求解牛顿运动定律问题的常用方法

求解牛顿运动定律问题的常用方法上海师范大学附属中学李树祥一、合成法合成法是根据物体受到的力，用平行四边形定则求出合力，再根据要求进行计算的方法。这种方法一般适用于物体只受两个力作用的情况例1.如图所示，沿水平方向做匀变速直线运动的车厢中，悬挂小球的悬线偏离竖直方向37°角，球和车厢相对静止，球的质量为lkg.(g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8)求车厢运动的加速度并说明车厢的运动情况．求悬线对球的拉力．解析：(1)球和车厢相对静止，它们的运动情况相同，由于对球的受力情况知道的较多，故应以球为研究对象.球受两个力作用：重力mg和线的拉力F,T由球随车一起沿水平方向做匀变速直线运动，故其加速度沿水平方向，合外力沿水平方向．做出平行四边形如图所示．球所受的合外力为F=mgtan37°合由牛顿第二定律F=ma可求得球的加速度为合a=-合=gtan37°=7.5m/s2m加速度方向水平向右．车厢可能水平向右做匀加速直线运动，也可能水平向左做匀减速直线运动(2)由图可得，线对球的拉力大小为mg1x10Tmg1x10Tcos37°0.8N=12.5N二、分解法：当物体受到两个以上的力作用而产生加速度时，通常采用正交分解法解题，为减少矢量的分解，通常有两种方法分解力而不分解加速度

这是最常用的方法。分解力而不分解加速度，通常以加速度a的方向为x轴的正方向(对于变速直线运动，由于加速度的方向和物体运动方向共线，因此也可以说以运动方向为x轴)，建立直角坐标系，将物体所受的各个力分解在x轴和y轴上，分别求得x轴和y轴上的合力鸟和鸟。根据力的独立作用原理，各个方向上的力分别产生各自的加速度，得。例2.如图3所示，小车在水平面上以加速度a向左做匀加速直线运动，车厢内用OA、0B两根细绳系住一个质量为m的物体，OA与竖直方向的夹角为白，OB是水平的，求OA、0B两绳的拉力T、T各是多少？2.分解加速度而不分解力122.分解加速度而不分解力若物体受几个互相垂直的力的作用，应用牛顿运动定律求解时，若分解的力太多，则比较繁琐，所以在建立直角坐标系时，可根据物体的受力情况，使尽可能多的力位于两坐标轴上而分解加速度a，得耳和勺，根据牛顿第二定律得，再求解。这种方法一般是在以某个力的方向为x轴正方向时，其他的力都落在或大多数力落在两个坐标轴上而不需再分解的情况下应用。例3：如图所示，电梯与水平面夹角为30°，当电梯加速向上运动时，人对梯面压力是其重力的6，则人与梯面间的摩擦力是其重力的多少倍？解析：此题为分解加速度较简单的典型例题，对人受力分析如图3(a)所丿叭 u%示，取水平向右为x轴正方向，此时只需分解加速度，建立方程并求解：丿叭 u%x方向：F=macos30。y方向：F-mg=masin30。N

解得£f 3mg5三、图像法：运用图像解题包括两个方面：（1）用给定的图像解答问题；（2）根据题意去作图，运用图像去解答问题。处理图像问题的关键是搞清图像所揭示的物理规律或物理量间的函数关系，全面系统的看懂图像中的“轴”、“线”、“点”、“面积”、、截距”等所表示的物理意义。、截距”等所表示的物理意义。例4例4、物体甲乙都静止在同一水平面上，他们的质量为m、m它们与水平面间的摩擦因数分别为口口,用平行于水平面的拉力F分别拉两物体加速度与拉力FA、=口mA、=口mVm甲乙甲乙B、Vm>m甲乙甲乙C、>m=m甲乙甲乙D、>mVm的关系分别如图所示，由图可知：解析：由牛顿第二定律得；加速度表达式为：a二F/m-^g,由数学知识知：图象的斜率是1/m所以mVm甲乙答案为D图象的斜率是1/m所以mVm甲乙答案为D，图象在横轴上的截距是皿，所以"甲>「。例5、如图所示质量相同的木块A、B用轻弹簧相连，静止在光滑水平面上。弹簧处于自然状态。现用水平力F向右推A。则从开始推A到弹簧第一次被压缩到最短的过程中，下列说法中正确的是两物块速度相同时,两物块速度相同时,A.B.加速度a二aAB加速度a>aABC.两物块加速度相同时，速度C.两物块加速度相同时，速度'-：：''匚D.两物块加速度相同时，速度■-j::■三D.解析：在F的作用下A向右运动，开始压缩弹簧，被压缩的弹簧会产生弹力分别推A和B。A的合力是F减去弹簧的弹力，而B的合力只有弹力。弹力是变力，随压缩量的增加而增大。所以，刚开始A是加速度减小的加速运动，B是加速度增加的加速运动。我们直接分析会觉得这个题目很难解，而且很容易出错。若我们把A、B的运动情况用v—t图象来表示，则答案就一目了然。它们的v—t图象如上图，在t2时A和B速度相等，但那一点切线的斜率B大A小，所以aVa，A、B不正确，而当t=t时，斜率一样，加速度AB 1相同，但，所以C正确，D不正确。四、整体与隔离法:1、整体法是指研究对象有几个物体且几个物体间无相对运动（即具有相同

