第6章-数据分析

第6章MATLAB数值计算6.1数据处理与多项式计算6.1.1数据统计与分析6.1.2数据插值6.1.3曲线拟合6.1数据处理与多项式计算

对象：向量和矩阵最大值和最小值求和、求积平均值、中值累加、累乘积例61_1:求12，2，23，56，78的最大值。b=[12,2,23,56,78];m=b(1);fori=2:5ifm<b(i)m=b(i);endendm6.1.1数据统计与分析1.求矩阵最大元素和最小元素求数据序列的最大值的函数：max

求数据序列的最小值的函数：min对象：向量和矩阵两个函数的调用格式和操作过程类似。（1）求向量的最大元素和最小元素a）求向量的最大元素：两种调用格式y=max(X)：返回向量X的最大元素存入y，（如果X中包含复数元素，则按模取最大值。）%li61_2.mx=[248-73];y=max(x)%y=?8(2)[y,I]=max(X)：返回向量X的最大元素存入y，最大元素的序号存入I。如果X中包含复数元素，则按模取最大值。%li61_3.mx=[248-73];[y,z]=max(x)运行结果：y=8z=3总结求向量的最大元素：两种调用格式y=max(X)[y,I]=max(X)b）求向量X的最小值的函数：min(X)%li61_4.mx=[248-73][y,z]=min(x)u=[248-73+4i][m,n]=min(u)运行结果：y=？m=？

z=？n=？（2）求矩阵的最大元素和最小元素求矩阵A的最大元素：3种调用格式(1)max(A)：返回一个行向量，向量的第i个元素是矩阵A的第i列上的最大值。%li61_5.mA=[123456789]max(A)(2)[Y,U]=max(A)：返回行向量Y和U，Y向量记录A的每列的最大值，U向量记录每列最大值的行号。%li61_6.mA=[123456782][y,z]=max(A)y=?Z=?(3)max(A,[],dim)：dim取1或2dim取1时:该函数和max(A)完全相同；

dim取2时:该函数返回一个列向量，其第i个元素是A矩阵的第i行上的最大值。%li61_7.m

A=[123456782]y=max(A,[],2)[y,z]=max(A,[],2)

求矩阵最小值的函数是min，其用法和max完全相同。例6.1求矩阵A的每行和每列的最大和最小元素，并求整个矩阵的最大和最小元素。

p140%li61.mA=[13,-5678;2563-235;7825563;10-1]max(A,[],2)min(A,[],2)max(A)min(A)max(max(A))min(min(A))（3）两个向量或矩阵对应元素的比较函数max和min还能对两个同型的向量或矩阵进行比较，调用格式有2种：U=max(A,B)：A,B是两个同型的向量或矩阵，结果U是与A,B同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A,B对应元素的较大者。A=[1,3,7,0,4]B=[5,7,3,4,6]C=max(A,B)(li61_8)2)U=max(A,n)：n是一个标量，结果U是与A同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A对应元素和n中的较大者。

A=[1,3,7,0,4]b=[183456]n=5c=max(A,n)d=max(b,n)li61_9.mmin函数的用法和max完全相同。总结：max的用法1-求向量的最大元素y=max(X)：返回向量X的最大元素存入y。(2)[y,I]=max(X)：返回向量X的最大元素存入y，最大元素的序号存入I。*y，I—都是一个数max的用法2-求矩阵的最大元素max(A)：返回一个行向量。(2)[Y,U]=max(A)：返回行向量Y和U。(3)max(A,[],dim)：dim取1或2

dim取1时:该函数和max(A)完全相同；

dim取2时:该函数返回一个列向量。max的用法3-比较（1）U=max(A,B)：结果U是与A,B同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A,B对应元素的较大者。（2）U=max(A,n)：n是一个标量，结果U是与A同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A对应元素和n中的较大者。2.求矩阵的平均值和中值求数据序列平均值的函数是mean求数据序列中值的函数是medianmean函数的用法1）mean(X)：返回向量X的算术平均值。2）mean(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的算术平均值。3）mean(A,dim)：max(A,[],dim)

