2017高考数学大一轮复习讲义及配套题库理全书课件第八章

第八章 立体几何与空间向量§8.6

空间向量及其运算内容索引基础知识自主学习题型分类 深度剖析易错警示系列思想方法 感悟提高练出高分基础知识 自主学习1.空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1

的向量相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相

平行或重合

的向量a∥b共面向量平行于同一个平面的向量知识梳理1答案→2.空间向量中的有关定理

(1)共线向量定理空间两个向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在实数λ，使得b＝λa.推论

如图所示，点P在l上的充要条件是＝OP＋OA

＋

ta①→其中a

叫直线l

的方向向量，t∈R，在l

上取→＝a，则①可化AB.为→＝

→＋→或→＝(1－OP

OA

tAB

OP→

→

t)OA＋tOB

答案(2)共面向量定理→

＋MP

→或对空间任意一点O，有→

→

→

→

→共面向量定理的向量表达式：p＝

xa＋yb

，其中

x，y∈R，a，b

为OP＝

OM＋xMA＋yMB

或OP＝xOM＋yOA＋zOB，其中

x＋y＋z＝

1

.(3)空间向量基本定理如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3，空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底.→

→

→答案2b〉＝π，则称a

与b

互相垂直，记作a⊥b.3.空间向量的数量积及运算律

(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作→＝a，→＝b，则∠AOBOA

OB叫做向量a与b

的夹角，记作〈a，b〉，其范围是

0≤〈a，b〉≤π

，若〈a，答案②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝

λ(a·b)；②交换律：a·b＝

b·a

；③分配律：a·(b＋c)＝

a·b＋a·c

.答案4.空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|a2＋a2＋a21

2

3夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3cos〈a，b〉＝

a2＋a2＋a2·

b2＋b2＋b21

2

3

1

2

3答案判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面.(

√

)(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c).(

×

)(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(

×

)(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.(

×

)AB

BC

CD

DA(5)若A、B、C、D

是空间任意四点，则有→＋→＋→＋→＝0.(

√)(6)对空间任意一点O

与不共线的三点A，B，C，若→＝OP

xOA

yOB

zOC(→＋

→＋

→其中

x，y，z∈R)，则

P，A，B，C

四点共面.(

×

)思考辨析答案AB

AD

AA1

BM1.如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1

中，M

为A1C1

与B1D1

的交点.若→＝a，→

＝b，→

＝c，则下列向量中与

→

相等的向量是(

A

)1

1A.－1a＋1b＋c

B.

a＋

b＋c2

2

2

2C.－1a－1b＋c

D.

a2

2

2

21

－1b＋c1

→→

→

→

→

→解析

BM＝BB1＋B1M＝AA1＋2(AD－AB)＝c＋1(b－a)＝－1a＋1b＋c.2

2

212345解析答案2.与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是(

)A.10，

，－3

2

4

2

210

2

和－，－

，3

2

4

2

210

10

2B.3

2，

，－4

2

210

102C.

－，－

，3

2

4

2

21010

2D.，

，3

2

4

2

210

10

2

或－10，－

，－3

2

4

2

210212345解析答案|a|解析

因为与向量

a

共线的单位向量是±

a

，又因为向量(－3，－4,5)的模为

(－3)2＋(－4)2＋52＝5

2，5

2所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是±

1

(－3，－4，5)＝±10(2

－3，－4,5)，故选A.答案

AOB

OC3.如图，在四面体O－ABC

中，→＝a，→＝b，→＝c，D

为BC

的中点，OA→(用a，b，c

表示).→解析

OE＝2OA＋2OD＝2OA＋4OB＋4OC1

→

1

→

1

→

1

→

1

→＝1a＋1b＋1c.2

4

41

1

1E

为

AD

的中点，则OE＝

2a＋4b＋4c12345解析答案4.(教材改编)已知a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋解析

依题意得y的值为

1或－3

.4＋4y＋2x＝0，24＋16＋x

＝36解得x＝4，y＝－3，或x＝－4，y＝1.12345解析答案5.(教材改编)正四面体ABCD棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则→

