求二面角的几何法

3种求二面角的几何法二面角的度量问题是立几中学生比较困难的一个问题，课本上是通过它的平面角来进行度量的，关键在于充分利用平面角的定义。下面来介绍求二面角的大小的几种方法：直二面角情况：一般是通过几何求证的方法，主要依据是直线与平面垂直的判定定理。例1.如图ABCD是矩形，AB=a,BC=b(a>b)，沿对角线AC把AADC折起，使AD丄BC,证明：平面ABD丄平面BCD。证明：由题意可知：AD丄BC,AD丄DC・•・AD丄面BCD又AD面ABD・•・平面ABD丄平面BCD1例2.在四棱锥A-BCDE中，底面是直角梯形，其中BC〃DE,ZBCD=90°,且DE=CD=-BC,1又AB=AE=-BC，AC=AD，AEDM.NC求证：面ABE丄面BCD。AEDM.NC证明：取BE的中点M,CD的中点N,连结AM，AN，MN，•・•AB=AC(已知)・•・AM丄BE同理AC=AD有AN丄CD在直角梯形BCDE中，TM、N分别是BE、CD的中点MN〃BC又 ZBCD=90°・•・MN丄CD・•・CD丄面AMN・•・CD丄AM又AM丄BE,CD、BE是梯形的两个腰，即它们一定相交,

・•・AM丄面BCD, 又AM面ABE・•・ 面ABE丄面BCD。当二面角不是直二面角时可以采用下面几种方法。1.充分利用二面角的定义,证明某角即为二面角的平面角,如找不到现成的,则可以通过三垂线定理或其逆定理把它作出来再计算。例3.例3.如图三棱锥P-ABC中，PC丄平面ABC,PC=,D是BC的中点，且△ADC是边长为2的正三角形，求二面角P-AB－C的大小。解：由已知条件，D是BC的中点・•・CD=BD=2 又厶ADC是正三角形・AD=CD=BD=2・•・D是厶ABC之外心又在BC上・•・△ABC是以ZBAC为直角的三角形，・•・AB丄AC,又PC丄面ABC・•・PA丄AB（三垂线定理）Z.ZPAC即为二面角P-AB-C之平面角，易求ZPAC=30°例4.如图在三棱锥S-ABC中，SA丄底面ABC，AB丄BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E,又SA=AB，BS=BC，求以BD为棱，BDE与BDC为面的二面角的度数。解：•・•BS=BC,又DE垂直平分SC・•・BE丄SC,SC丄面BDE・•・BD丄SC,又SA丄面ABC・•・SA丄BD,BD丄面SAC・•・BD丄DE,且BD丄DC则ZEDC就是所要求的平面角设SA=AB=a，

