玻色分布和费米分布

玻色分布和费米分布第1页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计相应的宏观条件可表为:（8.1.1)(8.1.2)

其中表示对粒子的所有能级求和，式中的正号对应于费米分布，负号对应于玻色分布。第2页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

则玻色分布和费米分布都过渡到玻耳兹曼分布由式(8.1.1)可以看出，如果满足条件(8.1.3)(8.1.4)式(8.1.3)满足时，显然有（对所有l）(8.1.5)第3页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

由此可见，式(8.1.3)和(8.1.5)都是非简并性条件的表达式。

当非简并性条件满足时，玻色分布和费米分布都过渡到玻耳兹曼分布。1.巨配分函数:

由于玻色子和费米子系统一般是粒子数可变系统，其配分函数要用到下一章将要介绍的处理开放系统的巨正则配分函数（简称巨配分函数）。下面先给出玻色和费米系统的巨配分函数表达式,其详细推导在下一章给出。二、玻色和费米分布的巨配分函数及热力学公式第4页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

将(8.1.2)中的两个式子分别写为；式中的正号对应于费米分布，负号对应于玻色分布。引入函数：(8.1.8)(8.1.6)

(8.1.7)第5页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

其中,Ξ是系统的巨配分函数。对Ξ取对数，得:(8.1.9)

式(8.1.9)中的正号对应于费米分布，负号对应于玻色分布。2.热力学公式:

按照统计物理处理问题的一般程序，在计算出配分函数的对数后，便可代入热力学公式求得热力学量。第6页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

由于玻色和费米分布的热力学公式与巨正则分布的热力学公式相同，所以，这里先给出其表达式，详细推导在下一章介绍。

⑴平均粒子数:

(8.1.10)第7页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计⑵内能:(8.1.11)⑶广义力:(8.1.12)上式的一个重要特例是压强:(8.1.13)第8页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

⑷熵:(8.1.14)⑸巨热力势:

(8.1.15)

只要计算出系统的巨配分函数，就可以利用上面的热力学公式得到相应的热力学量。第9页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计§8.2

弱简并理想玻色气体和费米气体

一般气体满足非简并性条件eα>>1可用玻耳兹曼分布来处理。

如果eα很小，但又不能被忽略，则此情形被称为弱简并，从中初步显示玻色气体和费米气体的差异。

弱简并情形下我们可以近似地用积分来处理问题。为书写简便起见，我们将两种气体同时讨论，在有关公式中，上面的符号适用于费米气体，下面的符号适用于玻色气体。第10页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

在体积V内，能量在ε-ε+dε内的粒子的可能微观状态数为

其中，g是由于粒子可能具有自旋而引入的简并度，D(ε)是态密度。例如，对于电子，考虑有两个相反的自旋投影，g=2;对于光子，由于有两个偏振方向，g=2。考虑三维自由粒子的情形，为简单起见，不考虑粒子的内部结构，因此只有平动自由度，粒子的能量为：第11页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计系统的总粒子数和总能量为:近似用积分来处理，作对应：代入自由粒子气体的D(ε)dε的表达式第12页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计有引入变量x=βε,

上面两个式子可改写为：第13页，课件共103页，创作于2023年2月

将被积函数的分母展开：

在小的情形下，是一个小量，可利用下面的公式展开：只取头两项，可得：第14页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计将上面两式相除，得：利用附录C的积分公式可得：第15页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计考虑到e-α很小，近似用玻耳兹曼分布的结果代入前面的公式中，得：第16页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计讨论：上式第一项是根据玻耳兹曼分布得到的内能；第二项是由量子统计关联导致的附加能量，与微观粒子的全同性原理有关。费米气体的附加能量为正，费米子间表现出排斥作用；玻色气体的附加能量为负，玻色子间表现出吸引作用；第17页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

