概率论第五章

概率论第五章第1页，课件共70页，创作于2023年2月一般常用θ表示参数，参数θ所有可能取值组成的集合称为参数空间，常用Θ表示。参数估计问题就是根据样本对上述各种未知参数作出估计。参数估计的形式有两种：点估计与区间估计。第2页，课件共70页，创作于2023年2月设x1,x2,

…,xn是来自总体的一个样本，我们用一个统计量的取值作为θ的估计值，称为θ的点估计（量），简称估计。在这里如何构造统计量并没有明确的规定，只要它满足一定的合理性即可。这就涉及到二个问题：

其一

是如何给出估计，即估计的方法问题；

其二

是如何对不同的估计进行评价，即估计的好坏判断标准。第3页，课件共70页，创作于2023年2月 一、点估计 §5.1矩法估计 §5.2点估计优劣的评价标准 §5.3极大似然估计 二、区间估计 §5.4区间估计 §5.5单侧置信限第4页，课件共70页，创作于2023年2月§5.1矩法估计矩法估计的基本思想：用样本矩代替母体矩即从中解出.第5页，课件共70页，创作于2023年2月注意点(1)若估计一个未知参数，则解方程若估计两个未知参数1,2，则解方程组第6页，课件共70页，创作于2023年2月注意点(2)矩法估计也可以用样本中心矩代替母体中心矩即从中解出.第7页，课件共70页，创作于2023年2月例

x1,x2,

…,xn是来自(a,b)上的均匀分布U(a,b)的样本，a与b均是未知参数，这里k=2，由于不难推出由此即可得到a,b的矩估计：第8页，课件共70页，创作于2023年2月例

x1,x2,

…,xn来自Г(α,λ)，求α，λ的矩估计。解：由μ1=E(X)=α/λ,ν2=Var(X)=α/λ2 解得α＝μ12/ν2，λ＝μ1/ν2，用代替μ1，ν2，得α,λ的矩估计为第9页，课件共70页，创作于2023年2月§5.1

习题P2861，4,5

第10页，课件共70页，创作于2023年2月如Poisson（λ）分布均值，方差均为λ，那么样本均值，样本方差均为矩估计,那个好？§5.2点估计优劣的评价标准对同一个未知参数，采用不同的方法找到的点估计可能不同。那么，自然要问：究竟是用哪一个更“好”些呢?这里介绍点估计的评价标准.第11页，课件共70页，创作于2023年2月

1、无偏性（从期望的角度）

2、有效性（从方差的角度）

3、均方误差准则（角度）

4、相合性（大样本的角度）第12页，课件共70页，创作于2023年2月无偏性

设是θ的一个估计，若则称是θ的无偏估计，否则称为有偏估计。第13页，课件共70页，创作于2023年2月注意点是E(X)的无偏估计是Var(X)的无偏估计不是Var(X)的无偏估计第14页，课件共70页，创作于2023年2月有效性

定义设是θ的两个无偏估计，如果对任意的θ，有且有某个θ使得上述不等号严格成立，则称比有效。第15页，课件共70页，创作于2023年2月例设x1,x2,

…,xn是取自某总体的样本，记总体均值为

，总体方差为2，则,,都是

的无偏估计，但显然，只要n>1，比有效。这表明，用全部数据的平均估计总体均值要比只使用部分数据更有效。第16页，课件共70页，创作于2023年2月例设X1,X2,X3为来自总体X的样本，E(X)=，Var(X)=2，下列统计量哪个更有效.第17页，课件共70页，创作于2023年2月课堂练习设是参数的两个独立的无偏估计，且找出常数k1,k2，使得也是的无偏估计，并使它在所有这种形状的估计中的方差最小.k1=1/3,k2=2/3第18页，课件共70页，创作于2023年2月均方误差第19页，课件共70页，创作于2023年2月

点估计是一个统计量，因此它是一个随机变量，我们不可能要求它完全等同于参数的真实取值。但我们可以要求估计量随着样本量的不断增大而逼近参数真值，这就是相合性，严格定义如下。相合性第20页，课件共70页，创作于2023年2月定义设θ∈Θ为未知参数，是θ的一个估计量，n是样本容量，若对任何一个ε>0，有

