海淀区2021届初三第一学期期末考试数学试题及答案

海淀区初三第一学期期末学业水平调研

数

学校

注

意

事

项

姓名

学

准考证号

2021.1

1．本调研卷共8页，满分100分，考试时间120分钟。

2．在调研卷和答题纸上准确填写学校名称、姓名和准考证号。

3．调研卷答案一律填涂或书写在答题纸上，在调研卷上作答无效。

4.在答题纸上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答。

一、选择题（本题共24分，每小题3分）

1．已知反比例函数yk的图象经过点A2,3，则k的值为

x

A．3

B．4

C．5

D．6

2．围棋起源于中国，古代称之为"弈"

，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围

棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个

部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是

A．

B．

C．

D．

3．不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出

1个球，恰好是红球的概率为

A．1

3

B．1

2

C．2

3

D．1

4．如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC的反向延长线上，

E

D

且DE∥BC．若AE=2，AC=4，AD=3，则AB为

A．9

C．3

B．6

A

D．3

2

B

C

5．在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是

A．x10

C．x210

B．x2x0

D．x210

初三年级（数学）第1页（共8页）

6．如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为1，则BC的长为

A．1

4

C．2

3

F

O

E

B．1

3

A

D

D．

B

C

7．已知二次函数yax2bxc的部分图象如图所示，则使得函

y

数值y大于2的自变量x的取值可以是

A．-4

C．0

B．-2

D．2

2

1

-2-1O

1

2x

8．下列选项中，能够被半径为1的圆及其内部所覆盖的图形是

A．长度为5的线段

B．斜边为3的直角三角形

D．半径为2，圆心角为90°的扇形

C．面积为4的菱形

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

9．写出一个二次函数，使得它有最小值，这个二次函数的解析式可以是

．

10．若点(1，a)，(2，b)都在反比例函数y4的图象上，则a与b的大小关系是：a

x

b

（填">""="或"<"．

、

）

11．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，若腰AB

A

与⊙O相切，则AC与⊙O的位置关系为

（填"相

B

O

C

交""相切"或"相离"．

、

）

12．关于x的一元二次方程x23xm0有一个根是x1，则m

．

初三年级（数学）第2页（共8页）

13．某城市启动"城市森林"绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成

活率．在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所

示：

移植总数

成活数量

成活频率

10

8

0.800

270

235

400

369

750

662

1500

1335

0.890

3500

3203

0.915

7000

6335

0.905

9000

8073

0.897

14000

12628

0.902

0.870

0.923

0.883

估计树苗移植成活的概率是

（结果保留小数点后一位）

．

E

14．如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了

一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的

顶部．若眼睛距离地面AB=1.5m，同时量得BC=2m，

A

B

C

D

CD=12m，则旗杆高度DE=

m．

15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=3，点D在AC上，且

A

AD=2，将点D绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好

落在AB边上，则旋转角的度数为

，CE的长为

.

D

E

B

C

16．已知双曲线y3与直线ykxb交于点Ax1,y1，

x

Bx2,y2．

（1）若x1x20，则y1y2

；

0，b

（2）若x1x2＞0时，y1y20，则k

0（填">""="或"<"．

、

）

初三年级（数学）第3页（共8页）

三、解答题（本题共52分，第17-20题，每小题5分，第21-23题，每小题6分，第24-25

题，每小题7分）

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．解方程：x24x30．

18．如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠B=∠ACD=90°，AC平分∠BAD．

（1）证明：△ABC∽△ACD；

A

（2）若AB=4，AC=5，求BC和CD的长．

D

B

C

初三年级（数学）第4页（共8页）

19．如图1是博物馆展出的古代车轮实物，

《周礼·考工记》记载：

"故兵车之轮六尺有

六寸，田车之轮六尺有三寸"

