湖南省娄底市涟源第七中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试题含解析

湖南省娄底市涟源第七中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合，则A∩B=（

）A．{1,2,3}

B．{0,1}

C．{0,1,2}

D．{0,1,2,3}参考答案：B2.按流程图的程序计算，若开始输入的值为x=3，则输出的x的值是（）A．6 B．21 C．156 D．231参考答案：D【考点】程序框图．【分析】根据程序可知，输入x，计算出的值，若≤100，然后再把作为x，输入，再计算的值，直到＞100，再输出．【解答】解：∵x=3，∴=6，∵6＜100，∴当x=6时，=21＜100，∴当x=21时，=231＞100，停止循环则最后输出的结果是231，故选D．3.设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{1,3,5}，则N∩(?UM)＝()A．{1,3}B．{1,5}

C．{3,5}

D．{4,5}参考答案：C4.在锐角△ABC中，∠A=，∠BAC的平分线交边BC于点D，|AD|=1，则△ABC面积的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，） D．[，）参考答案：D【考点】正弦定理．【分析】根据余弦定理和角平分线定理，求出△ABC是正三角形时面积取得最小值，当AB⊥BC时，△ABC面积取得最大值，由此求出结果．【解答】解：如图所示，锐角△ABC中，∠A=，∠BAC的平分线交边BC于点D，|AD|=1，根据余弦定理，BD2=c2+1﹣2c?cos=c2﹣c+1，CD2=b2+1﹣2b?cos=b2﹣b+1；根据角平分线定理，=，即=；∴b2c2﹣b2c+b2=b2c2﹣bc2+c2，即bc（c﹣b）=（c﹣b）（c+b）；当b=c时，△ABC是正三角形，由|AD|=1，得AB=AC=，则S△ABC=bcsin=；当b≠c时，bc=b+c≥2，当且仅当b=c时“=”成立，所以bc≥，即b=c=时S△ABC取得最小值为；又当AB⊥BC时，BD=，AB=，DC=AD=1，S△ABC=××（1+）=为最大值，△ABC面积的取值范围是[，]．故选：D．5.（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形．若该几何体的体积为V，并且可以用n个这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则V，n的值是（）A．V=32，n=2B．C．D．V=16，n=4参考答案：B【分析】由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，再根据公式求解即可．【解答】解：由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，所以V=，边长为4的正方体V=64，所以n=3．故选B【点评】本题考查学生的空间想象能力，是基础题．6.已知集合P={x|x2﹣x﹣2≤0}，Q={x|log2（x﹣1）≤1}，则（?RP）∩Q等于（）A． B．（﹣∞，﹣1]∪ D．（﹣∞，﹣1]∪（3，+∞）参考答案：C考点： 交、并、补集的混合运算．专题： 函数的性质及应用；集合．分析： 由一元二次不等式的解法求出集合P，由对数函数的性质求出集合Q，再由补集、交集的运算分别求出?RP和（?RP）∩Q．解答： 解：由x2﹣x﹣2≤0得，﹣1≤x≤2，则集合P={x|﹣1≤x≤2}，由log2（x﹣1）≤1=得0＜x﹣1≤2，解得1＜x≤3，则Q={x|1＜x≤3}所以?RP={x|x＜﹣1或x＞2}，且（?RP）∩Q={x|2＜x≤3}=（2，3]，故选：C．点评： 本题考查交、并、补集的混合运算，以及对数不等式的解法，属于基础题．7.下列函数中，图象关于原点对称且单调递增的是（A） （B）（C） （D）参考答案：D【命题意图】本小题主要考查函数的图象与奇偶性、单调性、定义域等基础知识；考查学生的运算求解能力；考查数形结合思想、特殊与一般思想；考查数学抽象、直观想象和数学运算等.【试题简析】A选项：，不符合图象上升这个条件；B选项：定义域不关于原点对称；C选项函数图象先减后增，在时函数取得最小值；故选D【错选原因】错选A：符合图象关于原点对称这个条件；错选B：有的学生可能会通过各种方法判断函数的单调性，却忽略了定义域不关于原点对称；错选C：有的学生可能根据函数过而错选此项.8.若函数的图象关于直线及直线对称，且时，，则

(

)（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B略9.为了得到函数的图象，可以把函数的图象A．向左平移3个单位长度

B．向右平移3个单位长度 C．向左平移1个单位长度

D．向右平移1个单位长度参考答案：D10.已知，在正方形内任意取一点，该点在六边形内的概率为A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题评分）

A．（不等式选讲）已知函数．若关于x的不等式的解集是R，则m的取值范围是

参考答案：12.已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，一定点为A（1，2），要使过A点作圆的切线有两条，则a的取值范围为________参考答案：13.已知双曲线的两条渐近线均与相切，则该双曲线离心率等于

．参考答案：略14.已知某个几何体的三视图如下图（主视图的弧线是半圆），可得这个几何体的体积是

.

