广东省揭阳市古溪中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析

广东省揭阳市古溪中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将8个参赛队伍通过抽签分成A、B两组，每组4队，其中甲、乙两队恰好不在同组的概率为(

)A、

B、

C、

D、参考答案：A2.在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜边AB上的高为h1，则=+；类比此性质，如图，在四面体P﹣ABC中，若PA，PB，PC两两相垂直，底面ABC上的高为h，则得到的正确结论为（）A．=++

B．=++C．=++ D．=++参考答案：B【考点】F3：类比推理．【分析】直角三角形的斜边上的高，可以类比到两两垂直的三棱锥的三条侧棱和过顶点向底面做垂线，垂线段的长度与三条侧棱之间的关系与三角形中的关系类似．【解答】解：由平面类比到空间，是常见的一种类比形式，直角三角形的斜边上的高，可以类比到两两垂直的三棱锥的三条侧棱和过顶点向底面做垂线，垂线段的长度与三条侧棱之间的关系与三角形中的关系类似：=++，故选：B【点评】本题考查类比推理，是一个平面图形与空间图形之间的类比，注意两个图形中的条件的相似的地方．3.双曲线的右焦点的坐标为

（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：C4.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是 A、

B、C、

D、参考答案：D5.若{an}为等比数列，且2a4＝a6－a5，则公比是

(

)A．0

B．1或－2

C．－1或2

D．－1或－2参考答案：C6.若等于（

） 一 A． B． C． D．参考答案：A略7.已知等差数列的公差为3，若成等比数列，则等于

A． B． C． D．参考答案：D8.抛物线的准线方程是，则a的值为 （A） （B） （C） （D）参考答案：B9.数4557，1953，5115的最大公约数是

（

）

A.31

B.93

C．217 D．651参考答案：B10.一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P,直线PF1（为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为 （

）A． B． C． D． 参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数（，为常数），当时，函数有极值，若函数有且只有三个零点，则实数的取值范围是

．参考答案：12.P为椭圆上一点，F1、F2为左右焦点，若∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】先利用椭圆定义求出|PF1|+|PF2|和|F1F2|的值，因为知道焦点三角形的顶角，利用余弦定理求出|PF1||PF2|的值，再代入三角形的面积公式即可．【解答】解：由椭圆方程可知，a=5，b=3，∴c=4∵P点在椭圆上，F1、F2为椭圆的左右焦点，∴|PF1|+|PF2|=2a=10，|F1F2|=2c=8在△PF1F2中，cos∠F1PF2=====cos60°=∴72﹣4|PF1||PF2|=2|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|=12又∵在△F1PF2中，=|PF1||PF2|sin∠F1PF2∴=×12sin60°=3故答案为313.设短轴长为的椭圆C:和双曲线的离心率互为倒数，过定圆E上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线，且与椭圆的公共点都只有一个的圆的方程为

．参考答案：14.给出平面区域为图中四边形ABOC内部及其边界，目标函数为z=ax﹣y，若当且仅当x=1，y=1时，目标函数z取最小值，则实数a的取值范围是． 参考答案：【考点】简单线性规划． 【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；不等式的解法及应用． 【分析】根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，z=ax﹣y表示直线在y轴上的截距的相反数，a表示直线的斜率，只需求出a取值在什么范围时，直线z=ax﹣y在y轴上的截距最优解在点A处即可． 【解答】解：由可行域可知，直线AC的斜率==﹣1， 直线AB的斜率==﹣， 当直线z=ax﹣y的斜率介于AC与AB之间时， A（1，1）是该目标函数z=ax﹣y的唯一最优解， 所以﹣1＜a＜﹣ 故答案为：． 【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法反求参数的范围，属于中档题．解答的关键是根据所给区域得到关于直线斜率的不等关系，这是数学中的数形结合的思想方法． 15.把13个相同的球全部放入编号为1、2、3的三个盒内，要求盒内的球数不小于盒号数，则不同的放入方法种数为

（

）A．36

B.

