2014全国分类汇编理解答部分圆锥曲线

Ey22pxp0Ey22px

0) 过原点O的两条直线l1和l2

l2（2）过原点O作直线l（异于l1,l2）E1E2分别交于C1,C2ABC与ABCSS,S111

22

【来源】2014理19．（本小题满分13分).y

,A(x,y)=(2p1,2p1)y22p

11

k 同理A2p22p2，B2p12p1B2p22p22k

1k 2k 2p12

1

k2

k2 2 2 1 k k

k k 同理

AB

k

2222221已知椭圆Cx22y2求椭圆Cx2y22【来源】2014理19.（本小题共14分2（I）椭圆的标准方程为：x2y21a2

b ，则

c

，故离心率22ec 2222（II）由题可得，直线OA的斜率存在，设为k，则直线OAykxOAOB1k0A2,0B0,2ABxy20xy+2=0AB的距离均为2ABx2y222k0时，直线OBy1xky

联立

或 y1

1 12k2 1

12k2联立 y

B2k,2 A的对称性，那么不妨设点

进行计算，于是直线AB方程为111 12kk12ky2

x2k x2k 212212k

1k12kk

12k2x1

12k2y+2k22AB的距离d

2k22k2k12k +1k12k 2 22

x2y22ABx2y22

Ea2b21(a0,b0的两条渐近线分别为l1y2x,l2y2xEO为坐标原点，动直线l分别交直线l1,l2AB两点（AB分别在第一，四象限OAB8lE？E的方程；若不存在，说明理由．【来源】201419.（13分（I）ba

( a

c2a2

5,e （II）由（I）得b24a2

1设直线lxmyt，由题意1m1 y由xy

y2t 1

2t,12m12设直线lx轴交于点C12

则

OCy1y

t

t24(14m2)12111211

,(4m21)y28mty4(t2a2)

y 14m210,直线与双曲线有且仅有一个公共点当且仅当V64m2t24(4m21)(t2a24m2a2t2a20即4m2a24(14m2a214m2a240,a2因此，存在总与直线

有且只有一个公共点的双曲线E，双曲线的方程是 已知椭圆C:a2b21(ab0的一个焦点为(50)，离心率为3CP(x0y0PCP的轨【来源】2014理20（本小题满分14分所以a3,bx2y2

5,ec (2P点为yy0kxx0yy0kxx022由99

y2141

2

18k(y0kx0)x9y0kx0

0 得9x2k22xyk4y 0 设两切线的斜率为k1k2，因为两切线垂直，所以k1k24y故kk 01，得x2y201 9x 0 经验证(3,2),(3,2),(3,2),(3,2x2y2 Px2y2 xOyMF10y轴的距离多1M的轨迹为C．求轨迹为C设斜率为k的直线lP(21l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．21（(x1)2（Ⅰ）M(x,y，依题意得|MF|(x1)2

|x|y22(|x|xM的轨迹Cy2

xxM的轨迹C中，记C:y24x

:y0(x0) 依题意，可设直线ly1k(xy1k(x由方程组y2

可得ky24y4(2k1) 当k0y

y1代入轨迹Cx14故此时直线l:y1与轨迹C恰好有一个公共点(114当k0时，方程①的判别式为16(2k2k1)． 设直线l与x轴的交点为(x0,0)，则y1k(x2y0

2k1 k若

由②③解得k1，或k1x 即当k(,1U(1,时，直线l与C没有公共点，与C 故此时直线l与轨迹C

k 若

或

{ }，或 k0 即当k 1时，直线l与C只有一个公共点，与C有一个公共点{ k[1,0时，直线l与C有两个公共点，与C 故当k[1,0) 1时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点1, 若

由②③解得1k1，或0k1x 即当k(1,1U(0,1时，直线l与C有两个公共点，与C 故此时直线l与轨迹C（1（2,,2当k[1,0) 1时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k(1, 1时1, 直线l与轨迹C

