2019-2020学年山东省济南市历城区历城第二中学高二上学期期中数学试题及答案解析版

试卷第=page22页，总=sectionpages33页第Page\*MergeFormat2页共NUMPAGES\*MergeFormat24页2019-2020学年山东省济南市历城区历城第二中学高二上学期期中数学试题及答案解析版一、单选题1．若，则下列不等式正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据函数性质逐个选项证明或举反例即可.【详解】对A,当时,故A错误.对B,当时不满足对数函数定义域,故B错误.对C,当时均不存在,故C错误.对D,由指数函数为减函数可知时成立.故D正确.故选：D【点睛】本题主要考查了不等式的性质,主要注意举不满足函数定义域或单调性等的反例即可.属于基础题型.2．下列命题中,正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【解析】运用不等式的性质,结合取特殊值法,对四个选项逐一判断即可选出正确答案.【详解】选项A:当时,成立,例如：,显然不成立；选项B:当时，能从推出.例如：,显然不成立；选项C:例如,显然不成立；选项D:式子成立,显然,所以,根据不等式的性质:不等式两边同乘一个正数,所得的不等式与原不等式同向,显然有成立.故选：D【点睛】本题考查了不等式的性质,考查了取特殊值法,属于基础题.3．已知条件，条件，则是的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】试题分析：，，，所以是的充分非必要条件．故选A．【考点】充分必要条件．4．设，则双曲线的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【详解】由题意得，双曲线的离心率，因为是减函数，所以当时，，所以，所以，故选B.【考点】双曲线的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质及其应用，其中解答中涉及到双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，函数的单调性及函数的最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算、转化与化归思想的应用，本题的解得中把双曲线的离心率转化为的函数，利用函数的单调性是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档题.5．在正项等比数列中，若成等差数列，则（）A．3或-1 B．9或1 C．3 D．9【答案】D【解析】利用成等差数列求出等比数列的公比,再化简求解即可.【详解】设等比数列的公比为,因为成等差数列,故.因为故.故故选：D【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求法,属于基础题型.6．椭圆的左，右顶点分别是，左，右焦点分别是，若成等比数列，则此椭圆的离心率为（A）（B）（C）（D）【答案】：【解析】：由成等比数列得即【考点定位】本题主要考查椭圆的定义和离心率的概念．属基础题7．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的是最小的两份之和，则最小的一份的量是()A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得中间部分的为20个面包，设最小的一份为，公差为，可得到和的方程，即可求解.【详解】由题意可得中间的那份为20个面包，设最小的一份为，公差为，由题意可得，解得，故选D.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及其应用，其中根据题意设最小的一份为，公差为，列出关于和的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．焦点在轴上的椭圆方程为，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形的面积相等得得，，即，故选C.【考点】椭圆的标准方程与几何性质.9．已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由函数的解析式可得函数的最小值为：,则要考查的不等式转化为：，解得：，即实数的取值范围为.本题选择B选项.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．10．椭圆上有个不同的点，椭圆右焦点，数列是公差大于的等差数列，则的最大值为（）A．2017 B．2018 C．4036 D．4037【答案】C【解析】由已知求出c，可得椭圆上点到点F距离的最大最小值，由等差数列的通项公式求得公差，再由公差大于求得n的最大值．【详解】由已知椭圆方程可得：a2=16，b2=15，则c=1．∴|P1F|=a﹣c=3，当n最大时，|PnF|=a+c=5．设公差为d，则5=3+（n﹣1）d，∴d=，由，可得n＜4037，∴n的最大值为4036．