2

→2

→

→

→解析

|EF|

＝EF

＝(EC＋CD＋DF)22→

→2

→2

→

→ →

→ →

→＝EC

＋CD

＋DF

＋2(EC·CD＋EC·DF＋CD·DF)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos

120°＋0＋2×1×cos

120°)＝2，∴

→|EF|＝

2，∴EF

的长为

2.EF的长为

2

.12345解析答案返回题型分类 深度剖析例

1

(1)已知在空间四边形

OABC

中，

→

＝a，

→

＝b，

→

＝c，点

MOA

OB

OC在

OA

上，且OM＝2MA，N

为

BC

中点，则→

等于(

)MNA.1a－2b＋1c2

3

2B.－2a＋1b＋1c3

2

21

1

1C.2a＋2b－2cD.2a＋2b－1c3

3

2空间向量的线性运算题型一解析答案→2(OB＋OC)－3OA＝1

→

2

→＝－2a＋1b＋1c.3

2

2答案

BMN

ON

OM解析

显然

→

＝

→

－

→(2)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点.→1

→

1

→→1

→

1

→1＝

→2A

O－

(AB1

→→＋AD)＝

→

→A1O－AO＝

→

→

→A1O＋OA＝A1A.①化简A1O－2AB－2AD＝

A1A

；解析

A1O－2AB－2AD→解析答案②用AB，1→

→

→AD，AA

表示1→OC

，则1→OC

＝.1

→

1

→→

→解析

OC＝2AC＝2(AB＋AD)，1∴

→

→OC

＝OC＋1→2CC

＝

(AB1

→＋AD)＋AA1→

→＝1

→

1

→→2AB＋2AD＋AA1.2AB

2AD

AA11

→＋1

→

＋

→解析答案引申探究1.若本例(1)中将“点M

在OA

上，且OM＝2MA”改为“M

为OA

的中MG

→

”，则→

＝

.OG解析答案2OA＋3ON－3OM＝1

→

2

→

2

→＝1

→

2

1

→→2OA＋3×2(OB＋OC)－3×2OA2

1

→6OA＋3OB＋3OC＝1

→

1

→

1

→＝1a＋1b＋1c..6

3

3答案

1a＋1b＋1c..6

3

3解析

如图所示，∵

→

→

→OG＝OM＋MG

＝2OA＋3MN1

→

2

→＝1

→

2

→→2OA＋3(ON－OM)1DE

3DD12.若本例(2)中条件不变，问题改为：设

E是棱

DD

上的点，且→

＝2

→

，若→

→

→

→EO＝xAB＋yAD＋zAA1，试求x，y，z

的值.解

→

→

→EO＝ED＋DO1

→→＝－2

→

＋

(DA＋DC)3DD1

2＝1

→

1

→

2

→2AB－2AD－3AA1，由条件知，x＝1，y＝－1，z＝－2.2

2

3解析答案思维升华思维升华用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.用基向量→→

→

→

→→

→

→三棱锥O－ABC

中，M，N

分别是OA，BC

的中点，G

是△ABC

的重心，OA，OB，OC表示MG，OG.解

MG＝MA＋AG＝2OA＋3AN1

→

2

→＝1

→

2

→→2OA＋3(ON－OA)＝1

→

2

1

→→

→2OA＋3[2(OB＋OC)－OA]1

→

1

→＝－1

→

＋

OB＋

OC.6OA

3

3跟踪训练1→

→

→OG＝OM＋MG＝2OA－6OA＋3OB＋3OC1

→

1

→

1

→

1

→＝1

→

1

→

1

→3OA＋3OB＋3OC.解析答案例2

已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；共线定理、共面定理的应用题型二解析答案EG＝EB＋BG则→

→

→＝→1

→→EB＋2(BC＋BD)＝→

→

→

→

→EB＋BF＋EH＝EF＋EH，由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面.证明

如图，连接BG，(2)求证：BD∥平面EFGH；EH

AH

AE＝1

→

1

→

1

→→1

→2AD－2AB＝2(AD－AB)＝2BD，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.解析答案OM

