第05讲一元二次不等式与其他常见不等式解法（讲义）

第05讲一元二次不等式与其他常见不等式解法名目考点要求考题统计考情分析〔1〕会从实际情景中抽象出一元二次不等式．〔2〕结合二次函数图象，会推断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式．〔3〕了解简洁的分式、肯定值不等式的解法．2020年I卷第1题，5分从近几年高考命题来看，三个“二次〞的关系是必考内容，单独考查的频率很低，间或作为条件的一局部消失在其他考点的题目中．1、一元二次不等式一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且〔1〕当时，二次函数图象开口向上．〔2〕=1\*GB3①假设，解集为．=2\*GB3②假设，解集为．=3\*GB3③假设，解集为．〔2〕当时，二次函数图象开口向下．=1\*GB3①假设，解集为=2\*GB3②假设，解集为2、分式不等式〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕3、肯定值不等式〔1〕〔2〕；；〔3〕含有两个或两个以上肯定值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解【解题方法总结】1、关于的不等式的解集为〔其中〕，解关于的不等式．由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集为．关于的不等式的解集为，解关于的不等式．由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为．2、关于的不等式的解集为〔其中〕，解关于的不等式．由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为．3、关于的不等式的解集为，解关于的不等式．由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．4、关于的一元二次不等式的解集为，那么肯定满意；5、关于的一元二次不等式的解集为，那么肯定满意；6、关于的一元二次不等式的解集为，那么肯定满意；7、关于的一元二次不等式的解集为，那么肯定满意．【典例例题】题型一：不含参数一元二次不等式的解法【解题总结】解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在轴上，结合图象，写出其解集例1．〔2023·上海金山·统考二模〕假设实数满意不等式，那么的取值范围是__________.【答案】【解析】不等式，即，解得，那么的取值范围是.故答案为：.例2．〔2023·高三课时练习〕不等式的解集为______．【答案】【解析】解:由题知不等式为,即,即,解得,所以解集为.故答案为:例3．〔2023·高三课时练习〕函数的定义域为______．【答案】【解析】要使函数有意义，那么，解得.所以函数的定义域为.故答案为：.例4．〔2023·高三课时练习〕不等式的解集为______．【答案】【解析】不等式即，的根为，故的解集为，即不等式的解集为，故答案为：题型二：含参数一元二次不等式的解法【解题总结】1、数形结合处理．2、含参时留意分类争论．例5．〔2023·全国·高三专题练习〕集合，集合，假设“〞是“〞的充分不必要条件，那么实数的取值范围〔

〕A． B． C． D．【答案】A【解析】由得：，，解得：，；由得：；“〞是“〞的充分不必要条件，，当时，，不满意；当时，，不满意；当时，，假设，那么需；综上所述：实数的取值范围为.应选：A.例6．〔2023·全国·高三专题练习〕假设关于x的不等式的解集中恰有4个整数，那么实数m的取值范围为〔

〕A． B．C． D．【答案】C【解析】不等式即，当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，这四个整数只能是3,4,5,6，故，当时，不等式解集为，此时不符合题意；当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，这四个整数只能是，故，，故实数m的取值范围为，应选：C例7．〔2023·全国·高三专题练习〕解以下关于的不等式．【解析】方程：且解得方程两根：；当时，原不等式的解集为：当时，原不等式的解集为：综上所述,当时，原不等式的解集为：当时，原不等式的解集为：例8．〔2023·全国·高三专题练习〕不等式的解集为〔

〕A． B．C． D．【答案】A【解析】原不等式可以转化为：，当时，可知，对应的方程的两根为1，，依据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：.应选：A.题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式【解题总结】1、肯定要牢记二次函数的根本性质．2、含参的留意利用根与系数的关系找关系进行代换．例9．〔2023·全国·高三专题练习〕关于的不等式的解集为或，那么以下说法正确的选项是〔

〕A． B．不等式的解集为C． D．不等式的解集为【答案】B【解析】由于关于的不等式的解集为或，所以，所以选项A错误；由题得，所以为.所以选项B正确；设，那么，所以选项C错误；不等式为，所以选项D错误.应选：B例10．〔2023·全国·高三专题练习〕实数，关于的不等式的解集为，那么实数a、b、、从小到大的排列是(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】由题可得：，.由，，设，那么.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.应选：A.例11．〔2023·全国·高三专题练习〕关于的不等式的解集为，那么不等式的解集为〔

