tfv2vpp速率分布函数与此函数的极大值对应的速率称为最概然速率vpkk1vpm2T41RmTvp8mT或Tmk令fvddv02vev2ddv0即易得vp1因m2T则kabbb第30页，课件共55页，创作于2023年2月不同条件比较m（或）mT不同的速率分布曲线的比较O1m2mvvp1p2v相同T1m2mT1OT2vp1p2vvm相同T2T11vpm2T41RmT最概然速率用进行比较k第31页，课件共55页，创作于2023年2月平均速率麦克斯韦速率分布律应用举例平均速率（算术平均速率）v()fxxxdx根据某连续变量

x的平均值等于该量与概率密度函数乘积的积分的定义。

在讨论气体分子平均自由程问题时涉及到分子的算术平均速率概念；在讨论平均平动动能时涉及到方均根速率概念。麦克斯韦速率分布函数就是计算此类速率的概率密度函数。1vmTRmTp8068mT或Tmv也有类似pvkvem22vT43/2m2T2vppvfvdv0808vdvkk注意到083e1v()2vdv208v2e2vdv222ababba第32页，课件共55页，创作于2023年2月方均根速率方均根速率v2v2（的统计平均值的开平方）v2即作为参与统计平均的连续变量1RmTmT3v2378mT或Tmv也有类似pvk则v2em22vT43/2m2T2vppfvdv0808dvv2v2kk得v2mT3回忆联系2mv21ke32kTk注意到08e2d4p38v2abvvabb第33页，课件共55页，创作于2023年2月速率小结三种速率小结最概然速率vp1.41=kT2m=RTm平均速率v1.60=RTm=kTm8p方均根速率1.732v=kTm3RTm=第34页，课件共55页，创作于2023年2月特征速率例题例氧气摩尔质量已知m3.20102kgmol1温度t27C处于平衡态求气体分子的vpv和v2解法提要：T27273300（k）483(ms)1394(ms)1447(ms)1vp141RmTv1RmT06v21RmT37第35页，课件共55页，创作于2023年2月归一化例题例

假设有大量的某种粒子，总数目为N，其速率分布函数为fv0v0v0v0vvc0vvc0v,均为正常数，且为已知0v画出该速率分布函数曲线根据概率分布函数应满足的基本条件，确定系数c求速率在区间的粒子数~3000v解法提要0~0vfvvc0v2+v抛物线方程ddvf0得fMax4c0v20vp0v200vfv4c0v2v0v2第36页，课件共55页，创作于2023年2月续上概率分布函数应满足归一化条件fv80dv1本题v0vfv000vvc0vvdv要求0v361c1得c60v3均为正常数，且为已知例

假设有大量的某种粒子，总数目为N，其速率分布函数为fvvc0v0v0v0v0vvc0v,0v画出该速率分布函数曲线根据概率分布函数应满足的基本条件，确定系数c求速率在区间的粒子数~3000v解法提要0~0vfvvc0v2+v抛物线方程ddvf0得fMax4c0v20vp0v200vfv4c0v2v0v2N~0速率在300v区间的粒子数N0300vfvdvN0300vv0vvdv60v3N6201NN得第37页，课件共55页，创作于2023年2月随堂小议请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议设某温度下氢与氧的分布函数曲线如图所示则代表氧的分布函数曲线为（1）曲线

①（2）曲线

②②①f(v)vo结束选择第38页，课件共55页，创作于2023年2月小议链接1请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议设某温度下氢与氧的分布函数曲线如图所示则代表氧的分布函数曲线为（1）曲线

①（2）曲线

②②①f(v)vo结束选择第39页，课件共55页，创作于2023年2月小议链接2请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议设某温度下氢与氧的分布函数曲线如图所示则代表氧的分布函数曲线为（1）曲线

①（2）曲线

②②①f(v)vo结束选择vpmT8第40页，课件共55页，创作于2023年2月分子平均动能气体分子的平均动能公式32nkepke32kT理想气体公式压强温度ke2mv21气体分子的平均平动动能只是气体分子运动能量的一部分在某方面产生的统计平均效果