当dim为1时，该函数等同于mean(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的算术平均值。

median（中值）数据系列为奇数个-恰好处于中间；数据系列为偶数个-处于中间的两个数的平均值；

1）median(X)：返回向量X的中值。

2）median(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的中值。

3）median(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于median(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的中值。例61_10分别求向量x与y的平均值和中值。x=[-2,5,7,9,12];x1=mean(x)x2=median(x)y=[-2,5,6,7,9,12];y1=mean(y)y2=median(y)3.矩阵元素求和与求积

数据序列求和的函数是sum

数据序列求积的函数是prod

sum函数的用法设X是一个向量，A是一个矩阵调用格式有3种：1）sum(X)：返回向量X各元素的和。2）sum(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的元素和3）sum(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于sum(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的各元素之和。**注意：与max不同，没有[]

max(A,[],dim)prod函数的用法1）prod(X)：返回向量X各元素的乘积。2）prod(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的元素乘积。3）prod(A,dim)：

当dim为1时，该函数等同于prod(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的各元素乘积。例6.2求矩阵A的每行元素的乘积和全部元素的乘积。（li62）p142A=[1,2,3,45,6,7,89,10,11,12]s=prod(A,2)prod(s)**注意：函数名是区分大小写的。

prod，Prod4.矩阵元素的累加和与累乘积cumsum函数:求向量和矩阵元素的累加和向量

cumprod函数:求向量和矩阵元素的累乘积向量函数的调用格式为：cumsum(X)：返回向量X累加和向量。如：x=[1,2,3,4,5];cumsum(x)=[1,3,6,10,15]cumprod(X)：返回向量X累乘积向量。如：x=[1,2,3,4,5];cumprod(x)=[1,2,6,24,120]例：求10！li61_qiujiecheng.m

?函数文件（jiecheng）cumsum(A)：返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累加和向量。如：x=[1,2,34,5,67,8,9];cumsum(x)=[123579121518]？cumsum(x,2)cumprod(A)：返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累乘积向量。如：x=[1,2,34,5,67,8,1];cumprod(x)=[1234？18???]cumsum(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于cumsum(A)；当dim为2时，返回一个矩阵，其第i行是A的第i行的累加和向量。cumprod(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于cumprod(A)；当dim为2时，返回一个向量，其第i行是A的第i行的累乘积向量。例63_1:求s=1+2+22+…+210的值。x=[1,ones(1,10)*2]%x=[12222222222]y=cumprod(x)%y=[122223…210]s=sum(y)7.元素排序1）向量排序调用格式：sort(X)

函数返回一个对X中的元素按升序排列的新向量。2）矩阵排序：调用格式1：sort(A)按列升序排列调用格式2：[Y,I]=sort(A,dim)

其中dim指明对A的列还是行进行排序。若dim=1，则按列排；若dim=2，则按行排。

Y-是排序后的矩阵

I-记录Y中的元素在A中位置。例6.6对下列矩阵做各种排序p145A=[1-85;4126;137-13]%每列升序sort(A)%每列升序，并将每个元素所在行号送矩阵I[X,I]=sort(A)%每行降序-sort(-A,2)6.1.2数据插值

工程测量和科学实验中，得到离散的数据。例如：测量得n个点的数据（x1,y1),(x2,y2),…(xn,yn),

如果要得到这些离散点以外的数值，需要根据这些已知的数据进行插值。例：某观测站测得某日6:00时至18:00时之间每隔2小时的室外温度(℃)，插值分别求得该日室外6:30至17:30时之间每隔2小时各点的近似温度(℃)。时间h681012141618室外温度t215.019.024.028.034.032.030.0插值：已知数据点反映了一个函数y=f(x),但不知道解析式。插值的任务就是根据上述条件构造一个函数y=g(x)，使得在xi(i=1,2,…n),有g(xi)=f(xi),而且在相邻采样点之间，g(x)平滑过渡。1.一维数据插值一维插值：被插值函数是一个单变量函数。两种类型：1、一维多项式插值2、基于傅里叶变换的一维插值一维插值的函数：interp1一维插值的函数:interp1其调用格式为：

Y1=interp1(X,Y,X1,'method')