加速度)时，可以把几个物体看成一个整体，对整体受力分析时，只分析整体之外的物体对整体的力，而不分析整体内部各个物体间的作用力，分析整体受力情况后，根据牛顿运动定律，对整体列方程可以求解整体加速度或外界对整体的力2、隔离法就是把所研究的对象从整体中隔离出来，来分析该物体之外的其他物体对此物体的作用力，然后根据牛顿运动定律列方程来求解加速度和所受的力例6、一人在井下站在吊台上，用如图所示的定滑轮装置拉绳把吊台和自己提升上来。图中跨过滑轮的两段绳都认为是竖直的且不计摩擦。吊台的质量m=15kg,人的质量为M=55kg,起动时吊台向上的加速度是a=0.2m/s2,求这时人对吊台的压力。(g=9.8m/s2)解析：选人和吊台组成的系统为研究对象，受力如图所示，F为绳的拉力，由牛顿第二定律有：2F-(m+M)g=(M+m)a则拉力大小为：F二(M+m)(a+g)二350N2再选人为研究对象，受力情况如图所示，其中F是吊台对人TOC\o"1-5"\h\zN .的支持力。由牛顿第二定律得:F+F-Mg=Ma,故F=M(a+g)-F=200N•由牛［F顿第三定律知，人对吊台的压力与吊台对人的支持力大小相等，方向相反，因此人对吊台的压力大小为200N，方向竖直向下。 a五、超失重法： JM所谓超重，指的是物体有向上的加速度时物体对支持面的压力F(或对悬挂物的拉力)大于物体的重力，即F=mg+ma.；所谓失重，指的是物体有向下的加速度时物体对支持面的压力F(或对悬挂物的拉力)小于物体的重力mg，即F二mg—ma；当a二g时，F=0,即物体处于完全失重。当物体处于超失重状N N态时，可将物体的重力mg在超重时为m(g+a)，在失重时为m(g-a),然后按平衡问题处理。例6、一质量为m的人站在电梯中，电梯加速上升，加速度大小为g/3，g为重力加速度•人对电梯底部的压力大小为 •解析：由于人的加速度向上，处于超重状态，根据超失重法可知，物体的重力可看做m(g+a)=4mg/3.故对电梯底部压力大小为4mg/3.例7、如图所示，一个盛水的容器底部有一个小孔.静止时用手指堵住小孔不让它漏水，假设容器在下述几种运动过程中始终保持平动，且忽略空气阻力，则()容器自由下落时,小孔向下漏水将容器竖直向上抛出后，容器向上运动时，小孔向下漏水，容器向下运动时，小孔不向下漏水将容器水平抛出后,容器在运动中小孔向下漏水将容器斜向上抛出后，容器在运动中小孔不向下漏水解析：无论向哪个方向抛出，抛出之后的物体都只受到重力的作用，处于完全失重状态，此时水和容器的运动状态相同，它们之间没有相互作用，水不会流出，所以D正确.故选D.六：假设法：有些物理问题可能会出现不确定情况，如一些题目中力的方向，一些题目中的临界问题等，解答这类题，一般要用假设法。对于题设中若出现“最大”“最小”“刚好”等这类词语时，一般就隐含着临界问题，解决这类问题时，常常是