) 7O为坐标原点，椭圆C1:a2b21ab0F1F2 e1C2:a2b21F3F4e2e1e223 3求C1,C2F1yABMAB的中点，当直线OM与C2P,Q两APBQ面积的最小值．【来源】201421（13分

x22y132y13

x22y12y1

（1）由题可得e1

b1a2,ba2a2

,

a2a2

,因为e1e22a2a2

,

1

1a22

a2a2a2C

31a2

2b且b1a

2,所以椭圆1

双曲线2

2

xny联立直线与椭圆方程可得n22y22ny10,

A

n22

,

,n2Mxy

上,

,因 为焦点弦,所以根据2 2

n22

n2

2242n222点弦弦 可

AB2e1xM

n22

n2

,PQ的方2yyMxyn2

n

,联立直线PQ与双曲线可得

2x2

,y2

则4n20 ,所

P,Q的坐标为4

4

44 4

,

,4

44

P,Q到直线AB d1的两端所以

d1d2

2 42 4 n284

4 n284

,P,Q44 n28422n2n24 12S12

ABdd8

n2n2454

,因为44

0,所以当

4n2时,

面积取得最小值为4

F,

x2y2

(ab 中, 2分别是椭圆

22422若点C的坐标为(,,3F1CAB求椭圆离心率e

,17（

yBCOyBCOxAyBCOxA 4 A(yBCOxAC(,3 (17题

+y

1，所

1=22又a=BF2 ，所以b+c2

x x2，b=1,c=

+y=2

=

（2）将直线BF与椭圆进行联立ï

得

x= y

=1 =1 2 可得A点坐标为a

2+

2+c2，则C点坐标为

2+c2

2+所以

=a+c2=

3，又3

=-b，由FC^AB得， a +a2+

3ac+

3a2c+

b)=-c即b4=

3a2c2+c4，所以(a2

3a2c2+c4，化简得，e=c 8.Cyx28.Cya

AFxABOBBF//OA（O为坐标原点CCP(xy)(y0lx0xyy1AFM

x3NPC2

【来源】201420（13分tA(c, B(t,-aca1c t1 c3t a321x2y213A(2,23

x0xyy

F(2,： M(2,2x0

x0

N( 2MF

22x03y222x03y2(x 2x0 2 22x0x

22222x0332x0 013

x2y24x轴正半轴，y 3切点为P（如图，双曲线C1：a2b21过点P且离心率 3求C1椭圆C2P且与C1l过C2的右焦点且与C2A，B两点ABP，求l的方程．yyPOx20（（x

yy

00yy＝x0(xx0y0y0x0y

y0xx轴正半轴，ys1

44 4x2y22x x

2y02 2

x0 0 S4P( 33

，解得

1,b

所以双曲线

x 1（Ⅱ）由（Ⅰ）可知双曲线C1的焦点331

，即为椭圆C2可设椭圆C2

21b1b1b把P(2，2)代入可得 21，可得b233 所以椭圆C2l3xmy3

1y21 xmy

3，（，），（x，y） 1联立x2y2 1

，化为

2)y

yy23m,yy 2 1

2xxmy

34 342

26x1x2my1y2

2

1(

x1x2

62m226m 6解得m361或m(6 因此直线l的 ：x(361)y3＝0或x(61)y 21（已知抛物线Cy22pxp0Fy4yP，与C交点为Q，且|QF|5|PQ|．4求CF的直线l与CA、BAB的垂直平分线l与C相交于M、N两点AMBN四点在同一圆上，求l的方程．21（（1）设Qx4y22px