§8.3玻色－爱因斯坦凝聚

诺贝尔奖自1901年颁发以来，一直是世人所公认的最高荣誉奖项。在它的六个奖项中，物理学、化学和医学（或生理学）奖尤为引人注目。下面我们谈谈物理学奖的概况。2001年是诺贝尔奖颁发百年纪念，因此这次物理学奖的颁发被人们认为有着特殊的意义，Nature、Science以及各种媒体都先后聚焦于10月9日。美国麻省理工学院（MIT）的WolfgangKetterle（沃尔夫冈·克特勒）和科罗拉多大学JILA（实验天文物理学联合学院）研究所的CarlWieman（卡尔·维曼），EricCornell（埃里克·康奈尔）因实验上实现玻色－爱因斯坦凝聚（简称BEC）现象而分享了本年度诺贝尔物理学奖。第18页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计WolfgangKetterle沃尔夫冈·克特勒

EricA.Cornell埃里克·康奈尔CarlE.Wieman卡尔·维曼2001年诺贝尔物理学奖

以表彰他们根据玻色－爱因斯坦理论发现了一种新的物质状态——“碱金属原子稀薄气体的玻色－爱因斯坦凝聚（BEC）”。第19页，课件共103页，创作于2023年2月

BEC是物质的一种奇特的状态，处于这种状态的大量原子的行为像单个粒子一样。打个比方，练兵场上的士兵刚解散不久，突然指挥官发令“向东齐步走”，于是所有的士兵像一个士兵一样整齐的向东走去。如果将士兵缩小到原子尺度，以至于分辨不出谁是谁，我们便看到了“BEC”。那为什么冠以玻色－爱因斯坦的名字呢？有这样一段插曲。第20页，课件共103页，创作于2023年2月

1924年，年轻的印度物理学家玻色寄给爱因斯坦一篇论文，提出了一种新的统计理论，它与传统的统计理论仅在一条基本假定上不同。传统统计理论假定一个体系中所有的原子（或分子）都是可以辨别的，我们可以给一个原子取名张三，另一个取名李四……，并且不会将张三认成李四，也不会将李四认成张三。基于这一假定的传统理论圆满地解释了理想气体定律，可以说取得了非凡的成功。然而玻色却挑战了上面的假定，认为在原子尺度上我们根本不可能区分两个同类原子（如两个氧原子）有什么不同。接着，玻色讨论了如下一个问题（这个问题所有高中生都做过）：将N个相同的小球放进M个标号为1、2、…、M的箱子中，假定箱子的容积足够大，有多少种不同的放法？在此问题的基础上，采用传统统计相似的作法，玻色便得到了一套新的统计理论。第21页，课件共103页，创作于2023年2月

玻色的论文引起了爱因斯坦的高度重视，迅速帮玻色译成德文发表。随后将玻色的理论用于原子气体中，进而推测在足够低的温度下，所有原子有可能处在相同的最低能态上，所有原子的行为像一个粒子一样。后来物理界将这种现象称为玻色－爱因斯坦凝聚。值得注意的是，这里的“凝聚”与日常生活中的凝聚不同，它表示原来不同状态的原子突然“凝聚”到同一状态。第22页，课件共103页，创作于2023年2月

爱因斯坦的预测引起了实验物理学家的广泛兴趣。然而实现BEC的条件极为苛刻和“矛盾”：一方面希望达到极低的温度，另一方面还要求原子体系处于气态。实现低温的传统手段是蒸发制冷；而斯坦福大学华裔物理学家朱棣文、法国巴黎高等师范学校的Cohen-Tannoudj和美国国家标准局的Phillips发展的激光冷却和磁阱技术是另一种有效的制冷方法，他们三人因此分享了1997年度诺贝尔物理学奖。1976年，Nosanow和Stwalley证明在任意低温下处于自旋极化的氢原子始终能保持气态，则为实现第二个要求提供了希望。第23页，课件共103页，创作于2023年2月但遗憾的是，众多的实验物理学家将自旋极化的氢原子气体降温，并未观察到BEC现象。于是Wieman和Cornell开始将兴趣转向碱金属原子气体，1995年，他们将铷原子限制在磁阱中进行激光冷却首次成功的观察到原子气的BEC现象。同年，MIT的Ketterle也在钠原子气中实现了BEC。BEC的实现不仅在基础研究方面具有重大意义，还可能在“原子芯片”和量子计算机等方面有广泛的应用前景。因此2001年的诺贝尔物理学奖授予Wieman、Cornell和Ketterle以表彰他们在BEC实验方面的开创性工作。第24页，课件共103页，创作于2023年2月