则称为θ参数的相合估计。第21页，课件共70页，创作于2023年2月相合性被认为是对估计的一个最基本要求,如果一个估计量,在样本量不断增大时，它都不能把被估参数估计到任意指定的精度,那末这个估计是很值得怀疑的。样本容量越大,估计应当越精确第22页，课件共70页，创作于2023年2月矩估计一般都具有相合性。比如：样本均值是总体均值的相合估计；样本标准差是总体标准差的相合估计；样本变异系数是总体变异系数的相合估计。第23页，课件共70页，创作于2023年2月§5.2

习题P2951，2，4,7

第24页，课件共70页，创作于2023年2月§5.3极大似然估计5.3.1极大似然估计的基本思想：口袋中有黑、白两种球，从中任取一只，发现是白球，则可以认为：口袋中白球比黑球多第25页，课件共70页，创作于2023年2月5.3.2求极大似然估计的方法

设总体含有待估参数，得到样本观测值x1,x2,…,xn则找一个使得x1,x2,…,xn出现的可能性最大。第26页，课件共70页，创作于2023年2月极大似然估计的关键点

x1,x2,…,xn出现的可能性：(1)离散场合：(2)连续场合：称以上L

的为似然函数。注意：(1)L是的函数，x1,x2,…,xn固定。(2)可以是多维的。

(3)下面任务是求L的极大点第27页，课件共70页，创作于2023年2月例

对正态总体N(,2)，θ=(,2)是二维参数，设有样本x1,x2,

…,xn，则似然函数及其对数分别为

第28页，课件共70页，创作于2023年2月将lnL(,2)分别关于二个分量求偏导并令其为0,即得到似然方程组

(1)

(2)

第29页，课件共70页，创作于2023年2月

解此方程组，可由(1)得的极大似然估计为将之代入(2)给出2的极大似然估计利用二阶导函数矩阵的非正定性可以说明上述估计使得似然函数取极大值。

第30页，课件共70页，创作于2023年2月

虽然求导函数是求极大似然估计最常用的方法，但并不是在所有场合求导都是有效的。例

设x1,x2,

…,xn是来自均匀总体

U(0,θ)的样本，试求θ的极大似然估计。第31页，课件共70页，创作于2023年2月

解似然函数要使L(θ)达到最大，即1/θn尽可能大，所以θ的取值应尽可能小，但θ不能小于x(n)，由此给出θ的极大似然估计：第32页，课件共70页，创作于2023年2月5.3.3MLE的不变性设是的极大似然估计，g()是连续函数则g()是g()

的极大似然估计。第33页，课件共70页，创作于2023年2月

例

设x1,x2,

…,xn是来自正态总体N(,2)

的样本，则和2的极大似然估计为，于是由不变性可得如下参数的极大似然估计，它们是:标准差的MLE是第34页，课件共70页，创作于2023年2月概率的MLE是；总体0.90分位数x0.90=+

u0.90

的MLE是，其中u0.90为标准正态分布的0.90分位数。第35页，课件共70页，创作于2023年2月5.3.4MLE的渐近正态性设是的极大似然估计，则渐近服从正态分布。第36页，课件共70页，创作于2023年2月§5.3

习题P3051，2，4,5，8

第37页，课件共70页，创作于2023年2月§5.4区间估计设是总体的一个未知参数，X1,X2,…,Xn为来自该总体的样本，对给定的0<<1，如果能够找到两个统计量使得则称随机区间是的置信水平或置信度为1置信区间。

分别称为置信下限和置信上限.第38页，课件共70页，创作于2023年2月注意点(1)点估计给出的是未知参数的一个近似值；区间估计给出的是未知参数的一个近似范围，并且这个范围包含未知参数值的可信度为1.点估计有使用方便、直观等优点，但并没有提供关于估计精度的任何信息。第39页，课件共70页，创作于2023年2月

置信水平1-的含义是指:

在大量使用该置信区间时，至少有100(1-)%的区间含有θ。

注意点(2)第40页，课件共70页，创作于2023年2月现假定=15,

2=4，有一个容量为10的样本：14.8513.0113.5014.9316.9713.8017.953313.3716.2912.38

由该样本可以算得的一个区间估计为该区间包含的真值——15。

若有100个样本，也就得到100个区间，我们将这100个区间画在下图上。第41页，课件共70页，创作于2023年2月图

的置信水平为0.90的置信区间这100个区间中有91个包含参数真值15，另外9个不包含参数真值。第42页，课件共70页，创作于2023年2月若取=0.50，我们也可以给出100个这样的区间，可以看出，这100个区间中有50个包含参数真值15，另外50个不包含参数真值。图

