浙江省宁波市慈溪三山中学2022年高三数学理月考试题含解析

浙江省宁波市慈溪三山中学2022年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.抽气机每次抽出容器内空气的％，要使容器内剩下的空气少于原来的％，则至少要抽（参考数据：，）

（）

A．次

B．次

C．次

D．次

参考答案：D略2.设函数，其图象在点处的切线与直线垂直，则直线与坐标轴围成的三角形的面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B对原函数求导得，当时在点处的切线的斜率，且与直线垂直，所以解得，所以解得，所以，切点为，所以直线的方程为：即，与两坐标轴的交点分别为，所求三角形的面积为，答案为B．考点：1.曲线的切线方程；2.两条直线互相垂直；3.三角形的面积公式．3.设{an}是公比为q的等比数列，首项，对于n∈N*，，当且仅当n=4时，数列{bn}的前n项和取得最大值，则q的取值范围为（）A． B．（3，4） C． D．参考答案：C【考点】等比数列的前n项和．【分析】由bn+1﹣bn=an+1﹣an==logq，得出数列{bn}是以logq为公差，以loga1=6为首项的等差数列，由已知仅当n=4时Tn最大，通过解不等式组求出公比q的取值范围即可．【解答】解：∵等比数列{an}的公比为q，首项∴bn+1﹣bn=logan+1﹣logan=log=logq∴数列{bn}是以logq为公差，以loga1=6为首项的等差数列，∴bn=6+（n﹣1）logq．由于当且仅当n=4时Tn最大，∴logq＜0，且∴∴﹣2即2＜q＜4故选：C4.已知全集，，，则（

）A．

B． C． D．参考答案：B，，所以，所以，选B.5.函数（

）A.（-2,-1）

B.（-1,0）

C.（0,1）

D．（1,2）参考答案：C6.已知直线的倾斜角为，斜率为，那么“”是“”的（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：B考点：充分条件与必要条件当时，，当时，，所以“”是“”的必要而不充分条件，故选B7.已知函数

若有实数解，则求的最小值为A.

B.

C.

D.1参考答案：B8.把十进制数15化为二进制数为（C）A．1011

B．1001(2）

C．1111（2）

D．1111参考答案：C9.在上可导的函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为(

).Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．参考答案：A10.已知条件的充分不必要条件，则a的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知△ABC，点A（2，8）、B（﹣4，0）、C（4，﹣6），则∠ABC的平分线所在直线方程为．参考答案：x﹣7y+4=0【考点】待定系数法求直线方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】先求出三角形ABC是等腰直角三角形，作出∠ABC的角平分线BD，求出D点坐标，BD的斜率，再用点斜式求得所在直线方程即可．【解答】解：如图示：，∵kAB=，kBC=﹣，∴AB⊥BC，∵|AB|==10，|BC|==10，∴|AB|=|BC|，∴△ABC是等腰直角三角形，作出∠ABC的角平分线BD，∴直线BD是线段AC的垂直平分线，D是AC的中点，∴D（3，1），由kAC=﹣7得：kBD=，∴直线BD的方程是：y=1=（x﹣3），整理得：x﹣7y+4=0，故答案为：x﹣7y+4=0．【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，用点斜式求直线的方程，体现了数形结合以及转化的数学思想，属于基础题．12.对任意A中任取两个元素，定义运算，其中是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.已知，并且集合A中存在一个非零常数m，使得对任意，都有x*m=x，则称m是集合A的“钉子”.集合的“钉子”为

．参考答案：413.设P是函数y=x+（x＞0）的图象上任意一点，过点P分别向直线y=x和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则的值是．参考答案：﹣1考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设P（x0，）（x0＞0），可得|PA|，|PB|，由O、A、P、B四点共圆，可得∠APB=，由数量积定义可求．解答：解：设P（x0，）（x0＞0），则点P到直线y=x和y轴的距离分别为|PA|==，|PB|=x0．∵O、A、P、B四点共圆，所以∠APB=π﹣∠AOB=∴==﹣1故答案为：﹣1点评：本题考查平面向量数量积的运算，涉及点到直线的距离公式和四点共圆的性质，属中档题．14.若直线与圆相交于A、B两点（其中O为坐标原点），且∠AOB＝120°，则实数k的值为_______．参考答案：略15.直线被圆截得的弦长为

.参考答案：将题目所给的直线与圆的图形画出，半弦长为，圆心到直线的距离，以及圆半径构成了一个直角三角形，因此。16.已知函数，且，则对于任意的，函数总有两个不同的零点的概率是