从实现BEC的历程来看，有以下两个必备的客观条件：首先是理论准备（玻色和爱因斯坦的工作），其次是实验手段的进步（朱棣文等人的工作）。剩下的就是个人的素质了，要有眼光，走对路（Wieman、Cornell和Ketterle选择碱金属原子气体作为冷却的对象）。这样看来，诺贝尔物理学奖似乎不是什么神秘的东西。因此有人就会问为什么中国内地就没有出现诺贝尔奖呢？我们在这里谈几点：第25页，课件共103页，创作于2023年2月

思想开放，不迷信权威。创新就是要打破某些已有的定论，因循守旧，盲从权威是不可能有所创新的。中国的知识分子经历了太多的苦难以及封建思想的残余，以至于思想里保守成分多，权威意识过强，传统教育中以循规蹈矩为优等等都不利于创新。第26页，课件共103页，创作于2023年2月

科学文化的沉淀。任何重大创新不是凭空冒出来的，创新必须以继承已有的优秀科学成果和思想方法为前提，这种科学文化需要长时间的积累。而中国内地真正科学文化的萌芽起于1919年的五四运动，后来又受文革的严重冲击，因此真正的科学文化沉淀也就20来年时间，比起西方三四百年简直是小菜。第27页，课件共103页，创作于2023年2月

热情奔放而又执著追求科学的年轻人。据中科院2001年科学发展报告统计，诺贝尔物理学奖得主作出代表性工作的平均年龄为36岁，他们从很小就开始对物理学感兴趣并一直钟爱着物理学。他们能如此执著，一方面是经济条件还不错，更重要的是他们从小所受的教育是以充分发挥自己的个性为主。而内地的教育更乐意将学生培养成标准的螺丝钉，学生本人则很少有太多的想法和目标，在经济大潮的影响下立刻便沉到“海”里去了。第28页，课件共103页，创作于2023年2月

总之，诺贝尔物理学奖是在继承前人优秀的成果基础上的重大创新，目前中国内地并不具备上述创新的条件。但值得庆幸的是，自改革开放以来，思想界也有所解放，国家对科学重视程度提高，国际交流与合作也日益广泛和深入，经过漫长时间的努力，中国大陆有望出现诺贝尔物理学奖。第29页，课件共103页，创作于2023年2月

今天称之为玻色-爱因斯坦凝聚的物理现象是七十年前由爱因斯坦和玻色预言的宏观量子效应。1995年5月在美国科罗拉多大学和美国国家标准局的联合天体物理实验室（JILA）里首次被人们观测到。不久以后，Rice大学和MIT的研究小组相继报道了类似的发现。在1995年底,这个重要发现被国际合众社评为“十大国际科技新闻”。人们宣称,“终于得到了物质的第五种状态”─宏观量子态。第30页，课件共103页，创作于2023年2月一、玻色－爱因斯坦凝聚上节讨论了弱简并理想玻色（费米）气体的性质，初步看到了由微观粒子全同性带来的量子统计关联对系统宏观性质的影响。在弱简并的情形下小，影响是微弱的。在本节中我们将会看到，当理想玻色气体的等于或大于2.612的临界值时将出现独特的玻色-爱因斯坦凝聚现象。这是爱因斯坦于1925年在理论上首先预言的。第31页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

考虑由N个全同、近独立的玻色子组成的系统，温度为T，体积为V。为明确起见，假设粒子的自旋为零，它服从下列玻色分布或写为

第32页，课件共103页，创作于2023年2月即要求对所有能级均有：两边取对数得：以表示粒子的最低能级，这个要求也可以表示为：这就是说，理想玻色气体的化学势必须低于粒子最低能级的能量。第33页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计显然，上式左边也应大于零。所以必有μ＜0(8.3.1)当时，上式可写为：

由玻色分布，粒子数密度可写为(8.3.2)第34页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

为方便起见,采用经典近似描述。则粒子能量在ε到ε＋dε范围内的量子态数为:系统的总粒子数为：粒子数密度为：(8.3.3)第35页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