80PQ8QF

p

p8 p858p2（舍去）p2 所以C

y24x ……5依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l

xmy1m0．y24xy24my40 Ax1y1Bx2y2y1y24my1y24 ABD2m212mAB

m2ym2

4m2又l的斜率为m，所以l

x1y2m2mmy24xy24y42m230mMxyNx

yy4y

3MNE22m232MN

1y31

m4m2

．……10MNABA、M、B、NAE=BE1MN21414 1414

AB+DE MN4m2

++

++

4m2122m2= 化简得m210，解得m1m所求直线l

xy10xy10 ……12FFx2y21ab0的左右焦点，MC上一点且MFx MN3C4MN在y2

5F1N20（ 由椭圆定义可得：c

c

，解得a2

（II）MN的斜率必存在，且不为0，设直线MN

则 3m2

（1）,y1y2

12m23m2

,y1

（1（2（3）A02

的离心率

AF23O3EA的动直线lEP,QOPQl20（3（1）Fc,0223，得c3ca

3，所以a2b2a2c22E

4

（2）依题意设直线lykxykx2

x2y4y

1当164k230，即k234

8k24k244k24k2k2

x1x2

k214k24k2k2又点OPQk2

，所以OPQ 44k2SOPQ2dPQ

4k2OPQOPQ

4k4k2

t，则t0

t2

tt7因为t44，当且仅当t2，即k 时等号成立，且满足7 所以当OPQly

7x22已知抛物线Cy22pxp0F，A为CA的直线l交CBxD，且有|FA||FD|A3时，△ADF求C若直线l1l，且l1和CE（21（（Ⅰ）A的横坐标为3AAGx轴于GyA GAF3yA G2FDAF32FG

FD312 12FG323p3p，p2，C:y2 （Ⅱ（ⅰ）Dx1

2Ql

k1

2又l1与CExEyE11x1y2，x'111

1

2，

2 E1 4 E

4 x

E , ,A1,y1 4 y

y y y y2lAE:yy1 1x1 1 y42y41y

41y21

y y2（ⅱ）lAB:yy11x12 4x即

yy1y4y2y28yy28y

yy 1yy 111

y

11118 8 EAB8

112 2 411S

ABd

2y1

y12时，128128

如图，曲线C由上半椭圆C1a2

1(ab0,

和部分抛物线Cyx21y0C1,C2AB，其中C1的离心率为3 a,bB的直线l与C1,C2P,Q（ABAPAQ，求直线yyPAB Q【来源】2014陕西理（13分设C的半焦距为c，由c 3及a2c2b21得a2 a2，b12

4

，直线lxyk(x1)(k1代入C的方程，整理得(k24)x22k2xk24 1P的坐标为(xp，ypQ直线lB，x1（*）k2 由求 ，得xpk24，从而ypk24k2P的坐标为(k2

8k)2 k2yk(x1)(k同理，由yx21y

，得点Q的坐标为(k1，k22k)．

4AQk0k4(k2)0，解得k83k83故直线l

y8(x1)3解法二：若设直线l

xmy1(m0在平面直角坐标系xOy中，对于直线laxbyc0P1(x1y1)P2x2y2)，记ax1by1c)(ax2by2c．若0P1P2被直线l分隔．若曲线C与直线l没有公共点，且曲线CP1P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．ykxx24y21的分隔线，求实数kM到点Q(0,2)y轴的距离之积为1ME，E的分割线．538（1）由题得，2(20A(1,2B(1,0xy10分隔．（2）x24y2即

14k2x210 y∴14k20或

14k2

，∴k(,

]U[, 4(14k2) x2(y（3）x2(yM

E:x2(y2)2

1,x0 ykxx2(y2)2

x2(k21)x44kx34x210 yF(x)k21)x24kx4G(x)

1yF(xF(x)G(x

x0x0Ex2y2)2∴110

1x0E上找两点(1,2),(1,2x2(yx0E的分割线．（文科x2(y

xM

E:x2(y2)2

1,x0x0Ex2y2)2

1x0E上找两点(1,2),(1,2∴110x0E22

y yCFC的左焦点，Tx3FTFC证明：OTPQ（O为坐标原点|TF|PQ|T【来源】2014理（1）2c4,ca 3b,a23b24b22,a2y22y2椭圆C的标准方程：x m （2（i）F(2,0),T(3,m),kFT32m,kPQmy1x

PQ:y xm 13x212x126

m2

m23x212x126m2xx

xPxQ

m212m2y

1

21

21

x4

m2PQ

6，2m

OT:ym

6m

OT

22320

m23

m23m2m2

3

m2PQt

m2

6m2126 m126 m2m2m2 m2 m212+4m2m2 t2m2 当且仅当

=

时取到等于号，m2

=4，m21=2，m2=1 a2b21（ab0）F1F2AB32AB 32l（18（32查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能13分．32F2的坐标为c,0．由AB

a2b23c22b2a2c22

12a23c，所以2a2c23c2a2

2c，e 22所以，椭圆的离心率e 22解：由（Ⅰ）知a22c2b2c2

FPFB0，即x0ccy0c0．又c0 x0y0c Px y00 由①和②可得3x24cx0Px4cyc P的坐标为4cc

33

4c

cx设圆的圆心为Tx1y1，则x1

2c，

y 2c

r

5c x