黑龙江省哈尔滨市第一中学高二数学理月考试题含解析

黑龙江省哈尔滨市第一中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.观察下列各式：，则（

）（A）28

（B）76

（C）123

（D）199参考答案：C2.椭圆与双曲线有公共焦点，则椭圆的离心率是A

B

C

D参考答案：B3.在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知c＝2，C＝，S△ABC＝，则△ABC的周长为()A．6

B．5C．4

D．1＋2参考答案：A略4.以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆的圆心的抛物线的方程是（

）A．或

B．

C．或

D．或参考答案：D

解析：圆心为，设；

设5.下列求导运算正确的是(

)A．

B．C．=

D．

参考答案：A略6.若直线与平面、、满足∥，，则有（

）

A．∥且

B．⊥且

C．⊥且∥

D．∥且⊥参考答案：B略7.曲线与坐标轴围成的面积是（

）A．4

B．

C．3

D．2参考答案：C8.设函数f（x）=xlnx，则f（x）的极小值点为(

) A．x=e B．x=ln2 C．x=e2 D．x=参考答案：D考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的极小值点．解答： 解：函数的定义域为（0，+∞）求导函数，可得f′（x）=1+lnx令f′（x）=1+lnx=0，可得x=∴0＜x＜时，f′（x）＜0，x＞时，f′（x）＞0∴x=时，函数取得极小值，故选：D．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极小值点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．9.是方程表示椭圆或双曲线的

（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件

D．不充分不必要条件参考答案：B略10.已知数列是公比为2的等比数列，满足.设等差数列的前项和为，若，则（

）A．34

B．39

C.51

D．68参考答案：D分析：由题意求得等差数列的首项和公差，然后根据等差数列的求和公式求解．详解：在等比数列中，由可得，解得．∴，∴．故选D．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知椭圆的离心率，A,B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A,B的一点，直线PA,PB倾斜角分别为，则

▲

参考答案：略12.在空间直角坐标系o﹣xyz中，点A（1，2，2），则|OA|=

，点A到坐标平面yoz的距离是

．参考答案：3，1【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；数形结合；分析法；空间位置关系与距离．【分析】根据空间中两点间的距离公式，求出|OA|的值．利用点A（x，y，z）到坐标平面yoz的距离=|x|即可得出．【解答】解：根据空间中两点间的距离公式，得：|OA|==3．∵A（1，2，2），∴点A到平面yoz的距离=|1|=1．故答案为：3，1【点评】本题考查了空间中两点间的距离公式的应用问题，熟练掌握点A（x，y，z）到坐标平面yoz的距离=|x|是解题的关键，属于中档题．13.我们知道，在边长为的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值________．参考答案：17.不等式

的解集为

参考答案：略15.如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有________条.参考答案：1条与异面的面对角线分别为：、、、、，其中只有和所成的角为，故答案为1条.

16.如图，平面四边形中，,,，，，则

．

参考答案：17.已知复数（为虚数单位），则复数z的虚部为

▲

．参考答案：-1

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量与垂直．（1）求A；（2）若B+=A，a=2，求△ABC的面积．参考答案：【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由，可得=bcosA﹣asinB=0，利用正弦定理可得sinBcosA﹣sinAsinB=0，sinB≠0，解得A．（2）B+=A，可得B=，C=．由正弦定理可得c，又sin=sin=，可得△ABC的面积S=acsinB．【解答】解：（1）∵，∴=bcosA﹣asinB=0，∴sinBcosA﹣sinAsinB=0，sinB≠0，解得tanA=，A∈（0，π），解得A=．（2）∵B+=A，∴B=，C=．由正弦定理可得：=，解得c=4×=2，又sin=sin=，∴△ABC的面积S=acsinB=2×=﹣1．19.从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：排号分组频数1[0，2）62[2，4）83[4，6）174[6，8）225[8，10）256[10，12）127[12，14）68[14，16）29[16，18）2合计100（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）参考答案：【考点】频率分布直方图；频率分布表．【分析】（Ⅰ）根据频率分布表求出1周课外阅读时间少于12小时的频数，再根据频率=求频率；（Ⅱ）根据小矩形的高=求a、b的值；（Ⅲ）利用平均数公式求得数据的平均数，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布表知：1周课外阅读时间少于12小时的频数为6+8+17+22+25+12=90，∴1周课外阅读时间少于12小时的频率为=0.9；（Ⅱ）由频率分布表知：数据在[4，6）的频数为17，∴频率为0.17，∴a=0.085；数据在[8，10）的频数为25，∴频率为0.25，∴b=0.125；（Ⅲ）数据的平均数为1×0.06+3×0.08+5×0.17+7×0.22+9×0.25+11×0.12+13×0.06+15×0.02+17×0.02=7.68（小时），∴样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组．20.过点C（0，1）的椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆与x轴交于两点A（a，0）、B（﹣a，0），过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．（I）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；（Ⅱ）当点P异于点B时，求证：为定值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用．【专题】计算题；证明题；综合题；压轴题；数形结合．【分析】（I）当直线l过椭圆右焦点时，写出直线l的方程，并和椭圆联立方程，求得点D的坐标，根据两点间距离公式即可求得线段CD的长；（Ⅱ）设出直线l的方程，并和椭圆联立方程，求得点D的坐标，并求出点P的坐标，写出直线AC与直线BD的方程，并解此方程组，求得Q点的坐标，代入即可证明结论．【解答】解：（I）由已知得b=1，，解得a=2，所以椭圆的方程为．椭圆的右焦点为（，0），此时直线l的方程为y=﹣x+1，代入椭圆方程化简得7x2﹣8x=0．解得x1=0，x2=，代入直线l的方程得y1=1，y2=﹣，所以D点坐标为（，﹣）故|CD|=；（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时与题意不符，设直线l的方程为y=kx+1（k≠0，k≠）代入椭圆方程化简得（4k2+1）x2+8kx=0，解得x1=0，x2=，代入直线l的方程得y1=1，y2=，所以D点坐标为（，），又直线AC的方程为，直线BD的方程为y=，联立解得，因此Q点坐标为（﹣4k，2k+1），又P点坐标为（﹣，0），∴=（﹣，0）?（﹣4k，2k+1）=4，故为定值．【点评】此题是个难题．本题考查了、直线与椭圆的位置关系及弦长公式，和有关定值定点问题，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题（II）考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，21.直线过定点，交x、y正半轴于A，B两点，其中O为坐标原点.（Ⅰ）若的倾斜角为，求；（Ⅱ）求的最小值.参考答案：（Ⅰ），令令， ……4分（Ⅱ）设，则 ……8分当时，的最小值. 22.（1）求证：；（2）设a，b均为正实数，求证：.参考答案：(1)详见解析；(2)详见解析【分析】(1)本题可通过对不等式两边同时平方并化简即可得出结果；(2)本题首先可通过基本不等式得出(当且仅当时取等号)