由式(8.3.3)可以看出，等式左边是常数，所以右边T和μ的变化也应保持其积分结果为常数。由于μ是负值，当T升高时，μ降低（或绝对值增大）。反过来，μ随T降低而增加。当T降到某一临界值Tc时，μ将趋于零。此时的粒子数密度公式可写为：(8.3.4)第36页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

(8.3.5)利用积分公式代入上式，得令第37页，课件共103页，创作于2023年2月代入式(8.3.5)，得临界温度为:(8.3.6)分析:温度低于TC时会出现什么现象呢？前面的讨论指出，温度愈低时值愈高，但在任何温度下必是负的。由此可知在时，仍趋于-0.但这时（8.3.3）左方将小于n，与为给定的条件矛盾。第38页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

考虑到在低温下玻色子处在能级ε＝0的数目是不能忽略的,因此在T＜Tc时,应将式(8.3.4)改写为:(8.3.7)产生这个矛盾的原因是：我们用式（8.3.3）的积分代替（8.3.2）的求和。由于状态密度中含有因子，在将式（8.3.2）改写成（8.3.3）时，的项就被舍弃掉了。由式（8.3.2）可以看出，在以上为负的有限值时，处在能级的粒子数与总粒子数相比是一个小量，用积分代替求和引起的误差是可以忽略的；但在以下趋于-0时，处在能级的粒子数将是很大的数值，不能忽略。第39页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

现在来计算式(8.3.7)中的第二项。令x=ε/kT，并将式(8.3.5)代入，得:(8.3.8)

其中,右边第一项是温度为T时处在能级ε＝0的粒子的数密度；第二项是处在激发能级ε＞0的粒子的数密度。在第二项中已取极限。第40页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

将式(8.3.8)代入式(8.3.7),可求得温度为T时处在最低能级ε＝0上的粒子数密度：(8.3.9)

图8-3-3给出了n0/n与T/Tc的变化关系。可以看出，T＜Tc时，处在最低能级ε＝0的粒子数密度n0与总粒子数密度n接近，说明此时大部分粒子都处在最低能级上。此称为玻色－爱因斯坦凝聚，Tc称为凝聚温度。图8-3-3第41页，课件共103页，创作于2023年2月讨论：1.时，；时，，粒子几乎全部聚集于基态，称为BEC现象。

2.BEC现象是动量空间的凝聚，与真实空间不同。

3.产生原因：不受泡利原理限制，（所以费米系不可能产生BEC现象）第42页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

二、内能和热容量

在T＜Tc时，理想玻色气体的内能只是能级ε＞0的粒子的能量之和。计算如下:第43页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

定容热容量为:

（8.3.11）可得(8.3.10)利用积分公式

上式说明，理想玻色气体的定容热容量在T＜Tc时与成正比；在T＝Tc时，达到最大值,而在高温时趋于经典值。图8-3-4给出了二者的变化关系。第44页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

图8-3-4

理想玻色气体热容量随温度的变化曲线使人们想到了液氦的正常相和超流相之间的λ相变。由于图8-3-4中曲线的形状与λ相变相似，加之4He是玻色子，才使得人们猜测4He的λ相变可能是在粒子之间有相互作用情形下的玻色－爱因斯坦凝聚。

第45页，课件共103页，创作于2023年2月§8.4光子气体前面两节讨论了弱简并理想玻色气体的特性和时理想玻色气体出现的凝聚现象。所讨论的系统具有确定的粒子数。本节从粒子的观点根据玻色分布讨论平衡辐射问题。在平衡辐射中光子数是不守恒的。这是玻色统计的重要应用。第46页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

早在19世纪60年代，基尔霍夫就开始了对热辐射问题的研究。他引入了黑体概念，并利用热力学第二定律证明了黑体辐射（也即平衡辐射）的内能密度和内能密度的频率分布只与温度有关。1879年，斯忒藩（J.Stefan）仔细研究了当时已有的测量结果，得出了辐射的内能密度与绝对温度的四次方成正比的结论。