的置信水平为0.50的置信区间第43页，课件共70页，创作于2023年2月5.4.2

枢轴量法

构造未知参数θ的置信区间的最常用的方法是枢轴量法，其步骤可以概括为如下三步：1.设法构造一个样本和θ的函数G=G(x1,…,xn,θ)

使得G的分布不依赖于未知参数。称G为枢轴量。第44页，课件共70页，创作于2023年2月2.选择二个常数c,d，使对给定的有P(c≤G≤d)=1

3.假如能将c≤G≤d

进行恒等变化则是θ的1-置信区间。第45页，课件共70页，创作于2023年2月枢轴量法之例

例设总体X~N(,2)，其中2已知。X1,X2,…,Xn为X

的一个样本，求的区间估计。解

因为U为枢轴量由变形得第46页，课件共70页，创作于2023年2月例设总体X~N(,0.92)，X1,X2,…,X9

为X

的一个样本，样本均值为5，求的95%的置信区间。解

因为的1置信区间为所以由u0.975

=1.96，得4.412,5.588,所求置信区间为(4.412，5.588)第47页，课件共70页，创作于2023年2月注意点置信区间不是唯一的。置信度相同时，置信区间越短越好。一般对称取。第48页，课件共70页，创作于2023年2月正态总体未知参数的置信区间共分四种情况：(1)已知，的置信区间(2)未知，的置信区间(3)

已知，2的置信区间(4)未知，2的置信区间第49页，课件共70页，创作于2023年2月(1)已知，的置信区间枢轴量由得第50页，课件共70页，创作于2023年2月(2)未知，的置信区间枢轴量由得第51页，课件共70页，创作于2023年2月(3)

已知，2的置信区间枢轴量由得第52页，课件共70页，创作于2023年2月(4)未知，2的置信区间枢轴量由得第53页，课件共70页，创作于2023年2月例

用天平秤某物体的重量9次，得平均值为（克），已知天平秤量结果为正态分布，其标准差为0.1克。试求该物体重量的0.95置信区间。解：此处1-=0.95，=0.05，查表知u0.975=1.96，于是该物体重量的0.95置信区间为

=(15.3347，15.4653)第54页，课件共70页，创作于2023年2月例设轮胎的寿命服从正态分布。随机地抽12只轮胎试用，测得它们的寿命(单位：万公里)如下：

4.684.854.324.854.615.025.204.604.584.724.384.70

求平均寿命的置信区间。解经计算有=4.7092，s2=0.0615。取

=0.05，查表知t0.975(11)=2.2010，于是平均寿命的0.95置信区间为（单位：万公里）第55页，课件共70页，创作于2023年2月两个正态总体下的置信区间设总体X~N(1,12)，Y~N(2,22)，从中分别抽取容量为n和m的独立样本，样本均值和样本方差分别记为下面讨论两个均值差和两个方差比的置信区间。第56页，课件共70页，创作于2023年2月两个正态总体均值差的置信区间

求12置信区间第57页，课件共70页，创作于2023年2月均值差的置信区间(1与2已知时)所以12的置信区间为：第58页，课件共70页，创作于2023年2月均值差的置信区间(1与2未知时)所以(1)1=2=时：因为都是2的无偏估计，也是2的无偏估计，12的置信区间为：第59页，课件共70页，创作于2023年2月均值差的置信区间(1与2未知时)所以12的置信区间为：(2)n

与m

充分大时：第60页，课件共70页，创作于2023年2月均值差的置信区间(1与2未知时)所以12的置信区间为：(3)一般场合T不是N（0，1），用t（l）分布近似第61页，课件共70页，创作于2023年2月均值差的置信区间(1与2未知时)所以12的置信区间为：(4)n=m

成对时：令Zi=XiYi,i=1,2,…,n

则Zi=XiYi，所以第62页，课件共70页，创作于2023年2月二、

12/22的置信区间(1,2

未知)由于(n-1)sx2/12

2(n-1),(m-1)sy2/22

2(m-1)，且sx2与sy2相互独立，故由得第63页，课件共70页，创作于2023年2月例某车间有两台自动机床加工一类套筒，假设套筒直径服从正态分布。现在从二个班次的产品中分别检查了5个和6个套筒，得其直径数