陕西省咸阳市叱干中学高三数学理上学期期末试卷含解析

陕西省咸阳市叱干中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出的是

（

）（A）且

（B）且（C）且

（D）且参考答案：C2.某地区共有10万户居民，该地区城市住户与农村住户之比为4：6，根据分层抽样方法，调查了该地区1000户居民冰箱拥有情况，调查结果如下表所示，那么可以估计该地区农村住户中无冰箱的总户数约为（）

城市农村有冰箱356（户）440（户）无冰箱44（户）160（户）

A．1.6万户B．4.4万户C．1.76万户D．0.24万户参考答案：A考点：分层抽样方法．.专题：常规题型．分析：先做出在抽查的1000户住户中，农村住户且没有冰箱的住户所占的比例，用这个地区10万户居民，乘以做出的农村没有冰箱的所占的比例，得到结果．解答：解：∵在1000户住户中，农村住户无有冰箱的有160户，∴在所有居民中农村五冰箱的住户所占的比例是∴由分层抽样按比例抽取可得×100000=16000．故选A点评：本题考查分层抽样，分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等．3.若集合A={x|}，B={x||x|＜3}，则集合A∪B为（）A．{x|﹣5＜x＜3} B．{x|﹣3＜x＜2} C．{x|﹣5≤x＜3} D．{x|﹣3＜x≤2}参考答案：C【考点】并集及其运算．【分析】分别化简集合A，B，再由并集的含义即可得到．【解答】解：集合={x|﹣5≤x＜2}，B={x||x|＜3}={x|﹣3＜x＜3}，则A∪B={x|﹣5≤x＜3}．故选：C．4.下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是（）A．an=n2﹣n+1 B．an= C．an= D．an=参考答案：C【考点】数列递推式．【分析】由图中所给的星星个数：1，1+2，1+2+3，…，1+2+3+…+n；得出数列第n项，即通项公式．【解答】解析：从图中可观察星星的构成规律，n=1时，有1个；n=2时，有3个；n=3时，有6个；n=4时，有10个；∴an=1+2+3+4+…+n=．答案：C【点评】这是一个简单的自然数求和公式，由观察得出猜想，一般不需要证明．考查学生的观察猜想能力．5.复数的虚部是 A．i

B．1

C．－i

D．－1参考答案：B6.已知函数若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．参考答案：试题分析：函数的图象如图所示.直线过定点，设其与相切于点，对求导数得，，由得，，即为切点，此时直线的斜率为；当直线经过点时，直线的斜率为，故选.考点：1.导数的几何意义；2.函数的图象；3.函数与方程.7.已知数列是等差数列，且，则的值为A．B．C．D．参考答案：A略8.在下面四个图中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图象，则f(－1)等于()A. B.－C. D.－或参考答案：B9.对于函数，“的图像关于y轴对称”是“是奇函数”的（

）A

充分而不必要条件

B必要而不充分条件C充要条件

D既不充分也不必要条件参考答案：B略10.已知平面向量，，且，则（

）（A）

（B）

（C）5

（D）参考答案：D试题分析：由得，，，故选D.考点：向量的线性运算；向量的数量积.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数，则＝

.参考答案：2π＋212.已知等比数列的公比为2，且前四项之和等于1，则前8项之和等于

.参考答案：1713.函数在区间上为减函数，则的取值范围为

参考答案：14.已知实数、满足，则－3的最大值是____．参考答案：-115.已知变量满足约束条件，则目标函数的最小值为____．参考答案：-116.高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设x∈R，用表示不超过x的最大整数，并用{x}=x﹣表示x的非负纯小数，则y=称为高斯函数，已知数列{an}满足：，则a2017=．参考答案：【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】由于：，经过计算可得：数列{a2k﹣1}成等差数列，首项为，公差为3．即可得出．【解答】解：满足：，∴a2=1+=2+．a3=2+=3+=4+（﹣1），a4=4+=5+，a5=5+=6+=7+（﹣1）．a6=7+=8+，a7=8+=9+=10+（﹣1），…，可得：数列{a2k﹣1}成等差数列，首项为，公差为3．则a2017=+3×（1009﹣1）=3024+．故答案为：．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.函数的值域为__________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”。若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程.（2）点是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点作直线使得与椭圆都只有一个交点，且分别交其“准圆”于点，求证：为定值.参考答案：（Ⅰ），椭圆方程为准圆方程为。

（Ⅱ）①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为，当方程为时，此时与准圆交于点，此时经过点（或）且与椭圆只有一个公共点的直线是（或），即为（或），显然直线垂直；同理可证方程为时，直线垂直.