此后，人们又根据经典统计理论的能量均分定理讨论了这一问题，所得内能的频率分布在低频范围内与实验符合，在高频（紫外）范围与实验不符。第47页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

更为严重的是，根据能量均分定理，有限温度下平衡辐射的内能和定容热容量是发散的。这是对经典理论的严重挑战，历史上称之为“紫外线灾难”。

1900年底，普朗克在一次学术会议的演讲中首次引入能量子概念，并以此得出了一个能够完满解释实验结果的辐射能量分布公式，即著名的普朗克公式。本节根据量子理论，从粒子的观点出发，由玻色分布导出黑体辐射的普朗克公式，进而从粒子的观点研究平衡辐射的问题。第48页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

根据粒子观点，可以把空窖内的辐射场看作由大量近独立的光子所组成，并形象地称之为光子气体。每个光子具有确定的能量、动量和自旋。光子自旋量子数为1，相应于两个偏振的投影是+1和–1。光子的静止质量m为零，是玻色子的一种特殊情况。一、由玻色分布导出普朗克公式第49页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

因为m=0，所以有:(8.4.1)其中，c、p和ω分别为光速、动量和圆频率。按照相对论关系:

光子是玻色子，达到平衡后遵从玻色分布。由于空窖壁不断地发射和吸收光子，所以光子气体中的光子数是不恒定的。在导出玻色分布时只存在E是常数的条件而不存在N是常数的条件，因而只应引入一个拉氏乘子，而另一个拉氏乘子α＝0。第50页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

由于，这也意味着平衡状态下光子气体的化学势等于零。

根据式（6.2.16）在体积为V的空窖内，动量p到p＋dp范围内光子的量子态数为：(8.4.2)

上式中乘以2是考虑到了光子偏振的两个投影。将式(8.4.1)代入式(8.4.2)，得体积V内，圆频率在ω到ω+dω范围内光子的量子态数为：(8.4.3)第51页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

根据玻色分布,对于光子，每个量子态的平均光子数为：

因此，空窖内圆频率在dω范围内的平均光子数为：(8.4.4)第52页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

由于每个光子的能量为，在体积为V的空窖内，圆频率dω范围的辐射场能量（内能）为：(8.4.5)

式(8.4.5)称为黑体辐射的普朗克公式，是普朗克在1900年得到的，不过推导方法与上述方法不同，在推导该式时普朗克第一次引入了能量量子化的概念，这是物理概念的革命性飞跃。普朗克公式的建立是量子物理学的起点。它给出了辐射场能量按频率的分布，与实验结果完全符合。教材中图8.4画出了不同温度下上式的图形。第53页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

下面讨论两种极限情况：在低频、高温情况下：(8.4.6)式(8.4.5)近似为:

上式是瑞利（L.Rayleigh）和金斯（J.H.W.Jeans）公式，它是能量均分定理的结果，在低频下适用。第54页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

容易看出，根据式（8.4.6），在有限温度下平衡辐射的总能量是发散的（因为ω可取0→∞），此即“紫外线灾难”。在高频和低温情况下有此时，可将式(8.4.5)分母中的1略去，有：

这是黑体辐射的维恩（W.Wien）公式，在高频范围适用。第55页，课件共103页，创作于2023年2月此结论与维思1896所求得的结果一致，这一公式的实质是：，随着，。即的高频光子几乎不存在。这是由于在温度为T的平衡态下，要辐射出的光子的几率很小。第56页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

将式(8.4.5)对所有频率积分，可求得空腔内辐射场的内能。引入变量,上式化为:第57页，课件共103页，创作于2023年2月利用有故第58页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

积分，得：或写为:(8.4.8)

上式表明，空窖辐射的内能密度与成正比，这与热力学的结果一致。不同的是，这里给出了比例常数a的具体数值，而在热力学中则只能由实验确定，这正是统计物理优越性的表现。第59页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

二、维恩位移定律

从式(8.4.5)可以看出，普朗克公式中包含了与成正比和与ω指数反比两个因子，所以辐射场的能量随ω分布可能存在一个极大值，可用如下方法求得：由得第60页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

上述方程可由图解法或数值法求出，其解为:

称为维恩位移定律。它指出当黑体温度升高时，辐射能量最大频率将向高频方向移动，或者辐射能量最大的波长将向短波方向移动（如图）。通过测量，可以确定辐射体的温度，光测高温计就是根据这一原理制成的。(8.4.9)第61页，课件共103页，创作于2023年2月第62页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

例8-1试求光子气体巨配分函数的对数,并利用热力学公式求辐射场的内能、压强和熵。解:光子是玻色子，服从玻色统计。考虑到光子数不守恒，化学势μ=0(或α=0)。利用式(8.1.3)，有(8.4.11)为方便起见，用积分近似处理。

光子在体积V内，圆频率在ω到ω+dω范围内的量子态数为:

(8.4.12)

第63页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

作对应可将式(8.4.11)改写为:

(8.4.13)

对于粒子数可变系统,其特性函数是巨热力势,故先求出巨热力势,然后再求其它量更方便一些。巨热力势为：(8.4.14)第64页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

引入积分变量

式(8.4.14)可写为：(8.4.15)利用分部积分，上式中的积分可变为:(8.4.16)

第65页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

利用巨热力势的特性函数性质，并考虑到光子气体的μ=0,可方便的得到；(8.4.18)其中(8.4.17)

代入式(8.4.15)，得：第66页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

比较式(8.4.19)和(8.4.20),得:

上式在热力学中是作为实验结果引入的，而统计物理可以导出这一关系。另外，在习题7-2中我们曾用不同的方法得到了上式。这里，我们用统计物理的规范方法得到了。(8.4.19)(8.4.20)由此可知，光子气体的熵随而趋于零，符合热力学第三定律的要求。第67页，课件共103页，创作于2023年2月§8.5金属中的自由电子气体

前面讨论了玻色气体，现在转而讨论费米气体的特性。如前所述，当气体满足非简并条件或时，不论是由玻色子还是费米子组成的气体，都同样遵从玻耳兹曼分布。弱简并的情形初步显示了二者的差异。本节以金属中的自由电子气体为例，讨论强简并或情形下费米气体的特性。第68页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

一、金属中的自由电子气体模型

金属是由晶格结点上的离子实和在整个金属中运动的价电子组成的。如果假定离子实形成的势场是均匀的，并且电子间的库仑相互作用可忽略，就可把金属中的自由电子看成是封闭在金属体内的近独立粒子，并形象地称之为“电子气体”。由于电子是费米子，故遵从费米分布。本节将利用费米分布讨论金属中电子气体的热力学性质。1.模型第69页，课件共103页，创作于2023年2月NaNa+e价电子电离Na+Na+Na+Na+Na+库仑作用使离子和电离电子（公有化电子）结合成固体。

原子结合成金属后，价电子脱离原子可以在整个金属内运动，形成公有电子。失去价电子后的原子成为离子，在空间形成规则的点阵。在初步的近似中人们把公有电子看作在金属内部作自由运动的近独立粒子。金属的高导电率和高热导率说明金属中自由电子的存在。第70页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计2.自由电子气体的特点：

m很小，很高，常温下，自旋为1/2，所以是高度简并的费米气体。3.金属中的自由电子气体模型与经典理论的困难经典统计一个自由电子对热容量的贡献实验结果除在极低温度下，金属中自由电子的热容量与离子振动的热容量相比较，可以忽略。第71页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计2.下面我们求出体积为V，能量在ε到ε+dε范围内电子的量子态数：(8.5.1)1．温度为T时，能量为ε的一个量子态上的平均电子数为：二、绝对零度时自由电子气体的性质

这是经典统计理论遇到的又一困难，1928年索末菲根据费米分布成功地解决了这个问题。本节研究自由电子气体对金属的的贡献。考虑到电子自旋在其动量方向上的投影有两个可能值，则体积为V、能量在ε到ε+dε范围内电子的量子态数为：第72页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计3．在体积V内，能量在ε到ε+dε范围内的平均电子数为：(8.5.3)(8.5.2)即：第73页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