函数根据X,Y的值，计算函数在X1处的值。X,Y：两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值，X1是一个向量或标量，描述欲插值的点，Y1是一个与X1等长的插值结果。Method：插值方法，允许的取值有‘linear’、‘nearest’、‘cubic’、‘spline’。linear：线性插值(默认的插值方法)—相近的2个数据点用直线连接，然后在直线上选取对应插值点的数据。nearest：最近点插值—根据已知插值点与已知数据点的远近程度进行插值。插值点优先选择较近的数据点插值。cubic：3次多项式插值—求出一个3次多项式，根据多项式插值。spline：3次样条插值：在每个分段内构造一个3次多项式。linear：线性插值相近的2个数据点用直线连接，然后在直线上选取对应插值点的数据。%li621_linear.mx=0:10;y=[0,4,9,10,12,13,14,13,8,5,0];m=interp1(x,y,4.5)%m=12.5n=interp1(x,y,10.5)%n=NaN（当x1在向量x的区域内时，能求出插值，当x1超出x的区域时，返回NaN。）x012345678910y0491012131413850绘制对比曲线：比较插值点与原曲线的差别。%li621_linear_plot.mnearest：最近点插值在已知数据最邻近的点设置插值点，对插值点的数进行四舍五入。是最快的插值方法，但是在平滑性方面较差。%li621_nearest_plot.mcubic：3次多项式插值求出一个3次多项式，根据多项式插值。采用一个三次函数进行拟合，返回指定插值点的值。比linear,nearest两种插值方法需要更多的内存和处理时间，但插值数据及其导数都是连续的。%li621_cubic_plot.mspline：3次样条插值在每个分段内构造一个3次多项式%li621_spline_plot.m例6.7给出积分的数据表，用不同的插值方法计算f(0.472)。x0.460.470.480.49f(x)0.48465550.49374520.50274980.5116683例610：用不同的插值方法计算在π/2点的值。%li610.mX=1:0.2:pi;%X=[1,1.2,…,2.8,3.0]Y=sin(X);a=interp1(X,Y,pi/2)%用默认方法（线性插值方法）b=interp1(X,Y,pi/2,‘linear’)%用线性插值方法c=interp1(X,Y,pi/2,‘nearest’)%用最近点插值方法d=interp1(X,Y,pi/2,‘spline’)%用3次样条插值方法e=interp1(X,Y,pi/2,'cubic')%用3次多项式插值方法例611:某观测站测得某日6:00时至18:00时之间每隔2小时的室内外温度(℃)，用3次样条插值分别求得该日室内外6:30至17:30时之间每隔2小时各点的近似温度(℃)。时间h681012141618室内温度t118.020.022.025.030.028.024.0室外温度t215.019.024.028.034.032.030.0设时间变量h为一行向量，温度变量t为一个两列矩阵，其中第一列存放室内温度，第二列储存室外温度。命令如下：h=6:2:18;t=[18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30]';XI=6.5:2:17.5YI=interp1(h,t,XI,‘spline’)%用3次样条插值计算**注意：有2个样本值时，以列的形式表示。6.1.3曲线拟合曲线拟合与最小二乘原理

根据在一个区间或一个区域上的有限个采样点的函数值，用一个较简单的函数去逼近一个复杂的或未知的函数。数值插值：要求逼近函数在采样点与被逼近函数相等。曲线拟合：构造函数y=g(x)去逼近f(x)，但不要求在插值点完全相等，使它在某种意义下最优。----最优标准：最小二乘法。最小二乘法构造的p(x)是一个次数小于插值节点个数的多项式。设测得n个离散数据点（xi,yi），构造一个m(m<=n)次多项式p(x):p(x)=a1xm+a2xm-1+…+amx+am+1实际是求一个系数向量，即多项式的系数（a1,a2,……am,am+1）例如：测得10个数据点使上述拟合多项式在各节点处的偏差p(xi)-yi的平方和最小。xi12345678910yi9.64.11.30.40.050.10.71.83.89.0p(xi)求得最小二乘拟合多项式的系数：polyfit函数polyfit函数的调用格