则BC=SB=<2a且AC=v'3易证ASACsADEC・•・ZCDE=ZSAC=60°例5.如图：ABCD是矩形，AB=8,BC=4,AC与BD相交于O点，P是平面ABCD外一点,PO丄面ABCD，PO=4，M是PC的中点，求二面角M-BD-CPO丄面ABCD，PO=4，M是PC的中点，求二面角M-BD-C大小。CCE=CD-BCBDRN=^=<5tanZMRN二MNRNZMRN=arct2.利用S射影=S'cos°此方法的优点只要找出射影图形及两个面积，不需要找出两面角的平面角，缺点是计算相对烦一些此方法的优点只要找出射影图形及两个面积，不需要找出两面角的平面角，缺点是计算相对烦一些△EBD为厶ABD在面BCD内的射影设AB=a则AE=DE=ABsin60°=设AB=a则AE=DE=ABsin60°=AD=6 i=cosZABD二4,sinZABD=vi5~T~1 <15 v'T51 <15 v'T5=—a2x=a2AABD2 4 8又be=|aSABDEv-3 1-a-a=2 2-v31-a2coSSSABDEv-3 1-a-a=2 2-v31-a2coSS=\o"CurrentDocument"S 込ABDE= —S 5AABD考虑到我们求的是二面角A-BD-E,而二面角A-BD-C与A-BD-C互补面角A-BD-C的余弦值为—斗。例7.已知正方体AC'，M、N分别是BB'，DD'的中点，求截面AMCN与面ABCD，CC'D'D所成的角。解：设边长为a,易证ANC'N是菱形且MN*2a，A'C=『3a□AMC'NMN-2ac'=◎由于AMC'N在面ABCD上的射影即为正方形ABCD・•・S =a2□ABCDC'Ca2 _v6<5 ra22=arcc=arcc取CC'的中点M'，连结DM'则平行四边形DM'C'N是四边形AMC'N在CC'D'D上的射影,1S —a2°CDM'C'M_21a2co6s2co6s2v6a22・•・6・•・62=arccos——63.利用公式EF2=m2+n2土2mnco6BF-\BDBF-\BD2—DF2-1EF-2—1—1--22AE-皿-CE2-这个公式是异面直线上二点的距离公式，我们稍作改造便可以用于求二面角的大小。事实上，以公垂线AA'与a构成平面a,AA'与b构成平面B，贝昭是两异面直线所成的角变成了面角a-AA'-B的平面角或它的补角（要注意它们的范围可能发生了变化）。例8.如图AC丄面BCD,BD丄面ACD,若AC=CD=1,ZABC=30°，求二面角C—AB—D的大小。解：作DF丄AB于F,CE丄AB于E,•・•AC=CD=1 ZABC=30°・•・AD=\2,BC=\3,TOC\o"1-5"\h\zAB=2, BD*2在RtAABC中，AC-BC1x込v3 ——\o"CurrentDocument"AB2 2同理AD-BD<2x、2同理\o"CurrentDocument"DF- -AB 2CD2=CE2+DF2+EF2-2EF-DFco@即所求角的大小为arccos即所求角的大小为arccosv3

T例9.三棱锥A-BCD中，ZBAC=ZBCD=90°,ZDBC=30°,AB=AC= ,AD=4,求二面角A-BC-D的度数。角A-BC-D的度数。解之得：cos0=一0=150从一道高考题谈二面角大小的种种求法546700蒙山县第一中学黄天华在历年高考中,立体几何这一道题,就其解法而言,有传统的几何法和向量法两种（几何法重逻辑推理向量法重计算）,更有其它的一些特殊解法,本文拟2008年江西卷（理科）第20题为例,谈二面角大小的种种求法。题目：如图，正三棱锥 的三条侧棱OAQEQC两两垂直，且长度均为2， 分别是 的中点，旧是的中点，过EF的一个平面与侧棱 或其延长线分别交于

国'耳Q1,已知 .(1)求证:吕口丄平面；(2)求二面角。-貝困-Ui的大小;(3)求月点到平面A^I^I的距离。1几何法定义法根椐二面角的定义及度量知二面角的大小等于其平面角的大小,所以求二面角的大小一般遵循如下三个步：一作二证三计算。解法1：(1)(3)略(以下各解法均略)。(2)如图，过0作°”丄4场于"，连结因为丄平面朝1场，根据三垂线定理知：匚1"丄卫31，则乙0&亡\是二面角°-卫1£1-匚1的平面角。作且胚ME、_2哲-1_2、E\MEs'E'OA、有：ORME、_2哲-1_2、E\MEs'E'OA、有：OR】。血3，即 3，解得°—A^i—U］的大小为arctan^5。面积射影法设法作出二面角中的一个面在另一个面内的射影面，然后分别求出这个面和射影面的面积|-¥ c0scl'——，利用 求出二面角的大小。解法2：依题意知：丄平面加31，所以平面A^I^I在平面加百上的射影是AW1.由解法1知：

