2022年江苏省南京市第八中学高三数学文测试题含解析

2022年江苏省南京市第八中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）（2015?临潼区校级模拟）f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足．对任意正数a，b，若a＜b，则必有（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】：利用导数研究函数的单调性．【专题】：导数的综合应用．【分析】：利用函数的导数，判断函数的单调性，然后推出结果．解：设函数y=，可得y′=，∵，∴函数y=在（0，+∞）上是减函数，对任意正数a，b，若a＜b，必有：．故选：C．【点评】：本题考查函数的单调性的判断，函数的导数的应用，考查计算能力．2.已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法错误的是（

）A．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b

B．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βC.若a⊥α，a⊥b，α∥β，则b∥β

D．若α∩β=a，a∥b，则b∥α或b∥β参考答案：C若，，则;若，则，，；若，，则而，则或；若，，则由线面平行判定定理得或；因此选C.

3.已知α、β都为锐角，且、，则α﹣β＝（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】由同角三角函数的关系以及两角和与差的公式即可求解.【详解】因为α、β都为锐角，且、，所以，，由，且α、β都为锐角，所以故选：C【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系以及两角和与差的正弦公式，属于基础题.4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的的外接球的体积是（）A.

B.

C.

D.参考答案：C5.放烟花是逢年过节一种传统庆祝节日的方式．已知一种烟花模型的三视图如图中的粗实线所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该烟花模型的表面积为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】利用三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是半径为2，高为3的圆柱，与半径为1，高为1的圆柱，以及底面半径为1，高为2的圆锥，组成的几何体．几何体的表面积为：2×4π﹣π+3×4π+2π×1+=（21+）π．故选：D．6.已知，是非零向量，且向量，的夹角为，若向量，则A．

B．

C．

D．参考答案：D7.函数f(x)＝log2(x>2)的最小值是()A．1

B．2C．3

D．4参考答案：B8.设P是双曲线上的点，是其焦点，且，若的面积是1,且，则双曲线的离心率为（

）A..2

B.

C.

D.参考答案：C9.已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝A．－4

B．－3

C．－2

D．－1参考答案：B10.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于()A．8

B．10

C．12

D．14参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若实数满足，则的最小值是

．参考答案：，得，（时取等号）．12.已知数列an=n2sin，则a1+a2+a3+…+a100=

．参考答案：﹣5000考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得an=，k∈N，由此能求出a1+a2+a3+…+a100．解答： 解：∵an=n2sin，，k∈N，∴an=，k∈N，∴a1+a2+a3+…+a100=1﹣32+52﹣72+92﹣112+972﹣992=﹣2（1+3+5+7+9+11+…+97+99）=﹣2×=﹣5000．故答案为：﹣5000．点评：本题考查数列的前100项和的求法，是中档题，解题时要注意三角函数的周期性的合理运用．13.若变量x，y满足条件，则目标函数z=2x+y的最小值为．参考答案：﹣3【考点】简单线性规划．【分析】首先画出平面区域，利用目标函数等于直线在y轴的截距得到最最优解位置，求得z的最小值．【解答】解：变量x，y满足的平面区域如图：目标函数z=2x+y变形为y=﹣2x+z，当此直线经过图中A时z最小，由得到A（﹣1，﹣1），所以z=2×（﹣1）﹣1=﹣3；故答案为﹣3；14.（5分）（2013?石景山区一模）在△ABC中，若，则∠C=．参考答案：∵b=a，∴根据正弦定理得sinB=sinA，又sinB=sin=，∴sinA=，又a＜b，得到∠A＜∠B=，∴∠A=，则∠C=．故答案为：15.函数f(x)＝在[2,3]上的最小值为________最大值为________．参考答案：16.若直线与直线垂直，则常数

．参考答案：17.在等差数列中，设数列的前项和为，则= 参考答案：设等差数列{an}的公差为d，依题意，三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.选修4—4参数方程与极坐标已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（t是参数）．若与C相交于两点，且．（1）求圆的普通方程，并求出圆心与半径；（2）求实数的值．参考答案：（1）曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为，圆心坐标为，半径．（2）直线的直角坐标方程为，则圆心到直线的距离所以，可得，解得或．19.（本题12分）已知函数.（1）求的最小正周期及最大值；（2）若,且，求的值.参考答案：（1）的最小正周期为，最大值为.（2）.（1）因为.即所以，的最小正周期为，最大值为.（2）因为，所以，.因为所以，所以，故.20.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为．

（Ⅰ）求圆的圆心到直线的距离；（Ⅱ）设圆与直线交于点．若点的坐标为（3，），求．参考答案：；（Ⅱ）考点：参数方程试题解析：（Ⅰ）由得，即

由得

所以

（Ⅱ）将的参数方程代入圆的直角坐标方程，得

即，由于

故可设是上述方程的两实根，所以，又直线过点，故由上式及的几何意义得：21.已知：三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均为2，平面ABC⊥平面AA1C1C，∠A1AC＝60°．（1）求证：B1C⊥平面A1BC1；（2）求二面角B1－A1B－C1的大小；

（3）设O是线段A1C的中点，P是△ABC内部及边界上的一动点，使OP//平面A1BC1，试指出动点P的轨迹图形是什么？请说明你的理由.

参考答案：解析：（1）证明：取A1C1的中点M，连CM、B1M∵三棱柱ABC－A1B1C1∴各棱长均相等，∠A1AC＝60°∴△A1CC1与△A1B1C1都是等边三角形∴∵平面ABC⊥平面AA1C1C，∴平面A1B1C1⊥平面AA1C1C∴B1M⊥平面AA1C1C，由三垂线定理得：B1C⊥A1C1又∵四边形BCC1B1是菱形，∴B1C⊥BC1而∴B1C⊥平面A1BC1（2）连AB1与A1B交于G点，设B1C与BC1交于H点，连GH，则GH取AC的中点N，连BN，A1N，可证AC⊥A1B∴GH⊥A1B又∵四边形AA1B1B是菱形∴AB1⊥A1B∴∠B1GH就是所求二面角的平面角由（1）知A1C1⊥B1C∴GH⊥B1C设A1C1＝a，则∴即所求二面角的大小为（3）取AB的中点F，BC的中点K，连OF，OK，连AC1必过O点，且O为AC1的中点，则OF//BC1∴OF//平面A1BC1∵∴平面OFK//平面A1BC1在线段FK上（含端点）任取一点P，连OP，则OP//平面A1BC1而过平面A1BC1外一点O只能作出一个平面与其平行因此，点P的轨迹就是线段FK法二：取AC的中点E，连BE，EA1∵三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长相等，且∠A1AC＝60°∴△ABC与△AA1C为正三角形∴BE⊥AC，A1E⊥AC∵平面ABC⊥平面AA1C1C∴BE⊥平面AA1C1C以E为坐标原点，EA为x轴，EA1为y轴，EB为z轴，建立如右图所示的空间坐标系，设AB＝2则（1）∵又∴且∴平面（2）设是平面AA1B的法向量则取同理可求平面A1BC1的法向量∴即所求的二面角的大小为22.（本题满分14分）

已知四棱锥底面是直角梯形，，且与平行，，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且二面角为直二面角．（1）求证：平面；