4．金属中的价电子总数(8.5.4)对上式积分得总电子数N的表达式若N、V、T一定，则由上式可求出自由电子的化学势：定性分析：对自由电子气体，由于，即，所以有。第74页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

5．T＝0K时的电子分布f=1ε＜

f=0

ε＞(8.5.5)

用表示0K时电子气的化学势，此时分布同时受两个约束①最小作用原理（能量应取最小值）②泡利原理，所以其分布为:第75页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计图8-5-1分布如图8-5-1所示：

如图8-5-1所示，式(8.5.5)表明T=0K时，在ε＜

的每一个量子态上，平均电子数为1；而在ε＞

的每一个量子态上，平均电子数为零。此分布可以这样理解：讨论：在0K时电子将尽可能占据能量最低的状态，但泡利

不相容限制每一量子态最多只能容纳一个电子，因此电子从ε=0的状态依次填充至为止，是0K时电子的最大能量（费米能量）。因此T=0K时，自由电子的分布状态称为完全简并态。第76页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

6．电子的费米能

显然，是0K时电子的最大能量，也称为费米能，下面我们来求出费米能：第77页，课件共103页，创作于2023年2月故：分析：对于电子较大，所以较大。

也称为费米能级，它表示T=0K时电子的最大能量，用表示。大小的估计：第78页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

以Cu为例，Cu的电子密度是8.5×,代入式(8.5.7)，得≈1.1×J。

一般气体的能量是kT数量级，若取T=300K,

则kT=4.14×J，

二者之比kT/

约等于1／260。可见，即使在绝对零度，

的值还是相当大的。第79页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

7.费米动量(8.5.8)

其中，是0K时电子的最大动量，称为费米动量。令则有：第80页，课件共103页，创作于2023年2月若在体积V内讨论电子在动量空间的分布时，动量空间中的相体积为。所以自由电子在动量空间的分布范围是以为半径的球，称为费米球。由此可知，T=0K时，自由电子气体在动量空间的分布为：①费米球面以内的等能面的能级上填满了电子。②费米球面以外的等能面的能级上空看。费米面费米球第81页，课件共103页，创作于2023年2月7．电子气的总能量

T=0K时电子气的总能量应等于电子总数乘以每个电子的能量ε。由式(8.5.6)乘以ε，得：第82页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

(8.5.9)

由上式知，绝对零度时电子的平均能量是.第83页，课件共103页，创作于2023年2月8.求完全简并压强P

根据：第84页，课件共103页，创作于2023年2月

或：

~以铜例~9.讨论:例：以铜金属中的自由电子气体为例时，实验表明由此求得：①第85页，课件共103页，创作于2023年2月a.常温下：可见

,很大.b.常温下：高度简并的费米气体.②时，电子的平均速率第86页，课件共103页，创作于2023年2月这说明，即使在T=0K时，自由电子仍然以极高速率运动，这是泡利原理迫使的结果。③原因是N/V很大，m很小，与电子和正粒子间的静电作用引力平衡。第87页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

三、T＞0K时电子气性质的定性和半定量解释1.T＞0K时自由电子的分布(8.5.10)f＞1／2f＝1／2f＜1／2

图8-5-2

对于T＞0K,由下式知，f有如下三种可能：第88页，课件共103页，创作于2023年2月在的每一量子态上平均电子数大于1／2；

在的每一量子态上平均电子数小于1／2。

上式表明，T＞0K时：在的每一量子态上平均电子数为1／2；注意随按指数规律变化。因此，只在范围内有明显变化，若时，随的增加或减小迅速趋于零或者1，所以分布如上图示。第89页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

产生这一分布的物理机制是：T>0K时为热激发态。但热运动所能提供的能量量级为KT，所以热激发只能将费米能量曲面附近的电子激发到距它为KT附近的能级。[或者将以下距为KT处的电子激发到附近]

第90页，课件共103页，创作于2023年2月15七月2023第八章玻色统计和费米统计

我们也可以这样理解：

在0K时电子占据了从0到的每一个量子态。温度升高时，电子有可能要跃迁到能量较高的未被占据的量子态去，但处在低能态的电子发生跃迁的可能性极小。所以，绝大多数状态的占据情况实际上并