2019-2020学年广东省华南师大附中高一上学期期中数学试题及答案解析版

试卷第=page22页，总=sectionpages33页第Page\*MergeFormat2页共NUMPAGES\*MergeFormat18页2019-2020学年广东省华南师大附中高一上学期期中数学试题及答案解析版一、单选题1．已知全集，则等于A．B．C．D．【答案】A【解析】解：因为故=2．函数的值域是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据倒数性质求值域.【详解】因为，所以,选B.【点睛】本题考查函数值域，考查基本分析求解能力，属基本题.3．下列函数中，定义域是且为增函数的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】分别求出选项中各函数的定义域，并判断其单调性，从而可得结论.【详解】对于，，是上的减函数，不合题意；对于，是定义域是且为增函数，符合题意；对于，，定义域是，不合题意；对于，，定义域是，但在上不是单调函数，不合题，故选B.【点睛】本题主要考查函数的定义域与单调性，意在考查对基础知识的掌握与灵活运用，属于基础题.4．下列各不等式中成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】本题考查指数函数，对数函数的单调性及应用.函数是增函数，函数是减函数，函数是增函数，函数是减函数，所以；函数是增函数，故选C5．函数的图象过定点（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据对数函数恒过,令计算即可.【详解】令有.代入得.故函数的图象过定点.故选：C【点睛】本题主要考查了对数函数过定点的问题,属于基础题型.6．已知函数，则（）A．0 B．1 C．3 D．【答案】B【解析】【详解】因为，所以.故选：B.7．函数的单调递增区间为(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】先求出函数的定义域，然后根据复合函数的单调性满足“同增异减”的结论求解即可．【详解】由可得或，∴函数的定义域为．设，则在上单调递减，又函数为减函数，∴函数在上单调递增，∴函数的单调递增区间为．故选D．【点睛】（1）复合函数的单调性满足“同增异减”的结论，即对于函数来讲，它的单调性依赖于函数和函数的单调性，当两个函数的单调性相同时，则函数为增函数；否则函数为减函数．（2）解答本题容易出现的错误是忽视函数的定义域，误认为函数的单调递增区间为．8．设在上的奇函数，，当时，，则等于（）A．5.5 B．0.5 C． D．【答案】B【解析】利用奇偶性与将中的自变量变换到中再求解即可.【详解】由得.又为奇函数故.故选：B【点睛】本题主要考查了根据函数性质求解函数值的问题,需要根据题意将自变量根据性质变换到已知解析式的定义域内.属于中等题型.9．已知实数且，则在同一直角坐标系中，函数，的图象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据幂函数与对数函数的图像分情况判断即可.【详解】由题,当时,为增函数且图像往上凸,为减函数且过.易得D满足条件.当时,为增函数且图像往下凸,为增函数且过.无对应选项.故选：D【点睛】本题主要考查了对数函数与幂函数的图像,属于基础题型.10．f(x)是R上的偶函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)－|log5x|的零点个数为()A．4 B．5C．8 D．10【答案】B【解析】由题意得函数的周期为2，再结合函数为偶函数可画出函数的图象，然后根据函数的图象和函数的图象的公共点的个数进行判断即可．【详解】∵f(x＋2)＝f(x)，∴函数的周期为2．由题意可得，在同一坐标系内画出函数和的图象，如下图，由图象得，两函数图象有5个交点，所以函数y＝f(x)－|log5x|共有5个零点．故选B．【点睛】本题考查函数的性质和函数零点的综合，解题的关键是将问题转化为函数图象公共点的个数问题出处理，画图时要结合函数的性质求解，不要忘了函数的奇偶性和周期性的应用．11．对于函数和，设，，若存在，，使得，则称与互为“零点相邻函数”．若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先得出函数f（x）＝ex﹣1+x﹣2的零点为x＝1．再设g（x）＝x2﹣ax﹣a+3的零点为β，根据函数f（x）＝ex﹣1+x﹣2与g（x）＝x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，利用新定义的零点关联函数，有|1﹣β|≤1，从而得出g（x）＝x2﹣ax﹣a+3的零点所在的范围，最后利用数形结合法求解即可．【详解】函数f（x）＝ex﹣1+x﹣2的零点为x＝1．设g（x）＝x2﹣ax﹣a+3的零点为β，若函数f（x）＝ex﹣1+x﹣2与g（x）＝x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，根据零点关联函数，则|1﹣β|≤1，∴0≤β≤2，如图由于g（x）＝x2﹣ax﹣a+3必过点A（﹣1，4），故要使其零点在区间[0，2]上，则或，解得2≤a≤3，故选D【点睛】本题主要考查了函数的零点，考查了新定义，主要采用了转化为判断函数的图象的零点的取值范围问题，解题中注意体会数形结合思想与转化思想在解题中的应用二、填空题12．如果奇函数f（x）在[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f（x）在[-7,-3]上是_________.①减函数且最小值是-5；②减函数且最大值是-5；③增函数且最小值是-5；④增函数且最大值是-5【答案】④【解析】由题意结合奇函数的对称性和所给函数的性质即可求得最终结果．