4(OA

OB(3)设

M

是

EG

和

FH

的交点，求证：对空间任一点

O，有

→

＝1

→

＋

→＋

→

→OC＋OD).解析答案思维升华证明

找一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG，如图所示.EH

2BD

FG

2BD→所以→＝FG，即EH

綊FG，EH所以四边形EFGH是平行四边形.所以EG，FH交于一点M且被M平分.故→→OM＝2(OE＋OG)＝2OE＋2OG1

→

1

→

1

→＝2211

→→(OA＋OB)＋2211

→→(OC＋OD)＝1

→→

→

→4(OA＋OB＋OC＋OD).思维升华思维升华(1)证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明A，B，C

三点共线，即证明→

→→

→AB，AC共线，亦即证明AB＝λAC(λ≠0).(2)证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P，A，B，C

四点共面，只要能证明→＝

→

→

→

→

→

→

→

→

→PA

xPB＋yPC或对空间任一点O，有OA＝OP＋xPB＋yPC或OP＝xOA＋yOB＋zOC(x＋y＋z＝1)即可.共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件.3易得→＝－1(a－b＋c)，EF→

→

→1

1

1而DB

＝a－b＋c，即EF∥DB

，故EF∥DB

，且EF⊄平面A1B1CD，DB1⊂平面A1B1CD，所以EF∥平面A1B1CD.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B上的点，F是AC上的点，且A1E＝2EB，CF＝2AF，则EF与平面A1B1CD的位置关系为

平行

.AB

AD

AA1跟踪训练2解析答案例3

如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点.(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；空间向量数量积的应用题型三解析答案证明

设→

→

→AB＝p，AC＝q，AD＝r.由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°.→

→

→

→MN＝AN－AM＝2(AC＋AD)－2AB1

→

1

→2＝1(q＋r－p)，∴

→

→1

12MN·AB＝2(q＋r－p)·p＝2(q·p＋r·p－p

)2＝1(a2cos

60°＋a2cos

60°－a2)＝0.∴

→

→MN⊥AB.即MN⊥AB.同理可证MN⊥CD.(2)求MN的长；解

由(1)可知

→

＝1(q＋r－p)，MN∴

→21|MN|

＝4(q＋r－p)224＝1[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)]＝1a2

a2

a212

2

2

2a24[a

＋a

＋a

＋2(

2

－

2

－

2

)]＝4×2a

＝

2

.∴

→

2

2|MN|＝

2

a.∴MN

的长为2

a.解析答案(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.思维升华解析答案AN

MC解

设向量→

与

→

的夹角为

θ.∵

→→1

→

1AN＝2(AC＋AD)＝2(q＋r)，→

→

→1∴

→

→1

1MC＝AC－AM＝q－2p，AN·MC＝2(q＋r)·(q－2p)＝1(q2－1q·p＋r·q－1r·p)2

2

2思维升华解析答案2

2

2＝1(a2－1a2cos

60°＋a2cos

60°－1a2cos

60°)＝12a2

a2

a2

a22(a

－

4

＋

2

－

4

)＝

2

.又∵

→

＝

→

＝2|AN|

|MC|

3a，→

→

→

→

3

3a2∴AN·MC＝|AN||MC|cos

θ＝

2

a×

2

a×cos

θ＝

2

.3∴cos

θ＝2.3∴向量→与→的夹角的余弦值为2，从而异面直线AN

与CM

所成角AN

MC3的余弦值为2.思维升华思维升华数量积的应用

a·b求夹角，设向量a，b所成的角为θ，则cos

θ＝

|a||b|，进而可求两异面直线所成的角.求长度(距离)，运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题.解决垂直问题，利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长；解

记→

→

→AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，2∴a·b＝b·c＝c·a＝1.→2

2

2

2

2|AC1|

＝(a＋b＋c)