故答案为：C【点睛】（1）本题主要考查椭圆的简单几何性质，考查等差数列的通项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题解题的关键是分析得到当n最大时，|PnF|=a+c=5．二、多选题11．下面命题正确的是（）A．“”是“”的充分不必要条件B．命题“若,则”的否定是“存在,则”.C．设,则“且”是“”的必要而不充分条件D．设,则“”是“”的必要不充分条件【答案】ABD【解析】选项A:先判断由,能不能推出,再判断由,能不能推出,最后判断本选项是否正确；选项B:根据命题的否定的定义进行判断即可.选项C:先判断由且能不能推出,然后再判断由能不能推出且,最后判断本选项是否正确；选项D:先判断由能不能推出,再判断由能不能推出,最后判断本选项是否正确.【详解】选项A:根据反比例函数的性质可知：由,能推出,但是由,不能推出,例如当时,符合,但是不符合,所以本选项是正确的；选项B:根据命题的否定的定义可知：命题“若,则”的否定是“存在,则”.所以本选项是正确的；选项C:根据不等式的性质可知：由且能推出,本选项是不正确的；选项D:因为可以等于零,所以由不能推出,再判断由能不能推出,最后判断本选项是否正确.故选：ABD【点睛】本题考查了充分性和必要性的判断,考查了命题的否定,属于基础题.12．在的条件下，下列四个结论正确的是（）A． B． C．D．设都是正数，则三个数至少有一个不小于【答案】ABD【解析】运用比较法、结合不等式的性质、反证法、基本不等式对四个选项逐一判断即可.【详解】选项A:,故本选项是正确的；选项B:因为,,所以,因此本选项是正确的；选项C:,因为,所以,因此本选项是不正确的；选项D:根据本选项特征,用反证法来解答.假设三个数至少有一个不小于不成立,则三个数都小于2,所以这三个数的和小于6,而（当且仅当时取等号）,显然与这三个数的和小于6矛盾,故假设不成立,即三个数至少有一个不小于,故本选项是正确的.故选：ABD【点睛】本题考查了不等式的性质、做差比较法、反证法、基本不等式的应用,属于基础题.13．设为不超过x的最大整数，为能取到所有值的个数，是数列前n项的和，则下列结论正确的有（）A． B．190是数列中的项C． D．当时，取最小值【答案】ACD【解析】先根据的定义可求得,再确定的递推公式,从而求得的通项公式求解即可.【详解】当时,,,,故,即,当时,,,,故,即,当时,,,,故,即,以此类推,当,时,,,故可以取的个数为,即当时也满足上式,故.对A,,故A正确.对B,令无整数解.故B错误.对C,.故.故.故C正确.对D,.当且仅当时取等号.因为,当时,,当时,,故当时,取最小值,故D正确.故选：ACD【点睛】本题主要考查了数列中的新定义问题,需要根据题意求解通项公式进行分析,主要考查递推公式推导通项公式的方法等.属于难题.三、填空题14．已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且．若的面积为9，则_____．【答案】3【解析】由定义得|PF1|+|PF2|=2a，由得|PF1|2+|PF2|2=4c2，由面积得|PF1||PF2|＝9，由此能得到b的值.【详解】∵F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且,∴|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|2+|PF2|2=4c2，|PF1||PF2|＝9，∴（|PF1|+|PF2|）2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2，∴36=4（a2-c2）=4b2，∴b=3．故答案为3．【点睛】主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识，重点是三个方程的应用，属于基础题.15．已知命题p：∃x∈[0，]，cos2x＋cosx－m＝0为真命题，则实数m的取值范围是________．【答案】[－1，2]【解析】根据三角函数的二倍角公式将条件转化为一元二次函数再求解.【详解】令m＝cos2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1＝2(cosx＋)2－，由于x∈[0，]，所以cosx∈[0，1]．于是m∈[－1，2]，因此实数m的取值范围是[－1，2]．【点睛】解决与特称命题有关的参数取值范围问题，可用分离参数法，将问题转化为求相应函数在某区间上的值域、范围.16．已知等比数列的前n项和为，其中，则的最小值是______.【答案】17【解析】求得等比数列的通项公式,再求出前n项和,代入利用基本不等式求解即可.【详解】由易得公比.故.故..故.当且仅当时等号成立.故的最小值是17.故答案为：17【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式求解以及等比数列的求和,同时也考查了基本不等式的运用,属于中等题型.17．下列命题：①设是非零实数，若，则；②若，则；③函数y=的最小值是2；④若x、y是正数，且+=1，则xy有最小值16；⑤已知两个正实数x，y满足+=1，则x+y的最小值是.