据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，

请将以下推理过程补充完整．

C

A

D

B

O

图1

图2

如图2所示，在车轮上取A、B两点，设AB所在圆的圆心为O，半径为rcm．

作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理的依据是：

．

经测量，AB=90cm，CD=15cm，则AD=

用含r的代数式表示OD，OD=

cm．

cm；

在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：

r2

解得r=75．

，

通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．

20．文具店购进了20盒"2B"铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干"HB"铅笔．店

员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了2支"HB"铅笔，具体数据见下表：

混入"HB"铅笔数

盒数

0

6

1

m

；

2

n

（1）用等式写出m，n所满足的数量关系

（2）从20盒铅笔中任意选取了1盒，

①"盒中没有混入'HB'铅笔"是

事件（填"必然""不可能"或"随机"；

、

）

②若"盒中混入1支'HB'铅笔"的概率为

1

，求m和n的值．

4

初三年级（数学）第5页（共8页）

21．如图，在平面直角坐标系xOy中，线段AB两个端点的坐标分别为A（1，2）B（4，

，

2）

，以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD．已

知点B在反比例函数y

k(x0)的图象上．

x

（1）求反比例函数的解析式，并画出图象；

（2）判断点C是否在此函数图象上；

（3）M为直线CD上一动点，M作x轴的垂线，

点

．．

过

与反比例函数的图象交于点N．

若

MNAB，直接写出点M横坐标m的取值范围．

y

9

8

7

6

5

4

3

2

1

O

A

B

12345678910x

22．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相

切于点E，且E是AB中点，连接OA．

A

（1）求证：OA=OB；

（2）连接AD，若AD=7，求⊙O的半径．

B

D

E

O

C

初三年级（数学）第6页（共8页）

23.在平面直角坐标系xOy中，P(m,y1)在二次函数yx2bxc的图象上，Qm,y2

点

点

在一次函数yx4的图象上．

（1）若二次函数图象经过点(0,4)，(4,4)．

①求二次函数的解析式与图象的顶点坐标；

②判断m0时，y1与y2的大小关系；

（2）若只有当m1时，满足y1y20，求此时二次函数的解析式．

．．

y

5

4

3

2

1

-2-1O

-1

-2

1

2

3

4

5

x

初三年级（数学）第7页（共8页）

24.已知MAN45，点B为射线AN上一定点，点C为射线AM上一动点（不与点A重

合）

，点D在线段BC的延长线上，且CDCB．过点D作DE⊥AM于点E．

N

N

B

B

A

C(E)

M

A

C

M

D

图1

图2

（1）当点C运动到如图1的位置时，点E恰好与点C重合，此时AC与DE的数量关

系是

；

（2）当点C运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：2AC=AE+DE；

（3）在点C运动的过程中，点E能否在射线AM的反向延长线上？若能，直接用等式

表示线段AC、AE、DE之间的数量关系；若不能，请说明理由．

初三年级（数学）第8页（共8页）

25．如图1，对于△PMN的顶点P及其对边MN上的一点Q，给出如下定义：以P为圆心，

PQ为半径的圆与直线MN的公共点都在线段MN上，则称点Q为△PMN关于点P的

内联点．

P

M

Q

N

图1

图2

在平面直角坐标系xOy中：

（1）如图2，已知点A(7,0)，点B在直线yx1上．

①若点B(3,4)，点C(3,0)，则在点O，C，A中，点_______是△AOB关于点B

的内联点；

②若△AOB关于点B的内联点存在，求点B纵坐标n的取值范围；

（2）已知点D(2,0)，点E(4,2)，将点D绕原点O旋转得到点F，若△EOF关于点E

的内联点存在，直接写出点F横坐标m的取值范围.

