湖南省岳阳市县柏祥镇十步中学2021年高三数学文测试题含解析

湖南省岳阳市县柏祥镇十步中学2021年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设全集，集合，则

A．{2，4}

B．

C．

D．参考答案：C2.函数（其中＞0，＜的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象A.向右平移个单位长度

B.向左平移个单位长度C.向左平移个单位长度

D.向右平移个单位长度参考答案：D3.已知全集U＝R，集合，，则集合M，N的关系用韦恩（Venn）图可以表示为 （

）参考答案：B略4.在数列中，，若（为常数），则称为“等差比数列”.下列是对“等差比数列”的判断：①不可能为0

②等差数列一定是等差比数列

③等比数列一定是等差比数列

④等差比数列中可以有无数项为0其中正确的判断是

（

）A．①

B．①②③

C．③④

D．①④参考答案：D5.设函数，的零点分别为，则(

)A.

B.0＜＜1

C.1＜＜2

D.参考答案：B由题意知，，且，，即，，又，所以，因为，所以，，即，选B.6.某汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取这两种车型各50辆，分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表:

A型车

B型车出租天数34567车辆数330575出租天数34567车辆数101015105

根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系为（

）

A．

B． C．

D．无法判断参考答案：B略7.已知下列四个命题：：若直线和平面内的无数条直线垂直，则；：若，则，；：若，则，；：在△中，若，则．

其中真命题的个数是（A）1 （B）2

（C）3

（D）4参考答案：Bp1错误，因为无数条直线不一定是相交直线，可能是平行直线；p2正确；p3错误，因为由，得x＝0，故错误；p4正确，注意前提条件是在△中。8.已知等差数列的公差为，且，若，则等于A、

B、

C、

D、参考答案：答案:A解析：∵为等差数列∴

又∵

∴

；又∵

∴

故选A

9.已知为虚数单位，复数，与共轭，则等于(A)3

(B)

(C)

(D)5 参考答案：D考点：复数综合运算因为

故答案为：D10.若双曲线x=1（b＞0）的一条渐近线与圆x=1至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．（1，2] B．[2，+∞） C．（1，] D．[）参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】由已知得圆心（0，）到渐近线y=bx的距离：d=≥1，由此能求出双曲线的离心率的取值范围．【解答】解：圆x2+（y﹣）2=1的圆心（0，），半径r=1．∵双曲线x=1（b＞0）的一条渐近线y=bx与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，∴圆心（0，）到渐近线y=bx的距离：d=≥1，化为b2≤2．∴e2=1+b2≤3，∵e＞1，∴1＜e≤，∴该双曲线的离心率的取值范围是（1，]．故选：C．【点评】本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意圆、双曲线的性质的简单运用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，过圆外一点分别作圆的切线和割线交圆于,，且=7，是圆上一点使得=5，∠=∠,则=

参考答案：12.运行如图所示的算法框图，则输出的结果S=

。参考答案：13.B

（几何证明选做题）如图所示，圆O的直径AB=6,C为圆周上一点，BC=3,过C作圆的切线，则点A到直线的距离AD=

.

参考答案：略14.已知△ABC的边a，b，c的对角分别为A，B，C，若且，则角A的大小为_____.参考答案：【分析】根据正弦定理化简边角关系可得，从而可知，根据大边对大角的关系可知，从而可求得；根据三角形内角和可求得结果.【详解】由正弦定理得：，即

又

由得：，即

本题正确结果：【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、根据三角函数值的符号确定角的范围、三角形内角和、三角形大边对大角的应用等.

15.如下右图所示的是某班60名同学参加2011年高中数学毕业会考所得成绩（成绩均为整数）整理后画出的频率分布直方图，根据图中可得出的该班不及格（60分以下）的同学的人数为

参考答案：1516.已知向量，，且，则与的夹角为________．参考答案：【分析】先计算出，再求出，的坐标，计算出它们的夹角的余弦后可求夹角的大小.【详解】因为，故，所以，故，故，设与的夹角为，则，因，故，填.【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的等价条件是

17.函数的最小正周期为______________.