【详解】奇函数的函数图象关于坐标原点中心对称，则若奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是增函数且最大值为﹣5．故答案为：④．【点睛】本题考查了奇函数的性质，函数的对称性及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．13．已知幂函数的图像经过点，则的值等于______.【答案】2【解析】设幂函数,再代入点进而求得与即可.【详解】设幂函数,则.故.所以.故答案为：2【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式与求值,属于基础题型.14．已知，则_____【答案】【解析】令得，可得，从而可得到所求的函数解析式.【详解】由题意，得，因为，则，，故答案为.【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.15．函数的定义域是__________．【答案】【解析】根据函数解析式的特征得到关于自变量的不等式组，解不等式组可得结果．【详解】要使函数有意义，需满足，解得，所以函数的定义域为．故答案为．【点睛】求函数的定义域时，要根据函数解析式的特点得到关于自变量的不等式（组），解不等式（组）后即可得到所求的定义域，特别注意要把定义域写成集合或区间的形式．16．已知是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意实数，都有恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【解析】试题分析：当时，在上单调递增，由得，又是定义在上的偶函数，，则，两边平方得对任意实数都有恒成立，对任意实数都有恒成立，则，则实数的取值范围是．【考点】恒成立问题【思路点睛】利用奇偶性、单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（轴对称函数）与单调性综合街函数不等式和比较大小．本题中，函数为偶函数，且给出了当时的解析式，从而可以判断出单调性，然后利用函数的偶函数的性质，即可得到一个不等式组，解不等式组即可得到所求答案．三、解答题17．计算：【答案】【解析】根据指数幂以及对数的运算求解即可.【详解】原式【点睛】本题主要考查了指数幂以及对数的运算.属于基础题型.18．已知集合，.（1）当时，求集合；（2）当时，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】(1)根据集合的基本运算求解即可.(2)分和两种情况讨论求解即可.【详解】（1）当时,（2）∵∴应分和两种情况讨论当时,有,即；当时,有,即.综上所述,所求实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了集合间的基本运算,同时也考查了根据集合的关系求参数的问题,属于中等题型.19．已知定义在上的偶函数，当时，；（1）求函数的表达式；（2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明.【答案】（1）；（2）函数在上单调递增，理由见解析【解析】(1)根据偶函数的性质求解当时的解析式即可.(2)任取,,,再计算的正负即可.【详解】（1）因为为上的偶函数,设,则有,故时,有,故（2）函数在上单调递增,证明：任取,,,∴因为,,,所以,,∴∴函数在上单调递增【点睛】本题主要考查了根据奇偶性求解函数解析式的方法以及根据定义求解函数单调性的问题,属于中等题型.20．某种树木栽种时高度为A米为常数，记栽种x年后的高度为，经研究发现，近似地满足，其中，a，b为常数，，已知，栽种三年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求栽种多少年后，该树木的高度将不低于栽种时的5倍参考数据：，．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）5年.【解析】Ⅰ由及联立解方程组可得；Ⅱ解不等式，利用对数知识可得．【详解】Ⅰ，，

，又，即，，联立解得，，Ⅱ由Ⅰ得，由得，，．故栽种5年后，该树木的高度将不低于栽种时的5倍．【点睛】本题考查了函数解析式的求解及对数的运算，考查了函数的实际应用问题，属于中档题．21．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)设g(x)＝log4，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．【答案】（1）k＝－.（2）{－3}∪(1，＋∞)．【解析】(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)，∴log4(4x＋1)＋kx＝log4(4－x＋1)－kx.log4＝－2kx，即x＝－2kx对一切x∈R恒成立，∴k＝－.(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log4(4x＋1)－x＝log4有且只有一个实根，化简得方程2x＋＝a·2x－a有且只有一个实根．令t＝2x>0，则方程(a－1)t2－at－1＝0有且只有一个正根．①a＝1t＝－，不合题意；②a≠1时，Δ＝0a＝或－3.若a＝t＝－2，不合题意，若a＝－3t＝；③a≠1时，Δ>0，一个正根与一个负根，即<0a>1.综上，实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．22．已知函数在区间上有最大值和最小值.设（1）求的值（2）若不等式在上有解,求实数的取值范围;（3）若有三个不同的实数解,求实数的取值范围.【答案】（1）.（2）（3）【解析】(1)由函数,所以在区间上是增函数,故,由此解得的值;(2)由(1)可得,所以在上有解,等价于在上有解,即在上有解,令,则,即可求得的取值范围;(3)原方程可化为,令则,有两个不同的实数解,其中,或,即可求得实数的取值范围.【详解