第01练平面向量及其应用（15种题型过关练能力提升练拓展练）（原卷版）

第01练平面对量及其应用〔15种题型过关练+力量提升练+拓展练〕1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法那么(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；λ(a＋b)＝λa＋λb3.两个向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．4．平面对量根本定理假如e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内全部向量的一组基底．5．平面对量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))．(2)向量坐标的求法①假设向量的起点是坐标原点，那么终点坐标即为向量的坐标；②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(〔x2－x1〕2＋〔y2－y1〕2)．6．平面对量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．7．向量的夹角(1)定义：两个非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，那么∠AOB就是向量a与b的夹角．(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，那么0°≤θ≤180°.(3)共线与垂直：假设θ＝0°，那么a与b同向；假设θ＝180°，那么a与b反向；假设θ＝90°，那么a与b垂直．8．平面对量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，那么|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积9.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.10．平面对量数量积的有关结论非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))夹角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0<常用结论>1．五个特殊向量(1)要留意0与0的区分，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.(2)单位向量有很多个，它们大小相等，但方向不肯定相同．(3)任一组平行向量都可以平移到同始终线上，因此平行向量也叫做共线向量．(4)与向量a平行的单位向量有两个，即向量eq\f(a,|a|)和－eq\f(a,|a|).2．五个常用结论(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最终一个向量的终点的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋eq\o(An－1An,\s\up6(→))＝eq\o(A1An,\s\up6(→)).特殊地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．(2)假设P为线段AB的中点，O为平面内任意一点，那么eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．(3)假设A，B，C是平面内不共线的三点，那么eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0⇔P为△ABC的重心．(4)在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如下图)，易知G为△ABC的重心，那么有如下结论：①eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0；②eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))；③eq\o(GD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→)))，eq\o(GD,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．(5)假设eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为常数)，那么A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.3．基底需要的关注三点(1)基底e1，e2必需是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．(3)假如对于一组基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，那么可以得到eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ1＝μ1，,λ2＝μ2.))4．共线向量定理应关注的两点(1)假设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a∥b的充要条件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，由于x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.(2)推断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定．5．两个结论(1)P为线段AB的中点，假设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么P点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).(2)△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC的重心G的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).6．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．7．平面对量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.一．向量的概念与向量的模〔共2小题〕1．〔2023春•苏州期中〕在如下图的半圆中，AB为直径，O为圆心，点C为半圆上一点且∠OCB＝15°，，那么等于〔〕A． B． C． D．2．〔2023春•盱眙县期中〕设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，假设＝4，，那么＝．二．向量相等与共线〔共2小题〕3．〔2023春•鼓楼区校级期中〕设，都是非零向量，以下四个条件中，使得成立的条件是〔〕A． B． C． D．∥且4．〔2023春•栖霞区校级期中〕向量，不共线，向量，且，那么λ的值为〔〕A．1 B．﹣1 C．±1 D．2三．向量的加法〔共1小题〕5．〔2022秋•海安市期末〕设G为△ABC的重心，那么＝〔〕A．0 B． C． D．四．向量的减法〔共1小题〕6．〔2018春•张家港市校级期末〕〔﹣〕﹣〔﹣〕＝．五．向量的三角形法那么〔共1小题〕7．〔2018春•衢州期中〕P是△ABC所在平面上一点，满意||﹣||＝0，那么△ABC的外形是〔〕A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形六．向量加减混合运算〔共1小题〕8．〔2022春•玄武区校级期中〕化简＝〔〕A． B． C． D．七．两向量的和或差的模的最值〔共1小题〕9．〔2022•高邮市开学〕向量，，那么的最小值为〔〕A．2 B． C．1 D．八．向量数乘和线性运算〔共2小题〕10．〔2022春•钟楼区校级月考〕如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线与AB，AD所在直线分别交于点M，N，满意＝m，＝n〔m＞0，n＞0〕，假设mn＝，那么的值为〔〕A． B． C． D．