湖南省湘潭市涟滨实验学校高三数学文期末试题含解析

湖南省湘潭市涟滨实验学校高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的值域为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D2.已知集合，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D3.若，且，则为（

）

A. B. C. D.参考答案：D略4.设非零实数满足，则下列不等式中一定成立的是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D5.已知向量，满足，，则（

）A.4 B.3 C.2 D.1参考答案：B【分析】根据向量的数量积公式计算即可．【详解】向量，满足，，则，故选：B．【点睛】本题考查向量的数量积公式，属于基础题6.已知函数y=Asin（ωx+φ）+m的最大值为4，最小值为0，两个对称轴间的最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式是（） A． B． C． D． 参考答案：B【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【分析】由题意可得A+m=4，A﹣m=0，解得A和m的值，再根据周期求出ω，根据函数图象的对称轴及φ的范围求出φ，从而得到符合条件的函数解析式． 【解答】解：由题意m=2．A=±2， 再由两个对称轴间的最短距离为，可得函数的最小正周期为π可得，解得ω=2， ∴函数y=Asin（ωx+φ）+m=±2sin（2x+φ）+2． 再由是其图象的一条对称轴，可得+φ=kπ+，k∈z，即φ=kπ，故可取φ=， 故符合条件的函数解析式是y=﹣2sin（2x+）+2， 故选B 【点评】本题主要考查利用y=Asin（ωx+?）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+?）的部分图象求解析式，属于中档题． 7.已知，且，则实数的值为A．

B．

C． D．参考答案：C略8.椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点为F1，若椭圆上存在一个点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【分析】设线段PF1的中点为M，另一个焦点F2，利用OM是△FPF2的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形OMF1的三边之长，使用勾股定理求离心率．【解答】解：设线段PF1的中点为M，另一个焦点F2，由题意知，OM=b，又OM是△FPF1的中位线，∴OM=PF2=b，PF2=2b，由椭圆的定义知

PF1=2a﹣PF2=2a﹣2b，又MF1=PF1=（2a﹣2b）=a﹣b，又OF1=c，直角三角形OMF1中，由勾股定理得：（a﹣b）2+b2=c2，又a2﹣b2=c2，可得2a=3b，故有4a2=9b2=9（a2﹣c2），由此可求得离心率e==，故选：D．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用离心率公式和椭圆的定义：椭圆上任一点到两个焦点的距离之和等于常数2a．9.复数为纯虚数，则实数a的值为（

） A．1

B．-1 C．2

D．-2参考答案：C10.已知为等式数列，若，则的值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（文）已知向量则的最大值为_________．参考答案：3，所以当时，有最大值，所以的最大值为3.12.若直线平面，直线，则与的位置关系是_____________.参考答案：略13.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为_______.

参考答案：14.已知单位向量α，β，满足|α＋3β|＝|2α－β|，则α与β的夹角为______．参考答案：

略15.某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如下图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是

参考答案：60016.的展开式中，常数项是

．参考答案：617.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根棉花纤维中，有

根的长度小于20mm.参考答案：30三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知指数函数满足：，定义域为的函数是奇函数.（1）确定的解析式；（2）求的值；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．参考答案：解：（1）设,则，a=2,，（2）由（1）知：，因为是奇函数，所以=0，即∴，又，；

（3）由（2）知，易知在R上为减函数.