UC1S<_<— — 的大小为①，贝则 Sg6，故所求二面角。-川禺-G的大小为ai'ccos 6o双高比值法设法分别求出点。到平面和到棱4耳的距离应和并设二面角°- -G的大小SillCH—一为①，则由 可求二面角的大小，这种方法我们称之为“双高比值法”。解法3：由解法解法3：由解法1知：；又由解法2知:琴，由 得严筈"由解法2琴，由 得严筈"由解法2知:仏朋飞4，设点O到平面的距离为曲，则由 得：_血_压设二面角 的大小为①，则 ，故所求二面角舄月1-U］的大小.730ai_csm 为公式法利用下（占）教材&例2的结论：严=讷+屛+沪±2剜遇①可以求二面角的大小。解法4：如图，过。作。"丄4耳于"，则由解法1知：=— =0C]二37ON=琴皿=弓，洌=0,代入A^i1°；过作GM丄4场于M，在中，舄络3则3=弩,B\M二翻代-两二甞所以MN=舄月1-（舄曲+B1M）0C]二37ON=琴皿=弓，洌=0,代入OC^=ON2+CyM2OC^=ON2+CyM2+就矿-2期£』仇3得:45+270_23,/53./3025+250~ ~5r~故所求二面角。-卫-5的大小为arcc<1.5三面角余弦定理法, ，二面角B-OA-C的平面角大小为厲，贝严0£4=匚。£0匚。汀+如庐sinycos<5（证明略）c利用该公式可求二面角的大小。解法解法5：如图，由解法1知：cosZQZ^!=^-,cosAOA1B15 5，在氓总口中，由余弦定理得：匚恥=£4］吕1•4G 5 5，将cosZCM^,cosZQ/l^psinAOA1£>lrcosA£l1A1C1,sin 之值代入匚°£仕=cos0匚恥尸+£垃©sin©•』|=坐+竺色还閃汀3沱=耀_込厲得： ， ，故所求二面角。-貝禺-G的大小为ai_ccos 。2向量法分别求出构成二面角的两个面的法向量r旳，然后利用求出二面角的2.1分别求出构成二面角的两个面的法向量r旳，然后利用求出二面角的大小，这种方法我们称之为“面法法”。，有此得：向量，所以2.2棱法法解法6：如图，以。为坐标原点， 所在直线分别为x轴，尹轴，工轴，建立空间直角坐标系 ，则相关点的坐标为彳訶,畑）皿,1），设吶嗖由竺与亟共线的充要条件知：存在彳已应，使得：国丑，有此得：向量，所以2.2棱法法解法6：如图，以。为坐标原点， 所在直线分别为x轴，尹轴，工轴，建立空间直角坐标系 ，则相关点的坐标为彳訶,畑）皿,1），设吶嗖由竺与亟共线的充要条件知：存在彳已应，使得：国丑二入E爲,即x=jj=3,场，同理G（0Q3），贝y123,设 是平面的一个法向量，则由，令可=2，则有 ，又 是平面阳1珀的一个法=，故所求二面角。-川1月的大小为肚CC"我们把通过二面角棱上任意两点时，占（可重合）在二面角的棱上且垂直于棱的两个向量旳,，叫做二面角棱的法向量，利用们称之为“棱法法”。可求出二面角的大小，这种方法我解法7：如图，以O为坐标原点， 所在直线分别为x轴，尹轴，£轴，建立空间直角坐标系 ，则相关点的坐标为 ，(3a(3a=口0 列w)，由解法6知：珀〔030）, 设点则 ，即△珀，且。"丄4^,x=-AI则 ，即△珀，且。"丄4^,x=-AI2〔03,0）,所以、尹=3（1-彳）①，又由丄坷耳得:，所以孟一2严0②，解①②得加（兀”0）亡4耳，且丄£珀，同理可求得:f，所以孟一2严0②，解①②得加（兀”0）亡4耳，且丄£珀，同理可求得:f丿。设丿所以:，故^CXM,ON}=C\M•ON6，故所求二面角。-耳