（全国统考）2022高考数学一轮复习第五章平面向量数系的扩充与复数的引入5.1平面向量的概念及线性运算学案（理含解析）北师大版

第五章平面向量、数系的扩充与复数的引入5.1平面向量的概念及线性运算必备知识预案自诊知识梳理1.平面向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量叫作向量;向量AB的大小称为向量AB的(或称)

记作AB零向量长度为的向量叫作零向量;其方向是任意的

记作0单位向量长度等于的向量,叫作单位向量

非零向量a的单位向量为±a平行向量方向或的非零向量叫作平行向量

零向量与任意向量或共线

共线向量的非零向量又叫作共线向量

相等向量长度且方向的向量叫作相等向量

两向量只有相等或不相等,不能比较大小相反向量长度且方向的向量叫作相反向量

零向量的相反向量仍是零向量2.平面向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算,叫作向量的加法(1)交换律:a+b=

(2)结合律:(a+b)+c=

减法向量a加上b的相反向量,叫作a与b的差.求两个向量差的运算叫作向量的减法a-b=a+(-b)续表向量运算定义法则(或几何意义)运算律数乘求实数λ与向量a的积的运算叫作向量的数乘(1)|λa|=;

(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向;当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ=0时,λa=0

λ(μa)=;

(λ+μ)a=;