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）若曲线经过点，曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试求函数（为实常数，）的极大值与极小值之差；（Ⅲ）若在区间内存在两个不同的极值点，求证：.参考答案：19.如图，矩形中，，．，分别在线段和上，∥，将矩形沿折起．记折起后的矩形为，且平面平面．（1）求证：∥平面；（2）若，求证：；（3）求四面体体积的最大值．

参考答案：（1）证明：因为四边形，都是矩形，

所以∥∥，．

所以四边形是平行四边形，……………2分

所以∥，

………………3分

因为平面，所以∥平面．

………………4分（2）证明：连接，设．因为平面平面，平面平面且，平面所以平面，………………5分又平面，所以．……6分

又，所以四边形为正方形，所以．

…………7分

因，所以平面，

………………8分

又，所以．

………………9分

（3）解：设，则，其中．由（2）得平面，所以四面体的体积为．

…………11分所以．

………………13分当且仅当，即时，四面体的体积最大．

……………14分

20.设函数的定义域为集合，函数的定义域为集合．（1）求；（2）若，，求实数的取值范围．参考答案：（1）；（2）．试题分析：（1）本题求集合的交集，关键是求出两个集合，它们都是函数的定义域，由对数的真数大（2）若，则，恒成立；若时，要使成立，则解得．综上，，即实数的取值范围是．考点：集合的运算，集合的包含关系．21.（15分）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1、B2，（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的离心率为，直线l与椭圆相交于A、B两点，弦AB的中点为（，1），求直线l的方程；（3）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，且⊥，求直线l的方程．参考答案：【考点】：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（1）先得到c=1，根据Rt△F1OB1中∠B1F1O=30°便可得到，所以这样即可求出b，a，从而得出椭圆C的方程；（2）先由椭圆的离心率求出椭圆的方程，可设直线l的方程为y=kx+b，带入椭圆的方程便得到（3+4k2）x2+8kbx+4b2﹣12=0．设A（x1，y1）B（x2，y2），所以由韦达定理即可表示出AB中点的坐标，所以根据所给弦AB中点的坐标即可建立关于k，b的方程组，解方程组即得k，b，从而得出直线l的方程；（3）先由椭圆的短轴长得出椭圆的方程，设出直线l的方程为y=k（x﹣1），联立椭圆方程便得到（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则由韦达定理即可求出x1+x2，x1x2，y1y2，所以根据即可建立关于k的方程，解出k便可得到直线l的方程．解：（1）如图，根据已知条件可知：c=1，，b=；∴；∴椭圆C的方程为；（2）设直线l的方程为y=kx+b；由条件知，∴a=2，b2=4﹣1=3；∴椭圆C的方程为；将直线l的方程带入椭圆C的方程并整理得：（3+4k2）x2+8kbx+4b2﹣12=0；若设A（x1，y1），B（x2，y2）则：，；根据AB的中点坐标，所以：；解得；∴直线l的方程为；（3）由条件知b=1，a2=2，椭圆方程为；直线l过F2（1，0），方程可设为：y=k（x﹣1）；∴带入椭圆方程并整理得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0；若设P（x1，y1），Q（x2，y2），则：，，=；由条件得=（x1+1，y1）?（x2+1，y2）=x1x2+x1+x2+1+y1y2=；∴解得k=；∴直线l的方程为．【点评】：考查椭圆的焦点、短轴、离心率的概念，椭圆的标准方程，系数a，b，c的关系，以及韦达定理，中点坐标公式，直线的点斜式方程、斜截式方程，以及两非零向量垂直的充要条件，由点的坐标求向量的坐标．22.设函数．（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）设当时，，求实数a的取值范围．参考答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）试题分析：（Ⅰ）在证明不等式时一般可以通过等价变形将要证明的不等式简化，本题中注意到时，，于是有，即令只需证明即可；（Ⅱ）由时，恒成立，故.设，，．设，，则.当，即时，，时，，，故.所以单调递增，，故单调递增，恒成立，符合题意.当，即时，存在，时，，单调递减，，与恒