②当都有斜率时，设点，其中.设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，则消去，得.由化简整理得：因为，所以有.设的斜率分别为，因为与椭圆只有一个公共点，所以满足上述方程，所以，即垂直.

综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直，所以线段为准圆的直径，所以=4.19.（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面为平行四边形。

底面

。（I）证明：（II）设，求棱锥的高。参考答案：解：（Ⅰ）因为,由余弦定理得

从而BD2+AD2=AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD.

故PABD（Ⅱ）过D作DE⊥PB于E，由（I）知BC⊥BD,又PD⊥底面，所以BC⊥平面PBD，而DE平面PBD，故DE⊥BC,所以DE⊥平面PBC由题设知PD=1，则BD=,PB=2，由DE﹒PB=PD﹒BD得DE=,即棱锥的高为略20.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）解析式；（2）若f（x0）=（＜x0＜），求cos2x0的值．参考答案：考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）由图象可知A，T，由周期公式可求ω，由sin（2×+φ）=1，又|φ|＜，可求φ，即可求得函数f（x）解析式．（2）由f（x0）=，可求sin（2x0+）=，又＜x0＜，则可求cos（2x0+），由两角差的余弦函数公式即可求值．解答： 解：（1）由图象可知A=1，周期T=2（）=2×=π，所以ω==2，…3分sin（2×+φ）=1，又|φ|＜，则φ=．所以f（x）=sin（2x+）…6分（2）因为f（x0）=，所以sin（2x0+）=，又＜x0＜，则2x0+＜π，可得：cos（2x0+）=﹣=﹣…9分所以cos2x0=cos=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=﹣=…12分点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，两角差的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．21.（12分）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．参考答案：解：（1）设，则.当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.又，故在存在唯一零点.所以在存在唯一零点.（2）由题设知，可得a≤0.由（1）知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.又，所以，当时，.又当时，ax≤0，故.因此，a的取值范围是.

22.在直角坐标系xoy上取两个定点A1（﹣2，0），A2（2，0），再取两个动点N1（0，m），N2（0，n），且mn=3．（1）求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程；（2）已知点A（1，t）（t＞0）是轨迹M上的定点，E，F是轨迹M上的两个动点，如果直线AE的斜率kAE与直线AF的斜率kAF满足kAE+kAF=0，试探究直线EF的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由．参考答案： 解：（1）依题意知直线A1N1的方程为：①﹣﹣﹣（1分）直线A2N2的方程为：②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）设Q（x，y）是直线A1N1与A2N2交点，①×②得由mn=3整理得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∵N1，N2不与原点重合∴点A1（﹣2，0），A2（2，0）不在轨迹M上﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴轨迹M的方程为（x≠±2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（2）∵点A（1，t）（t＞0）在轨迹M上∴解得，即点A的坐标为﹣﹣（8分）设kAE=k，则直线AE方程为：，代入并整理得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）设E（xE，yE），F（xF，yF），∵点在轨迹M上，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣③，④﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）又kAE+kAF=0得kAF=﹣k，将③、④式中的k代换成﹣k，可得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴直线EF的斜率∵∴即直线EF的斜率为定值，其值为﹣﹣﹣（14分）考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题： 综合题．分析： （1）先分别求直线A1N1与A2N2的方程，进而可得，利用mn=3，可以得，又点A1（﹣2，0），A2（2，0）不在轨迹M上，故可求轨迹方程；（2）先求点A的坐标，将直线AE的方程代入并整理，利用kAE+kAF=0得kAF=﹣k，从而可表示直线EF的斜率，进而可判断直线EF的斜率为定值．解答： 解：（1）依题意知直线A1N1的方程为：①﹣﹣﹣（1分）直线A2N2的方程为：②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）设Q（x，y）是直线A1N1与A2N2交点，①×②得由mn=3整理得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∵N1，N2不与原点重合∴点A1（﹣2，0），A2（2，0）不在轨迹M上﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴轨迹M的方程为（x≠±2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（2）∵点A（1，t）（t＞0）在轨迹M上∴解得，即点A的坐标为﹣﹣（8分）设kAE=k，则直线AE方程为：，代入