又因是奇函数，从而不等式：

等价于=，因为减函数，由上式得：,

即对一切有：，从而判别式略19.某单位准备购买三台设备，型号分别为A、B、C已知这三台设备均使用同一种易耗品，提供设备的商家规定：可以在购买设备的同时购买该易耗品，每件易耗品的价格为100元，也可以在设备使用过程中，随时单独购买易耗品，每件易耗品的价格为200元.为了决策在购买设备时应购买的易耗品的件数.该单位调查了这三种型号的设备各60台，调査每台设备在一个月中使用的易耗品的件数，并得到统计表如下所示.每台设备一个月中使用的易耗品的件数678

型号A30300频数型号B203010

型号C04515

将调查的每种型号的设备的频率视为概率，各台设备在易耗品的使用上相互独立.（1）求该单位一个月中A、B、C三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率；（2）以该单位一个月购买易耗品所需总费用的期望值为决策依据，该单位在购买设备时应同时购买20件还是21件易耗品？参考答案：（1）（2）应该购买21件易耗品【分析】（1）由统计表中数据可得型号分别为A、B、C在一个月使用易耗品的件数为6,7,8时的概率,设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X,则,利用独立事件概率公式进而求解即可；（2）由题可得X所有可能的取值为,即可求得对应的概率,再分别讨论该单位在购买设备时应同时购买20件易耗品和21件易耗品时总费用的可能取值及期望,即可分析求解.【详解】（1）由题中的表格可知A型号的设备一个月使用易耗品的件数为6和7的频率均为；B型号的设备一个月使用易耗品的件数为6,7,8的频率分别为；C型号的设备一个月使用易耗品的件数为7和8的频率分别为；设该单位一个月中三台设备使用易耗品的件数分别为,则,,,设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X,则而,,故,即该单位一个月中三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率为.（2）以题意知,X所有可能的取值为；；；由（1）知,,若该单位在购买设备的同时购买了20件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为元,则的所有可能取值为,；；；；；若该单位在肋买设备的同时购买了21件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为元,则的所有可能取值为,；；；；,所以该单位在购买设备时应该购买21件易耗品【点睛】本题考查独立事件的概率,考查离散型随机变量的分布列和期望,考查数据处理能力.20.已知函数是奇函数，（1）求的值；（2）若，求的值.参考答案：(1)因为为奇函数，所以对定义域内任意，都有即，由条件知，所以(2)因为为奇函数，所以,令，则

所以略21.（13分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1，曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线为l（Ⅰ）若直线l的斜率为﹣3，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数是f（x）区间[﹣2，a]上的单调函数，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】转化思想；分类法；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由条件可得a=﹣3，由导数大于0，可得增区间，由导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由题意可得当函数在[﹣2，a]递增（或递减），即有f′（x）≥0（或≤0）对x∈[﹣2，a]成立，只要f′（x）=x2+2x+a在[﹣2，a]上的最小值（或最大值）大于等于0即可．求出二次函数的对称轴，讨论区间[﹣2，a]和对称轴的关系，求得最小值（或最大值），解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）因为f（0）=1，所以曲线y=f（x）经过点（0，1），又f′（x）=x2+2x+a，曲线y=f（x）在点（0，1）处切线的斜率为﹣3，所以f′（0）=a=﹣3，所以f′（x）=x2+2x﹣3．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，﹣3）﹣3（﹣3，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）增极大值减极小值减所以函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣3），（1，+∞），单调递减区间为（﹣3，1）；（Ⅱ）因为函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调，①当函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递减时，f′（x）≤0对x∈[﹣2，a]成立，即f′（x）=x2+2x+a≤0对x∈[﹣2，a]成立，根据二次函数的性质，只需要，解得﹣3≤a≤0．又a＞﹣2，所以﹣2＜a≤0；②当函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递增，所以f′（x）≥0对x∈[﹣2，a]成立，只要f′（x）=x2+2x+a在[﹣2，a]上的最小值大于等于0即可．因为函数f′（x）=x2+2x+a的对称轴为x=﹣1，当﹣2≤a≤﹣1时，f′（x）在[﹣2，a]上的最小值为f′（a），解f′（a）=a2+3a≥0，得a≥0或a≤﹣3，所以此种情形不成立；当a＞﹣1时，f′（x）在[﹣2，a]上的最小值为f′（﹣1），解f′（﹣1）=1﹣2+a≥0得a≥1，所以a≥1，综上，实数a的取值范围是﹣2＜a≤0或a