参考答案：15.（正四棱锥与球体积选做题）棱长为1的正方体的外接球的体积为________．参考答案：16.若，则的大小关系是______参考答案：试题分析：又考点：指数函数、对数函数的性质17.已知一个几何体的三视图及其长度如图所示，则该几何体的体积为

.

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，，．⑴求函数的单调区间；⑵记函数，当时，在上有且只有一个极值点，求实数的取值范围；⑶记函数，证明：存在一条过原点的直线与的图象有两个切点．参考答案：（1）因为，①若，则，在上为增函数，…………2分②若，令，得，当时，；当时，．所以为单调减区间，为单调增区间．

综上可得，当时，为单调增区间，当时，为单调减区间，为单调增区间．……………4分（2）时，，，……………………5分在上有且只有一个极值点，即在上有且只有一个根且不为重根，由得，………6分（i），，满足题意；…………7分（ii）时，，即；………8分（iii）时，，得，故；综上得：在上有且只有一个极值点时，．……………9分注：本题也可分离变量求得．（3）证明：由（1）可知：（i）若，则，在上为单调增函数，所以直线与的图象不可能有两个切点，不合题意．……10分（ⅱ）若，在处取得极值．若，时，由图象知不可能有两个切点．…………11分故，设图象与轴的两个交点的横坐标为（不妨设），则直线与的图象有两个切点即为直线与和的切点．，，设切点分别为，则，且，，，即，

①，②，③①-②得：，由③中的代入上式可得：，即，……………14分令，则，令，因为，，故存在，使得，即存在一条过原点的直线与的图象有两个切点．……16分19.已知椭圆的左右焦点分别为和，由4个点，，和组成了一个高为，面积为的等腰梯形.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线和椭圆交于两点，求面积的最大值.参考答案：（Ⅰ）由条件，得，且，∴.又，解得，.∴椭圆的方程.（Ⅱ）显然，直线的斜率不能为0，设直线方程为，直线与椭圆交于，，联立方程，消去得，.∵直线过椭圆内的点，无论为何值，直线和椭圆总相交.∴，.∴.令，设，易知时，函数单调递减，函数单调递增，∴当，设时，，的最大值为3.20.（本小题满分12分）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回的随机抽取两张卡片，记第一次抽取卡片的标号为，第二次抽取卡片的标号为.设为坐标原点，点的坐标为记.（Ⅰ）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；（Ⅱ）求随机变量的分布列和数学期望.参考答案：略21.在△ABC中，角A、B、C所对应的边为a，b，c（1）若，求A的值；（2）若，且△ABC的面积，求sinC的值．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）已知等式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后求出tanA的值，即可确定出A的度数；（2）法1：由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，利用三角形面积公式表示出三角形ABC面积，将已知面积与sinA的值代入得到b=3c，再利用余弦定理列出关系式，将b=3c及cosA的值代入得到a=2c，最后利用正弦定理即可求出sinC的值；法2：由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，利用三角形面积公式表示出三角形ABC面积，将已知面积与sinA的值代入得到b=3c，再利用余弦定理列出关系式，将b=3c及cosA的值代入得到a=2c，最后利用余弦定理及锐角三角函数定义即可求出sinC的值．【解答】解：（1）∵cos（﹣A）=2cosA，即cosA+sinA=2cosA，∴sinA=3cosA，即tanA=，∵0＜A＜π，∴A=；（2）法1：∵cosA=，且A为三角形内角，∴sinA==，∵S=c2=bcsinA=bc，∴b=3c，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=9c2+c2﹣2c2=8c2，∴a=2c，由正弦定理得=，即=，得到sinC===；法2：∵cosA=，且A为三角形内角，∴sinA==，∵S=c2=bcsinA=bc，∴b=3c，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=9c2+c2﹣2c2=8c2，∴a=2c，∵a2+c2=8c2+c2=9c2=b2，∴△ABC是Rt△，角B为直角，∴sinC==．22.如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PF=FA．（1）求证：平面PAC⊥平面BEF；（2）求平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值．参考答案：考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．专题：综合题．分析：（1）证明AC⊥平面PBC，可得AC⊥BE，又BE⊥PC，可得BE⊥平面PAC，从而可得平面PAC⊥平面BEF；（2）取AF的中点G，AB的中点M，连接CG，CM，GM，证明平面CMG∥平面BEF，则平面CMG与平面平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）．解答：（1）证明：∵PB⊥底面ABC，且AC?底面ABC，∴AC⊥PB，由∠BCA=90°，可得AC⊥CB，又∵PB∩CB=B，∴AC⊥平面PBC，∵BE?平面PBC，∴AC⊥BE，∵PB=BC，E为PC中点，∴BE⊥PC，∵AC∩PC=C，∴BE⊥平面PAC，∵BE?平面BEF，∴平面PAC⊥平面BEF；（2）解：取AF的中点G，AB的中点M，连接CG，CM，GM，∵E为PC的中点，2PF=AF，∴EF∥CG，∵CG?平面BEF，EF?平面BEF，∴CG∥平面BEF．同理可证：GM∥平面BEF，∵CG∩GM=G，∴平面CMG∥平面BEF．则平面CMG与平面平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