λ(a+b)=

(λ,μ为实数)3.向量共线定理(1)向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得.注:限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性.(2)变形形式:已知直线l上三点A,B,P,O为直线l外任一点,有且只有一个实数λ,使得OP=(1-λ)OA+λOB.1.P为线段AB的中点⇔OP=12.若G为△ABC的重心,则有(1)GA+GB+GC=03.首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量,一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量.4.对于起点相同、终点共线的三个向量OP,OP1,OP2(O与P1,P2不共线),总有OP=uOP1+vOP25.对于任意两个向量a,b,都有:(1)||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|;(2)|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段表示向量.()(2)AB+BC+CD(3)若两个向量共线,则其方向必定相同或相反.()(4)若向量AB与向量CD是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.()(5)若a∥b,b∥c,则a∥c.()2.(2020河南开封模拟)AB+BC-A.CD B.CB C.AD D.DC3.(2020北京朝阳期中,4)如图,在△ABC中,D是BC的中点.若AB=a,AD=b,则AC=()A.3a-2bB.a-2bC.-a+2bD.12a+14.(2020山东菏泽调研)设a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b-2a)共线,则λ=.5.(2020全国1,理14)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=.关键能力学案突破考点平面向量的有关概念【例1】给出下列四个说法:①若|a|=|b|,则a=b;②若A,B,C,D是不共线的四点,则“AB=DC”是“四边形ABCD为平行四边形”③若a=b,b=c,则a=c;④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b.其中正确说法的序号是()A.②③ B.①② C.③④ D.②④解题心得平面向量有关概念的关键点(1)平面向量定义的关键是方向和大小.(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制.(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.(4)单位向量的关键是长度都是1个单位.(5)零向量的关键是长度是0,规定零向量与任意向量共线.对点训练1给出下列命题:①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;③若λa=0(λ为实数),则λ必为零;④已知λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.其中错误命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4考点平面向量的线性运算【例2】(1)(2020湖南师大附中一模,理3)如图,在正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F满足CF=2FB,那么EF=()A.12AB-C.12AB-(2)在△ABC中,AB+AC=2AD,AE+DE=0,若BE=xABA.y=3x B.x=3y C.y=-3x D.x=-3y思考在几何图形中,用已知向量表示未知向量的一般思路是什么?向量的线性运算与代数多项式的运算有怎样的联系?解题心得1.进行向量运算时,要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线及相似三角形的对应边成比例等性质,把未知向量用已知向量表示出来.2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形方法在向量的线性运算中同样适用.对点训练2(1)(2020河南驻马店二模,文7)如图,在等腰直角三角形ABC中,D,E分别为斜边BC的三等分点(D靠近点B),过E作AD的垂线,垂足为F,则AF=()A.35AB+C.415AB+(2)如图所示,在正方形ABCD中,E为AB的中点,F为CE的中点,则AF=()A.34AB+C.12AB+考点向量共线定理及其应用【例3】设两个非零向设两个非零向量a与b不共线.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.思考如何用向量的方法证明三点共线?变式发散1若将本例(1)中“BC=2a+8b”改为“BC=a+mb”,则当m为何值时,A,B,D三点共线?变式发散2若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值?解题心得1.[提醒]证明三点共线时,需说明共线的两向量有公共点.2.对于OA=λOB+μOC(λ,μ为实数),若A,B,C三点共线,则λ+μ=1.3.a∥b⇔a与b共线⇔b=λa(a≠0).注意待定系数法和方程思想的运用.对点训练3(1)设两个非零向量a与b不共线,若a与b的起点相同,且a,tb,13(a+b)的终点在同一条直线上,则实数t的值为(2)(2020山东泰安一模,6)如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若AB=mAM,AC=nAN,则m+n=A.1 B.32 C.2 D.1.平面向量的重要结论:(1)若存在非零实数λ,使得AB=λAC或AB=λBC或AC=λBC,则A,B(2)相等向量具有传递性,非零向量的平行具有传递性.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.2.a与b共线⇔b=λa(a≠0,λ为实数).3.向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则,做题时,要注意三角形法则与平行四边形法则的要素.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接,指向终点”;向量减法的三角形法则要素是“起点重合,指向被减向量的终点”;平行四边形法则要素是“起点重合”.1.若两个向量起点相同,终点相同,则这两个向量相等;但两个相等向量不一定有相同的起点和终点.2.零向量和单位向量是两个特殊的向量.它们的模确定,但方向不确定.3.注意区分向量共线与向量所在的直线平行之间的关系.向量AB与CD是共线向量,但A,B,C,D4.在向量共线的充要条件中要注意“a≠0”,否则λ可能不存在,也可能有无数个.第五章平面向量、复数5.1平面向量的概念及线性运算必备知识·预案自诊知识梳理1.大小方向长度模01个单位相同相反方向相同或相反平行相等相同相等相反2.b+aa+(b+c)|λ||a|相同相反(λμ)aλa+μaλa+λb3.(1)b=λa考点自诊1.(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×2.DAB+BC-AD3.C如图,BD=AD-AB=b-a,AC=AB+BC=AB+2BD=a+2(b-4.-12依题意知向量a+λb与2a-b共线,设a+λb=k(2a-b),则有(1-2k)a+(k+λ)b=0,所以1-2k=0,k+5.3∵|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=1+1+2a·b=1,∴a·b=-12∴|a-b|2=(a-b)2=|a|2+|b|2-2a·b=3,∴|a-b|=3.关键能力·学案突破例1A①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.②正确.∵AB=DC,∴|AB|=|DC|,AB∥DC且AB,DC方向相同,又A,B,C,反之,若四边形ABCD为平行四边形,则|AB|=|DC|,AB∥DC且AB,③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同,又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.④不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.综上所述,正确说法的序号是②③.对点训练1C①错误.当方向不同时,不是共线向量.②正确.因为向量有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小.③错误.当a=0时,不论λ为何值,λa=0.④错误.当λ=μ=0时,λa=μb,此时,a与b可以是任意向量.例2(1)C(2)D(1)在△CEF中,EF=EC+CF.因为点E是DC的中点因为CF=2FB,所以CF=所以EF=12(2)由AB+AC=2AD,得点D是BC的中点,由AE+DE=0,得点E所以BE=BA+AE=-AB+12AD=-AB+12×12(AB+AC)对点训练2(1)D(2)D(1)设BC=6,则AB=AC=32,BD=DE=EC=2,AD=AE=BD2+BA所以AFAD=AFAE=cos∠DAE=45,所以AF=4所以AF=45×23AB+1(2)根据题意得AF=12(所以AF=12AB+AD+例3(1)证明∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5AB,∴AB,BD共线,又它们有公共点B,∴A(2)解∵ka+b与a+kb共线,∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即(k-λ)a=(λk-1)b.又a,b是两个不共线的非零向量,∴k-λ=0,λk-1=0.∴k2-变式发散1解BD=BC+CD=(a+mb)+3(a-b)=4a+(若A,B,D三点共线,则存在实数λ,使BD=λAB,即4a+(m-3)b=λ(a+b),∴4=λ,m-故当m=7时,A,B,D三点共线.变式发散2解因为ka+b与a+kb反向共线,所以存