如果将原子看成质点，将分子看成是原子的刚性连接体（刚性分子），则分子的动能除平动动能外，对于双原子分子和多原子分子还有转动动能。分子平均动能的计算，涉及自由度概念：第41页，课件共55页，创作于2023年2月自由度自由度确定某物体空间位置所需的独立坐标的数目（），称为该物体的自由度数。iZxyzXyO单原子分子平动自由度xyz,,i3OabZxyzXyXyZO双原子分子平动自由度xyz,,转动自由度a,b5ijZxyzXyXyZOOab三及多原子分子平动自由度xyz,,转动自由度a,b,j6i第42页，课件共55页，创作于2023年2月能量均分定理能量均分定理理想气体，平衡态，分子平均平动动能2mv2132kT1vx2v2v2yzv23因故2mv21x2mv212mv21yz2kT1每个平动自由度的平均平动动能均为2kT1将等概率假设推广到转动动能，每个转动自由度的转动能量相等，而且亦均等于2kT1在温度为的平衡态下，气体分子的每一个自由度，都平均地具有的动能。2kT1T能量均分定理（能量按自由度均分定理）第43页，课件共55页，创作于2023年2月分子平均动能能量均分定理理想气体，平衡态，分子平均平动动能2mv2132kT1vx2v2v2yzv23因故2mv21x2mv212mv21yz2kT1每个平动自由度的平均平动动能均为2kT1将等概率假设推广到转动动能，每个转动自由度的转动能量相等，而且亦均等于2kT1在温度为的平衡态下，气体分子的每一个自由度，都平均地具有的动能。2kT1T能量均分定理（能量按自由度均分定理）

在温度为的平衡态下，气体分子的每一个自由度，都平均地具有的动能。2kT1T能量均分定理（能量按自由度均分定理）气体分子的平均动能处于平衡态温度为的理想气体，若将气体分子看作刚性分子，如果分子有个平动自由度，个转动自由度，则trT气体分子的平均动能为ekT21()tr2ikTitre8iT

若将分子看作非刚性分子，还要考虑分子的振动动能，按一定的原则确定振动自由度。（略）分子triA2HONC2036532H2OH4333336er第44页，课件共55页，创作于2023年2月简例例

理想气体处于平衡态时，证明气体分子的平均动能是平均平动动能的倍。ekei3解法提要：kekT2ikTe气体温度的统计意义气体分子平均动能的含义ekei332本题是为了帮助理解与成正比的原因。eT第45页，课件共55页，创作于2023年2月理想气体内能理想气体的内能

某一定量理想气体的内能组成气体的全部分子的平均动能之和。mol1气体有AN（阿伏伽德罗常数）个分子mol1理想气体的内能分子的平均动能2kTeiEmol1ANeANkT2iRT2iMM理想气体mm质量质量摩尔质量摩尔质量Mmmol理想气体的内能EMmRT2iE8,Mmi,T对给定气体E8T第46页，课件共55页，创作于2023年2月内能算例MM理想气体mm质量质量摩尔质量摩尔质量Mmmol理想气体的内能EMmRT2iE8,Mmi,T对给定气体E8T若温度变化T则内能变化EMm2iRT2O例如5m103231.kgmOli在C0时2O分子的平均动能ek2iT()J49.251.382103273.22101761mOlE在C0时2O的内能1mOl2iTR.251.38273.5()J310g050在C0时2O的内能EMRT2im8273.053210325314.8.86()J10第47页，课件共55页，创作于2023年2月平均自由程热运动分子之间分子的运动路径频繁碰撞曲折复杂

碰撞时两分子质心距离的平均值称为分子的有效直径d气体分子的平均自由程ssss14.4第48页，课件共55页，创作于2023年2月碰撞频率气体分子的平均自由程热运动分子之间分子的运动路径频繁碰撞曲折复杂

碰撞时两分子质心距离的平均值称为分子的有效直径dlvtZvv为分子的平均速率可联系v16.0RmT进行估算分子在单位时间内与其它分子的平均碰撞次数称碰撞频率Z碰撞频率的倒数为相邻两次碰撞时间t1Z分子在与其它分子的相邻两次碰撞之间所经历路程的平均值为平均自由程l碰撞时两分子质心距离的平均值称为分子的有效直径ddddddddDABCa第49页，课件共55页，创作于2023年2月自由程推导分子在单位时间内与其它分子的平均碰撞次数称碰撞频率Z碰撞频率的倒数为相邻两次碰撞时间t1Z分子在与其它分子的相邻两次碰撞之间所经历路程的平均值为平均自