＝a

＋b

＋c

＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×(1＋1＋1)＝6，∴

→|AC1|＝2

2

26，即

AC1

的长为

6.跟踪训练3解析答案(2)求证：AC1⊥BD；AC1→BD＝b－a，∴

→

→AC1·BD＝(a＋b＋c)(b－a)＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c＝b·c－a·c＝|b|·|c|cos

60°－|a||c|cos

60°＝0.，∴AC1⊥BD.AC1⊥BD∴

→

→解析答案(3)求BD1与AC夹角的余弦值.→

→

→→2，|AC|＝

3，→

→解BD1＝b＋c－a，AC＝a＋b，∴|BD1|＝BD1·AC＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.1→∴cos〈→，AC〉＝BDBD1·AC→

→→|BD1||AC|

6→

＝

6

.1∴AC

与

BD

夹角的余弦值为66.解析答案返回易错警示系列典例

已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，则x，y的值分别为

.易错分析

将a，b同向和a∥b混淆，没有搞清a∥b的意义：a、b方向相同或相反.易错警示系列12.“两向量同向”意义不清致误易错分析解析答案返回温馨提醒把①代入②得x2＋x－2＝0，(x＋2)(x－1)＝0，解得x＝－2或x＝1，当x＝－2时，y＝－6；当x＝1时，y＝3.当x＝－2y＝－6时，b＝(－2，－4，－6)＝－2a，两向量a，b反向，不符合题意，所以舍去.当x＝1y＝3时，b＝(1,2,3)＝a，a

与b

同向，所以x＝1，y＝3.答案

1,3x解析

由题意知

a∥b，所以1＝x2＋y－22y＝3，

即y＝3x2x

＋y－2＝2x返回温馨提醒温馨提醒(1)两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况.两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件；(2)若两向量a，b满足a＝λb(b≠0)且λ>0则a，b同向；在a，b的坐标都是非零的条件下，

a，b的坐标对应成比例.返回思想方法 感悟提高利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题.方法与技巧向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化.失误与防范返回练出高分1.在下列命题中：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.其中正确命题的个数是(

).A.0

B.1

C.2

D.31

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15解析答案解析

a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故②错误；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.答案

A1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

151

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15A.－2

B.－14C.143

5D.2解析

由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2.2.已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(

D

)解析答案1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

153.(2014·广东)已知向量a＝(1,0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是(

)A.(－1,1,0)C.(0，－1,1)B.(1，－1,0)D.(－1,0,1)解析答案1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

152×

22对于选项

B，设

b＝(1，－1,0)，则

cos〈a，b〉＝

a·b

＝

1×1

＝1.因|a||b|为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝60°，正确.2×

2|a||b|

2对于选项C，设b＝(0，－1,1)，则cos〈a，b〉＝

a·b

＝

－1×1

＝－1.因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝120°.解析

各选项给出的向量的模都是2，|a|＝

2.|a||b|因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝120°.对于选项A，设b＝(－1,1,0)，则cos〈a，b〉＝

a·b

＝1×(－1)2×2

＝－21.解析答案1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

152×

2对于选项

D，设

b＝(－1,0,1)，则

cos〈a，b〉＝

a·b

＝

－1－1

＝－1.|a||b|因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝180°.故选B.答案

B1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

154.空间四边形

ABCD

的各边和对角线均相等，E

是

BC

的中点，那么(

)A.AE·BC<AE·CD→

→ →

→B.

→

→ →

→AE·BC＝AE·CDC.AE·BC>AE·CD→

→ →

→D.

→

→ →

→AE·BC与AE·CD的大小不能比较解析答案1

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14

152解析

取BD

的中点

F，连接

EF，则

EF

綊1CD，因为〈→

，→

〉＝〈→

，AE

EF

AE→ →

→ →

→ →

→ →

→CD〉>90°，因为AE·BC＝0，AE·CD<0，所以AE·BC>AE·CD.答案

C1

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155.已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则异面直线a，b所成的角等于(