11．〔2022春•响水县校级期中〕点G是△ABC的重心，点M，N分别在AB，AC上，且满意，其中x+y＝1．假设，那么△AMN与△ABC的面积之比为．九．平面对量数量积的含义与物理意义〔共3小题〕12．〔2023•临沂一模〕向量，满意•＝10，且＝〔﹣3，4〕，那么在上的投影向量为〔〕A．〔﹣6，8〕 B．〔6，﹣8〕 C．〔﹣，〕 D．〔，﹣〕13．〔2023春•栖霞区校级期中〕如图，在直角梯形ABCD中，，，AB＝5，AD＝3，CD＝2，那么＝．14．〔2023春•淮阴区期中〕A〔1，1〕，B〔﹣3，4〕，P〔﹣1，﹣2〕，直线l经过A，B两点，我们把向量以及与它平行的非零向量都称为直线l的方向向量，把与直线l垂直的向量称为直线l的法向量，那么向量在直线l的法向量上的投影向量的模就是点P到直线l的距离．〔1〕求直线l的一个法向量；〔2〕运用上述方法，求点P到直线l的距离．一十．平面对量数量积的性质及其运算〔共1小题〕15．〔2023春•常熟市校级期中〕如图，△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝5，G为△ABC重心，P为线段BG上一点，那么的最大值为，假设M、N分别是边BC、BA的中点，那么的取值范围是．一十一．平面对量的正交分解及坐标表示〔共2小题〕16．〔2021春•宜兴市期中〕分别以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的全部有向线段能表示的不同向量有〔〕A．4个 B．6个 C．8个 D．12个17．〔2019秋•启东市校级月考〕的方向与x轴的正向所成的角为120°，且，那么的坐标为．一十二．平面对量的坐标运算〔共2小题〕18．〔2023春•南通期中〕点A〔﹣1，1〕，B〔2，﹣1〕，假设直线AB上的点D满意，那么D点坐标为〔〕A．〔，0〕 B．〔0，〕 C．〔1，〕 D．〔5，﹣3〕19．〔2023春•栖霞区校级期中〕＝〔2，3〕，2+＝〔6，2〕，那么＝〔〕A．〔2，﹣4〕 B．〔﹣2，4〕 C． D．一十三．平面对量共线〔平行〕的坐标表示〔共2小题〕20．〔2023春•淮阴区期中〕向量，，假设，那么实数x＝〔〕A． B． C． D．021．〔2023春•常州期中〕非零向量与向量共线，那么cosθ的值为〔〕A． B． C． D．一十四．数量积表示两个向量的夹角〔共2小题〕22．〔2023春•淮安期中〕是夹角为60°的两个单位向量，设向量，那么与的夹角为〔〕A． B． C． D．23．〔2023春•如东县期中〕向量＝〔﹣4，2〕，＝〔1，﹣4〕．〔1〕假设〔﹣3b〕⊥〔λ+b〕，求λ的值；〔2〕假设＝〔3μ﹣2，﹣μ〕，向量与的夹角为锐角，求μ的取值范围．一十五．数量积推断两个平面对量的垂直关系〔共2小题〕24．〔2023春•南京期中〕向量，假设，那么m＝〔〕A．6 B．﹣6 C． D．25．〔2023春•秦淮区校级期中〕平面对量＝〔2，﹣1〕，＝〔m，2〕，且⊥，那么|+|＝．一．选择题〔共6小题〕1．〔2023春•如东县期中〕在△ABC中，D，E分别为边AB，AC上一点，且AB＝3DB，AE＝2EC，CD与BE交于F，假设，那么〔m，n〕为〔〕A． B． C． D．2．〔2022秋•无锡期末〕在平行四边形ABCD中，＝，＝，||＝2，||＝2，那么•＝〔〕A．﹣9 B．﹣6 C．6 D．93．〔2023春•海安市校级月考〕骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受群众宠爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，图中的圆A〔前轮〕，圆D〔后轮〕的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，那么在骑行该自行车的过程中，的最大值为〔〕A． B．12 C． D．364．〔2023春•如东县期中〕正三角形ABC的边长为3，点D在边AB上，且，三角形ABC的外接圆的一条弦MN过点D，点P为边BC上的动点，当弦MN的长度最短时，的取值范围是〔〕A．[﹣1，5] B．[﹣1，7] C．[0，2] D．[1，5]5．〔2023春•海陵区校级期中〕平面对量，，，对任意实数x，y都有，成立．假设，那么的最大值是〔〕A． B． C． D．6．〔2023春•镇江期中〕△ABC中，D，E分别为线段AB，BC上的点，直线AE，CD交于点P，且满意，那么的值为〔〕A． B． C． D．二．多项选择题〔共3小题〕〔多项选择〕7．〔2023春•如东县期中〕“奔驰定理〞因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面对量中一个特别美丽的结论．奔驰定理与三角形四心〔重心、内心、外心、垂心〕有着神奇的关联．它的详细内容是：M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，且．以下命题正确的有〔〕A．假设SA：SB：SC＝1：1：1，那么M为△ABC的重心 B．假设M为△ABC的内心，那么 C．假设∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，M为△ABC的外心，那么 D．假设M为△ABC的垂心，，那么〔多项选择〕8．〔2023春•丹阳市期中〕以下说法中正确的选项是〔〕A．在△ABC中，，，，假设，那么△ABC为锐角三角形 B．非零向量和满意，||＝|+|＝2，那么 C．，，且与的夹角为锐角，那么实数λ的取值范围是 D．在△ABC中，假设，那么△AOC与△AOB的面积之比为〔多项选择〕9．〔2023春•鼓楼区校级月考〕如图，直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的一个定点，点A到l1，l2的距离分别为1，2．点B是直线l2上一个动点，过点A作AC⊥AB，交直线l1于点，那么〔〕A． B．△GAB面积的最小值是 C． D．存在最小值三．填空题〔共7小题〕10．〔2023春•苏州期中〕依据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边作出的正方形面积之和．现在对直角三角形CDE按上述操作作图后，得如下图的图形．假设，那么x+y＝．11．〔2023春•雨花台区校级期中〕设x、y∈R，假设向量，，满意，，，且向量与相互平行，那么的最小值为．12．〔2023春•常州月考〕窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形ABCDEFGH中，假设〔λ，μ∈R〕，那么λ+μ的值为；假设正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，那么的最小值为．13．〔2021春•江阴市校级月考〕如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，假设点E为边CD上的动点，那么的取值范围是．14．〔2023春•海安市校级月考〕17世纪法国数学家费马在给伴侣的一封信中曾提出一个关于三角形的好玩问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小，现已证明：在△ABC中，假设三个内角均小于120°，那么当点P满意∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点．依据以上学问，为平面内任意一个向量，和是平面内两个相互垂直的向量，且，那么的最小值是．15．〔2022春•宿迁月考〕在Rt△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝4，P是斜边BC上一动点，点Q满意|PQ|＝2，且．假设点Q在边BC所在的直线上，那么m+n的值为；m+n的最大值为．16．〔2023春•常熟市期中〕如图，△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝5，G为△ABC重心，P为线段BG上一点，那么的最大值为，M、N分别是边BC、BA的中点，那么的取值范围是．四．解答题〔共7小题〕17．〔2022春•邗江区期中〕正六边形ABCDEF的边长为1，〔1〕当点M满意_____时，；〔注：无需写过程，填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑全部可能的状况〕〔2〕假