45

C.66

D.78

参考答案：A16.对一块边长为1的正方形进行如下操作：第一步，将它分割成3×3方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成如图①所示的几何图形，其面积S1=；第二步，将图①的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图②；依此类推，到第n步，所得图形的面积Sn=（）n．若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则（Ⅰ）当n=1时，所得几何体的体积V1=

．（Ⅱ）到第n步时，所得几何体的体积Vn=

．参考答案：，【考点】归纳推理．【分析】类比正方形求面积，可得正方体求体积，得出所有体积构成以为首项，为公比的等比数列，从而可得结论．【解答】解：推广到棱长为1的正方体中，第一步，将它分割成3×3×3个正方体，其中心和八个角的9个小正方体，其体积为=，第二步，执行同样的操作，其体积为（）2，…依此类推，到第n步，所有体积构成以为首项，为公比的等比数列，∴到第n步，所得几何体的体积Vn=（）n=，故答案为，17.函数f(x)=(ln2)log2x－5xlog5e(其中e为自然对数的底数)的导函数为_______参考答案：－5x

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1上存在4个点到直线x+y﹣m=0（m∈R）的距离等于1﹣．（1）求m的取值范围；（2）判断圆C与圆D：x2+y2﹣2mx=0的位置关系．参考答案：（1）依题意可知，圆上点到直线的距离应大于………………2分

圆心到直线的距离为…3分

∴…5分

解得…6分（2）圆的圆心为，半径为…………7分∵圆心距，半径差的绝对值为，半径和为………9分

显然，……11分∴圆与圆相交……12分19.（本小题满分12分）新建的荆州中学拟模仿图甲建造一座体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线是以点为圆心的圆的一部分，其中单位：米；曲线是抛物线的一部分；，且恰好等于圆的半径．假定拟建体育馆的高米．（Ⅰ）若要求米，米，求与的值；（Ⅱ）若，将的长表示为点的纵坐标的函数，并求的最大值．并求的最大值．(参考公式：若，则，其中为常数)参考答案：（1）由已知有圆的方程为

……2分令得

又

即在抛物线上

……4分(2)由题意得

圆的方程为令得

由

得

又

……8分令

得

当时，

递增当时，

递减

……10分故时

……12分20.（本小题满分12分）吸烟的危害很多，吸烟产生的烟雾中有近2000种有害物质，如尼古丁、氰氢酸、氨、一氧化碳、二氧化碳、吡啶、砷、铜、铅等，还有40多种致癌物，如苯并芘、朕苯胺及煤焦油等。它们随吸烟者吞咽烟雾时进入体内，对机体产生危害。为了解某市心肺疾病是否与吸烟有关,某医院随机对入院的50人进行了问卷调查,得到了如下的列联表.

患心肺疾病不患心肺疾病合计吸烟患者20525不吸烟患者101525合计302050

(Ⅰ)用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽3人,其中吸烟患者抽到多少人?(Ⅱ)在上述抽取的3人中选2人,求恰有一名不吸烟患者的概率;（Ⅲ）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与吸烟有关?附:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考答案：(Ⅰ)在患心肺疾病人群中抽3人,则抽取比例为,∴吸烟患者应该抽取人；

4分(Ⅱ)在上述抽取的3名患者中,吸烟患者有2人,记为：；不吸烟患者1人，记为c.则从3名患者任取2名的所有情况为:、、共3种情况.

其中恰有1名不吸烟患者情况有:、,共2种情况.故上述抽取的3人中选2人,恰有一名不吸烟患者的概率概率为.

8分Z(Ⅲ)∵,且,所以有的把握认为是否患心肺疾病与吸烟有关系。

12分21.（本小题满分12分）已知，设命题函数在上单调递减，命题设函数，且函数恒成立，若为假，为真，求的范围.参考答案：解：（本小题满分12分）若是真命题，则，…………2分若是真命题，则

…………………6分为假，为真，则一真一假，若真假，则，若假真，则，………………10分可知

………………12分略22.（12分）（1）设a，b是两个不相等的正数，若+=1，用综合法证明：a+b＞4（2）已知a＞b＞c，且a+b+c=0，用分析法证明：＜．参考答案：【考点】综合法与分析法(选修）．【分析】（1）利用综合法进行证明即可．（2）利用分析法进行证明．【解答】解：（1）因为a＞0，b＞0，且a≠b，