)A.30°

B.45°

C.60°

D.90°解析答案1

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14

15所以cos〈→，→〉＝AB

CD(a＋b＋c)·b1|a＋b＋c||b|＝2，所以异面直线a，b

所成的角等于60°，故选C.答案

C解析

如图，设→

＝a，

→

＝b，

→

＝c，则→＝a＋b＋c，AC

CD

DB

AB1

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14

156.在空间四边形ABCD

中，则→→

＋

→

→

＋

→AB·CD

AC·DB

AD·BC→

的值为

.解析答案1

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14

15解析

方法一

如图，令→

＝a，

→

＝b，

→

＝c，AB

AC

AD则→→AB·CD＋AC·DB＋AD·BC→

→ →

→＝→

→

→

→

→

→

→

→

→AB·(AD－AC)＋AC·(AB－AD)＋AD·(AC－AB)＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.解析答案1

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14

15∴→

→→

→→

→AD·BC＝0.方法二 如图，在三棱锥A－BCD中，不妨令其各棱长都相等，则正四面体的对棱互相垂直.AB·CD＝0，AC·DB＝0，∴→

→ →

→ →

→AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝0.答案

01

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15AB

AC

AC

→

＝0，→

·AD＝0，→

→

→

→

→解析

因为→

·BD＝(AC－AB)·(AD－AB)BC＝

→

→

→

→AC·AD－AC·AB－AB·AD＋AB→

→

→

2→2＝AB

>0，所以∠CBD为锐角.同理∠BCD，∠BDC均为锐角.7.A，B，C，D

是空间不共面四点，且→

·

→

＝0，→

·AD

AB

→则△BCD

的形状是

锐角

三角形(填锐角、直角、钝角中的一个).解析答案1

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14

158.设O－ABC

是四面体，G1

是△ABC

的重心，G

是OG1

上的一点，且OG1＝3GG

，若OG＝→ →

＋

→

→xOA

yOB＋zOC，则(x，y，z)为

.解析答案1

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13

14

15解析如图所示，取BC的中点E，连接AE.→OG＝4OG13

→＝3

→→4(OA＋AG1)＝3

→

1

→4OA＋2AE解析答案1

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15＝3

→

1

→→4OA＋4(AB＋AC)＝3

→

1

→→

→

→4OA＋4(OB－OA＋OC－OA)＝1

→→

→4(OA＋OB＋OC)，4∴x＝y＝z＝1.1

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159.已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝→，b＝

→.AB

AC(1)求向量a与向量b的夹角的余弦值；解

∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，又|a|＝

12＋12＋02＝

2，|b|＝

(－1)2＋02＋22＝

5，－1

a·b

10∴cos〈a，b〉＝|a||b|＝

10＝－

10

，即向量a

与向量b

的夹角的余弦值为－1010

.解析答案(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值.1

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15解析答案1

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15解

方法一

∵ka＋b＝(k－1，k,2).ka－2b＝(k＋2，k，－4)，且ka＋b与ka－2b互相垂直，∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，∴k＝2

或k＝－5，2实数k

的值为2或－5.2∴当ka＋b与ka－2b互相垂直时，解析答案1

2

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15方法二

由(1)知|a|＝

2，|b|＝

5，a·b＝－1，∴(ka＋b)·(ka－2b)＝k2a2－ka·b－2b22＝2k2＋k－10＝0，得k＝2

或k＝－5.2∴当ka＋b与ka－2b互相垂直时，实数k

的值为2或－5.1

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1510.如图，在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.(1)写出点E、F的坐标；解

E(a，x,0)，F(a－x，a,0).解析答案1

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15(2)求证：A1F⊥C1E；证明

∵A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，∴

→

→A1F＝(－x，a，－a)，C1E＝(a，x－a，－a)，∴

→

→2A1F·C1E＝－ax＋a(x－a)＋a

＝0，∴

→

→A1F⊥C1E，∴A1F⊥C1E.解析答案1

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151

1(3)若

A

、E、F、C

四点共面，求证：

→

＝1

→

＋

→A1F

2A1C1

A1E.解析答案1

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15证明

∵A1、E、F、C1四点共面，∴

→

→

→A1E、A1C1、A1F共面.选

→

→A1E与A1C1为在平面A1C1E

上的一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使

→

→→A1F＝λ1A1C1＋λ2A1E，即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a,0)＋λ2(0，x，－a)＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，解析答案1