把物理问题或物理过程假设为极端，进而使临界条件或临界点暴露出来，达到快速解决有关问题的目的。例如两物体刚好要发生相对滑动时，接触面上必须出现最大静摩擦力，两个物体要发生分离时，相互之间的作用力，即弹力必定为零。例8、两重叠在一起的滑块，置于固定的、倾角为0的斜面上，如图所示，滑块A、B的质量分别在M、m,A与斜面间的动摩擦因数为卩，B1与A之间的动摩擦因数为卩2，已知滑块都从静止开始以相同的加速度从斜面滑下，滑块B受到的摩擦力( )A.等于零 B.方向沿斜面向上C.大小等于卩mgcos0 D.大小等于卩mgcos012解析：以B为研究对象，由于所求的摩擦力是未知力，可假设B受到A对它的摩擦力沿斜面向下，由牛顿第二定律得mgsin0+F二ma ①fB对A、B整体进行受力分析，有(M+m)gsin0- (M+m)gcos0=(M+m)a ②1由①②得F=一卩mgcos0fB1式中负号表示仃的方向与规定的正方向相反，即沿斜面向上，所以选B、C。例9、一个质量为0.2kg的小球用细线吊在倾角9=53°的斜面顶端，如图，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦，当斜面以10m/s2的加速度向右做加速运动时，求绳的拉力及斜面对小球的弹力.解析：当加速度A较小时，小球与斜面体一起运动，此时小球受重力、绳拉力和斜面的支持力作用，绳平行于斜面，当加速度A足够大时，小球将“飞离”斜面，此时小球受重力和绳的拉力作用，绳与水平方向的夹角未知，题目中要求a=10m/s2时绳的拉力此时，小球及斜面的支持力，必须先求出小球恰要离开斜面的临界加速度A.所受斜面支持力恰好为零)，由Mgcot9=MA,得此时，小球0a=gco二7.5m/s2。因为a=10m/s2>a所以小球离开斜面N=0,小球受力情况如图5,则Tcosa=ma,Tsina=mg所以T=f(ma)2+(mg)2=2.83N,N=0.七、数学推理法:

根据分析的物理过程列出相应的数学表达式，然后由数学表达式进行讨论。比较常见的有求极值问题和利用等时圆结论解题问题。所谓等时圆就是质点从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等，或质点从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。这些时间都等于质点沿竖直直径（d）自由落体的时间，即t=.'，2d=-，4R=2 （式中R为圆的半径。）0g\gg例10、如图，在设计三角形的屋顶时，为了使雨水能尽快地从屋顶流下，并认为雨水是从静止开始由屋顶无摩擦地流动。试分析和解：在屋顶宽度（2L）—定的条件下，屋顶的倾角应该多大？雨水流下的最短时间是多少？解析：方法一：用三角函数法：如图，设从屋顶A到屋檐B的水平距离为L，且斜面AB的倾角为0。L

cos0=gsin0-122当雨水（理想化为图中的小球）从斜面滑下时，其加速度为a二gsin从A到B的距离为L/cos9,设从L

cos0=gsin0-122得t- 2L 「工gsin0cos0 \gsin20当29=90°，sin29有最大值：（sin29） =1。max所以，当9=45。时，t有最小值：t=2■min\\°方法二：用等时圆方法：Br—LTC如图所示，通过屋顶作垂线AC与水平线BD相垂直；并以L为半径、O为圆心画一个圆与AC、BC相切。然后，画倾角不同的屋顶AiB、A2B、A3B…从图可以看出：在不同倾角的屋顶中，只有A2B是圆的弦，而其余均为圆的割线。根据“等时圆”规律，雨水沿A2B运动的时间最短，且最短时间为Br—LTCtmin而屋顶的倾角贝为tga=-=1L6.程序法

按顺序对题目给出的物体运动过程进行分析的方法简称“程序法”。“程序法”要求我们从读题开始，注意题中能划分多少个不同的过程或多少个不同的状态，然后对各个过程进行分析。例11、静止在水平地面上的物体的质量为2kg，在水平恒力F推动下开始运动，4s末它的速度达到4m/s，此时将F撤去，又经6s物体停下来，如果物体与地面的动摩擦因数不变，求F的大小。解析：物体的整个运动过程分为两段，前4s物体做匀加速运动，后6s物体做匀减速运动。前4s内物体的加速度为a二二0二4m/s2二1m/s2，设1t41摩擦力为f，由牛顿第二定律得F-f二ma，后6s内物体的加速度为10—v—4 2 a= =——m/s2=—一m/s2•物体所受的摩擦力大小不变，由牛顿第二定律2t6 322得-f二ma,可求得水平恒力F的大小为F二m(a—a)二2x(1+―)N二3.3N2 1 2 3例12、质量为m=5kg的小物块在一个平行于斜面的拉力F=60N的作用下，从静止开始沿斜面向上滑动，如图所示.已知斜面的倾角a=37斜面足够长，物块与斜面间的动摩擦因数口=0.5，力F作用5s后立即撤去.(已知g=10m/s2, sin37°=0.6,cos