单调性与最大小值第1课时函数

1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大（小）值第1课时函数的单调性理解函数的单调性的概念；（重点、难点）掌握判断函数单调性的一般方法；（重点）3.会用函数单调性的定义证明简单的函数的单调性，求函数的单调区间.(重点）我们通过几个函数的图象观察函数值随自变量而变化的规律.函数值在（-¥

，+¥

）上随着自变量的增大而增大.函数值在（

-¥

，0)上随自变量的增大而减少，在[0，+¥

）上随

自变量的增大而增大.这种函数在其定义域的一个区间上函数值随着自变量的增大而增大的性质我们称之为“函数在这个区间上是增函数”；函数在其定义域的一个区间上函数值随着自变量的增大而减少的性质我们称之为“函数在这个区间上是减函数”.如何用函数的解析式和数学语言进行描绘？对函数f(x)=x2而言，“函数值在（0，+∞）上随自变量的增大而增大”，可以这样描述：在区间（0，+∞）上任取两个实数x1,x2,得到函数值f(x1)=x12,f(x2)=x22，当

x1<x2时，有f(x1)<f(x2).请同学们用数学语言描述函数f(x)在（-∞，0]上函数值随自变量的增大而减小的情况.一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

<x2时，都有

f

(x1

)

<

f

(x2

)

，那么就说函数f(x)

在区间D上是增函数．探究点1 函数是单调性的定义如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的x1

<

x2值

x1，x2

，当

时，都有

f

(x1

)

>

f

(x2

)，那么就说函数f(x)

在区间D上是减函数．如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间

D叫做y=f(x)的单调区间．探究点2 对函数单调性的理解第一、在中学数学中所说的单调性是指严格的单调性,即必须是f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2)),而不能是f(x1)≤f(x2)(或f(x1)≥f(x2));第二、函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的,是局部概念;第三、学习函数的单调性,要注意定义中条件和结论是双向使用的.探究点3 典型例题例1.下图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数?解：函数y

=f(的x)单调区间有[-5，-

2)，[-,

2,1),[1,3),[3,5]其中增函数．y

=f(在x)区间[-5上，-是2)，减[1,函3)数，在区间[-2,1),[上3,5是]整个上午（8：00—12：00）天气越来越暖，中午时

分（12：00—13：00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳下山（18：00）才又开始转凉.画出这一天8：00—20：00期间气温作为时间函数的一个可能图象，并说出所画函数的单调区间.解：单调增区间是

[8,12）,[13,18）;单调减区间是

[12,13）,[18,20].k分

析

：

即

要

求

证

明

函

数

p

=

V

在

（

0，+

¥

）上是减函数.V对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大.试用函数的单调性证明之.例2.物理学中的玻意耳定律p

=k

(k为正常数）告诉我们，2

11

21

2.k

k

V

-VV

VVV则p(V1

)

-

p(V2

)

=

- =

k由V1,V2

˛

(0,+¥)，得V1V2

>0;由V1

<V2

,得V2

-V1

>0.又k

>0,于是p(V1

)-p(V2

)>0,即p(V1

)>p(V2

).作差变形定号判断取值证明：根据单调性的定义，设V1,V2是定义域(0,+∞)上的任意两个实数，且V1<V2,V积减小时，压强p将增大.所以，函数p

=k

，v∈(0,+∞)是减函数，也就是说，当体提升总结：利用定义证明或判断函数在指定区间上的单调性的步骤:①取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值,且x1<x2;②作差变形：即作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)),并用因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形;③定号：确定差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1))的符号,当符号不确定时,可进行分类讨论;④判断：根据定义得出结论.（1）这个函数的定义域I是什么？（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论.画出反比例函数f(x)=

1

的图象.x函数图象如图(1)函数的定义域是(-¥

,0)(0,+¥

).(2

)函数在（

-¥

，0）上和（

0，+¥

）上都是减函数.1

2

1

2.-

=1

1

x2

-

x1xxx

x则f

(x1

)-f

(x2

)=根据函数单调性的定义，函数（f x)

=

1

在（-

¥

，0）上是减函数.x由x1,x2∈(-∞,0)得x1x2

>0;由x1

<x2得x2-x1

>0.所以f(x1

)-f(x2

)>0，即f

(x1

)>f

(x2）.函数在（-¥

，0）上单调递减的证明如下：证明：任取x1

,x2

˛

(-¥

,0),且x1

<x2

,1.请根据所给图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系.解：在一定范围内，生产效率随着工人数的增加而提高，

当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过

这个数量时，生产效率又随着工人数的增加而降低。结论：并不是工人数越多，生产效率越高。2.根据下图说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，函数是增函数还是减函数.解：函数的单调区间是[-1,0）,[0,2）,[2,4）,[4,5].在区间[-1,0）,[2,4）上，函数是减函数；在区间[0,2）,[4,5]上，函数是增函数.3.证明函数f(x)=-2x+1在R上是减函数.证明：任取x1,x2∈R且x1<x2，则f(x1)-f(x2)>0,由x1<x2,得x1-x2<0.由-2<0，所以f(x1)-f(x2)=-2(x1-x2).即f(x1)>f(x2)所以，函数f(x)=-2x+1在R上是减函数.4.证明函数f(x)=x

+2

在区间[-2,+¥

)上是增函数。证明：任取x1,x2

˛

[-2，,+且¥

)，x1

<

x2则

f

(x1

)

-

f

(x2

)

=

x1

+

2

-x2

+

2.=x1

-

x2(

x1

+

2

-

x2

+

2)(

x1

+

2

+

x2

+

2)

=x1

+

2

+

x2

+

2

x1

+

2

+

x2

+

2因为

x1

-

x2

<

0,

x1

+

2

+，

x2

+

2

>

0得f

(

x1

)

<

f

(

x2

)所以函数f

(x)=在x

区+2间[-2,+∞)上是增函数．1.函数的单调性反映了函数值随自变量的变化而变化的一种特定规律.当在函数定义域的某个区间上函数值随自变量的增大而增大时，函数在这个区间上单调递增；当函数在定义域的某个区间上函数值随自变量的增大而减小时，函数在这个区间上单