.参考答案：恒成立。即由几何概率可得P=17.如图，PB为△ABC外接圆O的切线，BD平分∠PBC，交圆O于D，C，D，P共线．若AB⊥BD，PC⊥PB，PD=1，则圆O的半径是

．参考答案：2【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连结AD，由PB为圆O的切线，得∠PBD=∠BCP=∠BAD，结合BD为∠PBC的平分线，可得∠PDB=2∠PBD=60°，在Rt△BPD中，由PD=1，得BD=2，由Rt△ABD与Rt△BPD的内角关系得AD的长度，即得圆O的半径．【解答】解：如右图所示，连结AD，∵PB为圆O的切线，∴∠PBD=∠BCD=∠BAD，∵BD为∠PBC的平分线，∴∠PBD=∠CBD，∴∠PDB=∠CBD+∠BCD=∠PBD+∠PBD=2∠PBD，又∵PC⊥PB，∴∠PBD=∠BCD=∠CBD=∠BAD=30°，∠PDB=60°．由PD=1，得BD=2PD=2．在△ABD中，∵AB⊥BD，∴AD是圆O的直径，且直径AD=2BD=4，∴圆O的半径为2．故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）

已知函数R，是函数的一个零点.

（1）求的值，并求函数的单调递增区间；

（2）若，且，，求的值.参考答案：（1），Z；（2）．试题分析：（1）由是函数的一个零点得，代入，用辅助角公式化简，得，利用正弦函数的单调递增区间即可求出函数的单调递增区间；（2）先将已知条件进行化简，再利用求出和的值，进而展开，代入数值．试题解析：（1）解：∵是函数的一个零点，∴.

…………1分∴.

………………2分∴

………………3分

.

………………4分由，Z，得，Z，………………5分∴函数的单调递增区间是Z.…6分（2）解：∵，∴.

∴.

………………7分∵，∴.

………………8分∵，∴.

∴.

………………9分∵，∴.

……………10分∴…………11分

.

………………12分考点：1、函数的零点；2、辅助角公式；3、三角函数的单调性；4、诱导公式；5、同角三角函数的基本关系；6、两角和的正弦公式．19.已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y）且当x＞0，f（x）＜0．又f（1）=﹣2．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）求函数f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值；（3）解关于x的不等式f（ax2）﹣2f（x）＜f（ax）+4．参考答案：【考点】3K：函数奇偶性的判断；3F：函数单调性的性质；3H：函数的最值及其几何意义．【分析】（1）先求f（0）=0，再取y=﹣x，则f（﹣x）=﹣f（x）对任意x∈R恒成立，故可得函数为奇函数；（2）先判断函数在（﹣∞，+∞）上是减函数，再求f（﹣3）=﹣f（3）=6，从而可求函数的最大值；（3）利用函数为奇函数，可整理得f（ax2﹣2x）＜f（ax﹣2），利用f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，可得ax2﹣2x＞ax﹣2，故问题转化为解不等式．【解答】解：（1）取x=y=0，则f（0+0）=2f（0），∴f（0）=0…1′取y=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）∴f（﹣x）=﹣f（x）对任意x∈R恒成立∴f（x）为奇函数．…3′（2）任取x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，∴f（x2）+f（﹣x1）=f（x2﹣x1）＜0，…4′∴f（x2）＜﹣f（﹣x1），又f（x）为奇函数∴f（x1）＞f（x2）∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数．∴对任意x∈[﹣3，3]，恒有f（x）≤f（﹣3）…6′而f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=﹣2×3=﹣6，∴f（﹣3）=﹣f（3）=6，∴f（x）在[﹣3，3]上的最大值为6…8′（3）∵f（x）为奇函数，∴整理原式得f（ax2）+f（﹣2x）＜f（ax）+f（﹣2），进一步得f（ax2﹣2x）＜f（ax﹣2），而f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，∴ax2﹣2x＞ax﹣2…10′∴（ax﹣2）（x﹣1）＞0．∴当a=0时，x∈（﹣∞，1）当a=2时，x∈{x|x≠1且x∈R}当a＜0时，当0＜a＜2时，当a＞2时，…12′20.已知等差数列满足：，，的前n项和为．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令bn=()，求数列的前n项和．参考答案：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，因为，，所以有，解得，所以；==。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===，所以==，即数列的前n项和=。略21.已知函数.（Ⅰ）求函数的最大值，并求使；（Ⅱ）设函数.参考答案：解：（Ⅰ）………1分…………………2分……………………3分Z），即Z时，.…5分

此时，对应的x的集合为.……6分（Ⅱ）

.………………7分列表：0000