〕A． B． C． D．【答案】D【解析】的解集是，，得，那么不等式，即，解得：，所以不等式的解集是.应选：D例12．〔2023·北京海淀·101中学校考模拟猜测〕关于x的不等式的解集是，那么以下四个结论中错误的选项是〔

〕A．B．C．假设关于x的不等式的解集为，那么D．假设关于x的不等式的解集为，且，那么【答案】C【解析】由题意，所以正确;对于:，当且仅当，即时成立,所以正确;对于,由韦达定理，可知，所以错误;对于,由韦达定理，可知，那么，解得，所以正确,应选：.例13．〔2023·全国·高三专题练习〕关于x的不等式的解集为，其中，那么的最小值为〔

〕A．－2 B．1 C．2 D．8【答案】C【解析】由题意可知，方程的两个根为m，，那么，解得：，故，，所以，当且仅当，即时取等号，那么，所以，当且仅当，即时取等号，故的最小值为2.应选：C.题型四：其他不等式解法【解题总结】1、分式不等式化为二次或高次不等式处理．2、根式不等式肯定值不等式平方处理．例14．〔2023·北京海淀·统考一模〕不等式的解集为_________．【答案】或【解析】依据分式不等式解法可知等价于，由一元二次不等式解法可得或；所以不等式的解集为或.故答案为：或例15．〔2023·全国·高三专题练习〕不等式的的解集是______【答案】：【解析】那么或【考点定位】此题考查将分式不等式等价转化为高次不等式、考查高次不等式的解法例16．〔2023·上海·高三专题练习〕假设不等式，那么x的取值范围是____________．【答案】【解析】∵，那么，解得，∴x的取值范围是.故答案为：.例17．〔2023·上海浦东新·统考三模〕不等式的解集是__________．【答案】【解析】当时，，解得，此时解集为空集，当时，，即，符合要求，此时解集为，当时，，解得，此时解集为空集，综上：不等式的解集为.故答案为：例18．〔2023·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习〕集合，那么___________．【答案】【解析】，.故.故答案为：题型五：二次函数根的分布问题【解题总结】解决一元二次方程的根的分布时，经常需考虑：判别式，对称轴，特别点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向．例19．〔2023·全国·高三专题练习〕方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为__．【答案】【解析】令，图象恒过点，方程0在区间内有两个不同的根，，解得.故答案为：例20．〔2023·全国·高三专题练习〕方程的两根分别在区间，之内，那么实数的取值范围为______．【答案】.【解析】方程

方程两根为，假设要满意题意，那么，解得，故答案为：.例21．〔2023·全国·高三专题练习〕假设方程有两个不相等的实根，那么可取的最大整数值是______.【答案】1【解析】方程化为，由，解得，所以最大整数值是.故答案为：1.例22．〔2023·全国·高三专题练习〕，，那么的取值范围为________.【答案】【解析】，故，，，将看成方程的两根，那么，即，故，解得.故答案为：题型六：一元二次不等式恒成立问题【解题总结】恒成立问题求参数的范围的解题策略〔1〕弄清晰自变量、参数．一般状况下，求谁的范围，谁就是参数．〔2〕一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式，一般别离参数求最值或分类争论．例23．〔2023·全国·高三专题练习〕假设不等式对恒成立，那么实数的取值范围是________．【答案】【解析】原不等式可化为对恒成立．〔1〕当时，假设不等式对恒成立，只需，解得；〔2〕当时，假设该二次不等式恒成立，只需，解得，所以；综上：.故答案为：例24．〔2023·全国·高三专题练习〕假设不等式对恒成立，那么a的取值范围是____________．【答案】【解析】由不等式对恒成立，可转化为对恒成立，即，而，当时，有最大值，所以，故答案为：．例25．〔2023·全国·高三专题练习〕假设关于x的不等式在区间上有解，那么实数a的取值范围是______.【答案】【解析】由于，所以由得，由于关于的不等式在区间上有解，所以只需小于等于的最大值，当时，，当时，，当且仅当时，等号成立，故的最大值为1，所以，即实数的取值范围是.故答案为：.例26．〔2023·全国·高三专题练习〕假设使关于的不等式成立，那么实数的取值范围是______．【答案】【解析】，使关于的不等式成立，那么，即，，令，，那么对勾函数在上单调递增，所以，故故答案为：例27．〔2023·全国·高三专题练习〕假设不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是_____.【答案】【解析】可转化为.设，那么是关于m的一次型函数.要使恒成立，只需，解得.故答