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15－x＝－aλ1，∴a＝aλ1＋xλ2，－a＝－aλ2，122解得λ

＝1，λ

＝1.121

11

→于是

→

＝

A

C

＋A

F1→A

E.1

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1511.已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4,2,3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标是(

)A.(4,0,3)C.(1,2,3)B.(3,1,3)D.(2,1,3)解析答案1

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15解析

设p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为x，y，z.则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，

①因为p在{a，b，c}下的坐标为(4,2,3)②∴p＝4a＋2b＋3c，x＋y＝4，由①②得x－y＝2，z＝3，解析答案1

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15x＝3，∴y＝1，z＝3，即p在{a＋b，a－b，c}下的坐标为(3,1,3).1

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1512.已知ABCD－A1B1C1D1

为正方体，→

→

→→2

2①(A1A＋A1D1＋A1B1)

＝3A1B1

；②

→

→

→A1C·(A1B1－A1A)＝0；1→

→③向量AD

与向量A1B的夹角是60°；1

1

1

1④正方体

ABCD－A

B

C

D

的体积为

→→

→|AB·AA1·AD|.其中正确命题的序号是

.解析答案1

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15解析

①中→

→

→→

2

→

→

→2

2

2

2(A1A＋A1D1＋A1B1)＝A1A

＋A1D1

＋A1B1

＝3(A1B1)，故①正确；→

→②中

→

－A

A＝AB

，∵AB

⊥A

C，故②正确；A1B1

1

1

1

11

1

1→

→③中

A

B

与

AD

两异面直线所成角为

60°，但AD

与A1B的夹角为

120°，故③不正确；→

→

→④中|AB·AA1·AD1|＝0，故④也不正确.答案

①②1

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151

2

1

2213.(2015·浙江)已知

e

，e

是空间单位向量，e

·e

＝1，若空间向量b

满足

b·e1221

2

0

1

0

2

0＝2，b·e

＝5，且对于任意x，y∈R，|b－(xe

＋ye

)|≥|b－(x

e

＋y

e

)|＝1(x

，y0∈R)，则

x0＝

，y0＝

，|b|＝

.解析答案1

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152x＝2－y，解析

方法一

对于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，说明当x＝x0，y＝y0时，|b－(xe1＋ye2)|取得最小值1.|b－(xe1＋ye2)|2＝|b|2＋(xe1＋ye2)2－2b·(xe1＋ye2)＝|b|2＋x2＋y2＋xy－4x－5y，要使|b|2＋x2＋y2＋xy－4x－5y取得最小值，需要把x2＋y2＋xy－4x－5y看成关于x的二次函数，即f(x)＝x2＋(y－4)x＋y2－5y，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为解析答案1

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15所以当x＝2－y时，f(x)取得最小值，代入化简得f(x)＝3(y－2)2－7，2

4min2显然当

y＝2时，f(x)

＝－7，此时

x＝2－y＝1，所以

x0＝1，y0＝2.此时|b|2－7＝1，可得|b|＝2

2.解析答案1

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151

2

1

2

1

22方法二

∵e

·e

＝|e

|·|e

|cos〈e

，e

〉＝1，1

2π3∴〈e

，e

〉＝

.11

2不妨设

e

＝

，

32

2，0，e

＝(1,0,0)，b＝(m，n，t).由题意知1

3b·e1＝2m＋

2

n＝2，5b·e2＝m＝2，解析答案1

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15解得

n＝

3，m＝5，2

2

52∴b＝

，

32，t.1

25212∵b－(xe

＋ye

)＝

－

x－y，

3

32

2–

x，t，1∴|b－(xe

＋22

52x2ye

)|

＝

－

－2y

＋

2

3

3

2–

x＋t2

2＝x2＋xy＋y2－4x－5y＋t2＋7解析答案1

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