初三年级（数学）第9页（共8页）

海淀区初三第一学期期末学业水平调研

数

学

2021.1

参考答案

一、选择题（本题共24分，每小题3分）

题号

答案

1

D

2

A

3

A

4

B

5

C

6

B

7

B

8

D

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

9．不唯一，例如：yx2

10．＞

11．相切

12．2

13．0.9

14．9

15．45°；10

(注：第一个空2分，第二个空1分)

16．1）0；2）＜；＞．

（

（

（每空1分）

三、解答题（本题共52分，第17~20题每题5分，第21~23题每题6分，第27~28题，每

小题7分）

17．解：方法一：

x24x410

x221

x21

x11,x23．

3分

5分

方法二：

b24ac42434.

xbb4ac42,

2

2a

2

x11,x23．

3分

5分

初三年级（数学）第10页（共8页）

方法三：

(x1)(x3)0

3分

x10或x30

x11,x23．

5分

18．1）证明：∵AC平分∠BAD，

（

∴∠BAC=∠DAC．

1分

∵∠B=∠ACD=90°，

∴△ABC∽△ACD．

3分

（2）解：在Rt△ABC中，∠B=90°，

∵AB=4，AC=5，

∴BCAC2AB23．4分

∵△ABC∽△ACD，

∴ABBC．

ACCD

∴43，

5CD

∴CD15．

4

5分

19．垂直于弦的直径平分弦；

45；

1分

2分

3分

5分

r15；

452r152．

20．1）mn14．

（

（2）①随机

2分

3分

②解：∵盒中混入1支'HB'铅笔的概率为1，

4

∴m2015．

4

4分

∵mn14，

∴n9．

5分

初三年级（数学）第11页（共8页）

21．1）∵点B（4，2）在反比例函数yk的图象上，

（

x

∴k428，即该函数的解析式为y8(x0)．

x

如图

y

2分

A

O

（2）点C在反比例函数的图象上．

B

x

3分

4分

6分

（3）0m8或m8

7

22．1）证明：在⊙O中，连接OE.

（

∵直线AB与⊙O相切于点E，

∴OE⊥AB．

∵E是AB中点，

1分

∴OA=OB．

2分

A

（2）解：∵OA=OB，

∴∠OAE=∠B．

∵∠ACB=90°，

E

∴AE，AC是⊙O的切线，

∴∠OAE=∠OAC．

（切线长定理）

B

C

∴∠OAE=∠OAC=∠B．

∵∠OAE+∠OAC+∠B=90°，

∴∠OAC=30°．

D

O

4分

设⊙O的半径为r，则CD=2r

在Rt△AOC中，AO=2OC=2r．

∴ACAO2OC23r．

在Rt△ACD中，AC2CD2AD2，AD7，

5分

∴

3r2r

2

2

7，解得r1．

6分

初三年级（数学）第12页（共8页）

∴⊙O的半径为1．

23．1）

（

①∵二次函数yx2bxc的图象过点（0，4）（4，4）

，

，

∴c4，164bc4．

∴b4．

∴二次函数的解析式为yx24x4．

∵yx22，

--------1分

2分

∴该二次函数的顶点坐标为（2，0）

．

②y1y2，4分

3分

（2）∵只有当m1时，y1y20，

∴当m1时，y1y20．

y

5

4

3

2

1

-1O

-1

1

2

3

4

5x

而点Q(m,y2)在一次函数yx4图象上，

①当m1时，y20，而y1y20，因此y10；

②当1m4时，y20，而y1y20，因此y10；

③当m4时，y20，而y1y20，因此y10；

∵点P(m,y1)在二次函数yx2bxc的图象上，

∴当m1或4时，y10．

5分

6分

∴平移后的二次函数解析式为y(x1)(x4)x25x4

初三年级（数学）第13页（共8页）

24．1）AC=DE；

（

（2）补全图形，

B

N

2分

C

A

E

M

3分

D

证明：

法1：在射线AM上取点F，使AC=CF，

∵AC=CF，BC=CD，∠BCA=∠DCF，

∴△ABC≌△FDC．

N

∴∠DFE=∠A=45°．

∵DE⊥AM，