导数的概念及其几何意义（第一课时）课件高二下学期数学人教A版选择性

TIANJIANINGDEBIAOTI5.1.2导数的概念及其几何意义高二数学组2023-2-17教学目标：1.了解平均变化率与割线之间、瞬时变化率与切线之间的关系，通过函数的图象理解导数的几何意义．2．了解导函数的概念，会求导函数．3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．教学重难点：根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．问题1高台跳水运动员的速度平均速度瞬时速度问题2抛物线的切线斜率割线斜率切线斜率复习引入——瞬时变化率——瞬时变化率——平均变化率——平均变化率这两类问题都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法.问题1解决这两类问题时有什么共性？探究新知问题2一般地，对于函数

y＝f(x)，你能用“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法研究其在某点(如x＝

x0）处的瞬时变化率吗？追问1：为了研究函数

y＝f(x)在

x＝

x0处的瞬时变化率，我们可以研究哪个范围内函数值的平均变化率呢？探究新知

为了研究函数

y＝f(x)在

x＝

x0处的瞬时变化率，我们可以选取自变量x的一个改变量Δx，可以是正值，也可以是负值，但不为

0.

计算自变量x从x0变化到x0+Δx这个过程中函数值的平均变化率.追问2：函数

y＝f(x)的自变量

x从

x0变化到

x0+Δx这个过程中，函数值的平均变化率如何表示呢？探究新知自变量

x：函数值

y：

函数

y＝f(x)从x0到的平均变化率：追问3：函数

y＝f(x)在

x＝x0

处的瞬时变化率该如何表示呢？探究新知无限趋近于无限趋近于无限趋近于追问4：当Δx无限趋近于0时，平均变化率

是否一定会无限趋近于一个确定的值呢？探究新知不一定考查f(x)＝|x|在x＝0附近的变化情况.举反例：当时，当时，xyO121234-1-2

f(x)＝|x|

导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达.概念形成导数（瞬时变化率）定义：如果当无限趋近于0时，平均变化率

无限趋近于一个确定的值即

有极限，则称_________________________，并把这个确定的值叫做______________________(也称为__________),记作______或______.用极限符号表示这个定义，就是__________________________________

y＝

f(x)在x

＝

x0处可导瞬时变化率

y＝f(x)在x＝x0处的导数问题3

根据导数的定义，你能用导数来重述跳水运动员速度问题和抛物线切线问题的结论吗？探究新知问题1高台跳水运动员的速度平均速度瞬时速度问题2抛物线的切线斜率割线斜率切线斜率——瞬时变化率——瞬时变化率——平均变化率——平均变化率

实际上，导数可以描述许多运动变化事物的瞬时变化率.比如效率、国内生产总值的增长率等.例1设

，求典例分析解：问题4

你能总结出求函数

y＝f(x)在

x＝x0

处导数的步骤吗？方法归纳第一步，写出并化简；第二步，求极限，

若存在，则巩固练习1.设函数

f(x)在x＝x0处可导，若，则f′(x0)=()A.1B.-1C.D.C2.设函数

f(x)在x＝x0处可导，若()A.f′(x0)B.2f′(x0)C.-2f′(x0)D.0B3.设函数

f(x)＝x2－1.求：

（1）当自变量

x由1变到1.1时，函数的平均变化率；

（2）函数在

x＝1处的导数.解:（1）（2）巩固练习解:由导数的定义，知f(x)函数在

x＝1处的导数为4.设函数

在

x＝1处的导数.因此函数

在

x＝1处的导数为.巩固练习例2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.已知在第

xh时，原油的温度（单位：℃）为

计算第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.典例分析导数是瞬时变化率的数学表达.追问1：这个实际问题与导数有什么关系？解：在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是

和所以因为同理，追问2：

和在这个实际问题中的意义是什么？

在本题中

是原油温度在时刻

x0的瞬时变化率，它反映的是原油温度在时刻x0附近的变化情况.

表示在第2h时，原油温度的瞬时变化率为－3℃/h.这说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速率下降.导数(瞬时变化率)为负，体现了下降的变化趋势.

表示在第6h时，原油温度的瞬时变化率为5℃/h，这说明在第6h附近，原油温度大约以5℃/h的速率上升.导数(瞬时变化率)为正，体现了上升的变化趋势.例3一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts时汽车的速度(单位:m/s)为

y＝v(t)＝-t2＋6t＋60，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.追问1：速度与瞬时加速度的关系是什么？瞬时加速度就是速度的瞬时变化率.典例分析解：在第2s和第6s时，汽车的瞬时加速度就是

和所以因为同理，追问2：和在这个实际问题中的意义是什么？

在本题中

是t0时刻汽车的瞬时加速度，反映了速度在t0时刻附近的变化情况.

表示在第2s时，汽车的瞬时加速度是2m/s2，这说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加2m/s.导数(瞬时变化率)为正，体现了增加的变化趋势.

表示在第6s时，汽车的瞬时加速度是－6m/s2，这说明在第6s附近，汽车的速度每秒大约减少6m/s.导数(瞬时变化率)为负，体现了减少的变化趋势.瞬时速度是位移的瞬时变