其中正确命题的序号是________________．【答案】②④【解析】试题分析：①若，，则，故不正确；②若，由同号不等式取倒数法则，知，故正确；③函数等号成立的前提条件是，即，不成立，所以函数的最小值不是2，故不正确；④因为是正数，且，所以，即，故正确；⑤因为正实数x，y满足+=1，所以，则，当且仅当时等号成立，即，，故x+y的最小值是，故不正确.【考点】基本不等式及其应用；函数的单调性、最值；不等式的定义及性质.四、解答题18．在等差数列中，，．（1）求数列的通项公式．（2）若数列的首项为，公比为的等比数列，求的前项和．【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）设等差数列的公差为．利用通项公式即可得出．

（Ⅱ）由数列是首项为，公比为的等比数列，可得．再利用等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可得出．试题解析：（）设等差数列的公差为，∵，∴，解得，∴数列的通项公式为．（）由数列是首项为，公比为的等比数列得，即，∴，∴．∴当时，；当时，．19．2019年滕州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且.由市场调研知，每辆车售价5万元，且生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2019年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售-成本）（2）2019年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）（2）2019年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元【解析】（1）根据年利润＝销售额﹣投入的总成本﹣固定成本，分0＜x＜40和当x≥40两种情况得到L与x的分段函数关系式；（2）当0＜x＜40时根据二次函数求最大值的方法来求L的最大值，当x≥40时，利用基本不等式来求L的最大值，最后综合即可．【详解】（1）当时，；当时，；所以（2）当时，，当时，；当时，.（当且仅当即时，“”成立）因为所以，当时，即2019年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元.【点睛】本题考查函数的实际应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．20．（本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分）如图，椭圆的左、右焦点分别为过的直线交椭圆于两点，且（1）若，求椭圆的标准方程（2）若求椭圆的离心率【答案】（1）；（2）【解析】试题解析：（1）本题中已知椭圆上的一点到两焦点的距离，因此由椭圆定义可得长轴长，即参数的值，而由，应用勾股定理可得焦距，即的值，因此方程易得；（2）要求椭圆的离心率，就是要找到关于的一个等式，题中涉及到焦点距离，因此我们仍然应用椭圆定义，设，则，，于是有，这样在中求得，在中可建立关于的等式，从而求得离心率.（1）由椭圆的定义，设椭圆的半焦距为c，由已知，因此即从而故所求椭圆的标准方程为.（2）解法一：如图（21）图，设点P在椭圆上，且，则求得由,得,从而由椭圆的定义，,从而由，有又由，知，因此于是解得.解法二：如图由椭圆的定义，,从而由，有又由，知，因此,,从而由,知，因此【考点】考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质.，直线和椭圆相交问题，考查运算求解能力．21．命题：实数满足（其中）,命题：实数满足.(1)若,且命题均为真命题,求实数的取值范围；(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】(1)先解出不等式的解集,再解出不等式的解集,根据题意,可以求出实数的取值范围；(2)根据是的充分不必要条件,可以根据集合的关系得到关于实数的不等式组,解这个不等式组即可求出实数的取值范围.【详解】解(1)由得，又，所以,当时,,即为真时实数的取值范围是.由，得解得,即为真时实数的取值范围是.均为真命题，所以实数的取值范围是.(2)由（1）知,,是充分不必要条件,解得，故实数的取值范围是.【点睛】本题考查了两个命题为真命题时求参数问题,考查了根据命题的充分不必要条件求参数问题,考查了数学运算和分析能力.22．在数列中，，，设.（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前n项和；（Ⅲ）若，为数列的前n项和，求不超过的最大的整数.【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）（Ⅲ）2019.【解析】（Ⅰ）构造数列证明为常数即可.（Ⅱ）易得,再利用错位相减求解即可.（Ⅲ）先求得,再利用错位相减求解数列的前n项和即可.【详解】解（Ⅰ）证明：由两边加2n得,,所以,即.故数列是公比