复变函数课件工科

我们从导数与积分的角度研究解析函数均获得成功．于是，我们自然会想从数学分析中选取别的研究角度如幂级数来讨论解析函数．实践证明，这种选择是成功

的．我们先讨论解析函数的泰勒级数和罗伦级数展开式。第四章复级数首先介绍复数列和复数项级数收敛的概念和判别法，以及幂级数的有关概念和性质。然后讨论解析函数的泰勒级数和罗伦级数展开定理及其展开式的求法，它们是研究解析函数的性质和计算其积分的重要工具。§1复数项级数和幂级数一、复数列的收敛性及其判别法二、复数项级数的收敛性及其判别法三、幂级数及其收敛半径四Δ、幂级数的运算性质研究级数和序列的基本性质，先从复数序列开始。一、复数序列的收敛性及其判别法：复数序列就是：这里

z

n是复常数，an

=

Re

zn

bn

=，I该m序zn列简单记为 。根据{zn

}

的有界{|性zn来|}定义 的有界性。{zn

}=

a2

+

b2

i

,

,

zn

=

an

+

bni,,(1.1)z1

=

a1

+

b1i,

z2定义1

设a一复常数，如果对任意e

，>

存0

在|

z

n

-

a

|<

eN

=N

(e使)>得0当时，n

>有N则称{zn极}

限是

，a或者lim

z

n

=

an

fi

¥收{z敛n

}

且收敛到 ，记a作复数列的极限n

fi

¥lim

zn

=

a-

a

|=

0n

fi

¥lim |

z

n定理1复数列收敛与实数列收敛的关系定理2

复数序列

zn

=

a

n收+敛bn到iz0

=a0的+充b0

i分必要条件是：0nlim

a

并=且an

fi

¥lim

b

n

=

b

0n

fi

¥nfi

¥证明：如果

liman=

a

,

那末对于任意给定的e

>0,

能找到一个正整数N

,使得当n

>

N

,(an

+

ibn

)

-(a0

+

ib0

)

<

e,从而有£

(an

-

a0

)

+

i(bn

-

b0

)

<

e,an

-

a0nfi

¥即

lim

an

=

a0

.=

b0

.n

fi

¥同理可证：lim

bn2

20a

-

a

<

e

,

b

-

b

<

e

.n

0n当反之,

如果

lim

an

=

a0

,

l，im那b么n

=

b0nfi

¥

nfi

¥n

>

N

,从而有an

-a

=

(an

+

ibn

)

-(a0

+

ib0

)lim

an

=

a

.nfi

¥=

(an

-

a0

)

+

i(bn

-

b0

)£

an

-

a0

+

bn

-

b0

<

e,该结论说明:

可将复数列的收敛性转化为判别两个实数列的收敛性.所以解(1)令然an

+

bni

=n

+1，显an

=

0,

bn

=nn+1

，则nian

fi

0

，bn

fi

1故当

n

fi

¥

，

an

fi

i

。例1

判别下列数列的收敛性和极限（3）an+1n(1+

i)nn（1）

a

=

ni

（2）

a=

cosn=

e

npinan

fi

0n

fi时¥

，

|

a，n

因|fi

此0(2)显然当an

=

cos

np

,

bn

=

0，并且

{an

}

发散，所(3)由于以该级数发散。因为a

n

=

(1

+n1nb

=

(1

+

1

)

sin

p

.n

nn

nn所以

a

=

(1

+

1

)

cos

π

,而nfi

¥lim

bn

=

0nfi

¥lim

an

=

1

,解i

π1例2

数列an

=

(1

+是否)e收n

敛？ni

π)e

n

=

(1

+),+

i

sin)(cos1n

nnpp1n所以数列an

=

(1

+nfi

¥i

π)e

n

收敛,

且lim

an

=

1

.二、复数项级数的收敛性及其判别法所谓通项为复数an

=an的+复bn

i数项级数就是¥an

=

a1

+a

2

+

+

an

+n=1前n

项的和nSn

=

ak

=

a1

+

a

2

+

+

ank

=1称为级数的部分和.(1.2)记为如果该部分和数列{Sn发}

散，则称复数项级数发散。说明：与实数项级数相同,判别复数项级na

=

S¥n

=1级数收敛与发散的概念如果该部分和数列{S收n}

敛到 ，则称上述复数项级数收敛，且称S为该级数的和，=

S

.n数敛散性的基本方法是:利用极限lim

Snfi

¥¥例如,

级数

zn

:n=02n-1sn

=

1

+

z

+

z

+

+

z由于当

z

<

1

时,(z

„

1),=

1

-

z1

-

znnfi

¥

nfi

¥1

-

z1

-

znlim

Sn

=

lim

=,1

-

z1所以当

z

<

1

时级数收敛.复数项级数与实数项级数收敛的关系(定理3)¥

¥定理3

级数an

=(an

+ibn

)收敛的充要条件是:n=1

n=1¥

¥

an

和

bn

都收敛.n=1

n=1证明 因为

Sn

=

a1

+

a

2

+

+

an=

(a1

+

a2

+

+

an

)

+

i(b1

+

b2

+

+

bn

)=

s

n

+

itn

,¥

¥

an

和

bn

都收敛.n=1

n=1复数项级数的收敛问题两个实数项级数的收敛问题说明¥n=1根据{Sn

}极限存在的充要条件:{s

n

}和{tn

}的极限存在.即a

n

收敛的充要条件是¥(1

+

)是否收敛？n级数

1

i解发散;1因为¥n=1

n¥n=1

n=1na

=n收敛.12¥¥

n=1

n=1nb

=n所以原级数发散.练习n时fi，¥¥n=1级数收敛的必要条件定理4

如果级数

收a

n

敛，那么当a

n

fi

0

.¥

¥因为实数项级数

an和

bn收敛的必要条件是n

=1

n

=1lim

an

=0

和lim

bn

=0.nfi

¥

nfi

¥¥所以复数项级数an收敛的必要条件是n=1nfi

¥lim

an

=

0an

fi

，0

该(nfi条¥件)只是级数收敛的注意：条件an

fi

0必要条件，而不是充分的，比如级数 尽管¥通1n=1

n项 ，但1是它是发散的。fi

0n重要结论:n=1¥nfi

¥lim

a

n

„0

级数a

n发散.in例如，级数=

lim

ein

„

0,nfi

¥nfi

¥e

:

因为liman=1不满足必要条件,判别级数的敛散性时,可先考察¥n所以原级数发散.nfi

¥liman

?=

0定理5

如果¥a绝n

对收敛：如果级数n=1收敛.

|

a1

|

+

|

a

2

|

++

|

a

n

|

+绝对收敛级数的性质(定理5)¥绝a

n对收敛，那么n=1¥收敛a。nn=1证明 由于,22¥¥nnn+

b

a

=

an=1

n=1而,2222nnnn

nn+

b+

b

,

b

£

aa

£

a¥

¥因此，

an

及

bn

都收敛

.n

=1

n

=1根据实数项级数的绝对收敛性,知¥

¥

an

及

bn

也都收敛.n=1

n=1¥从而an

是收敛的.n=1说明n由

a

2

+

b2

£

a

+

b

,n

n

nnknnk

k

k+

b

,a

2

+

b2

£

a知k

=1

k

=1

k

=1¥

¥所以

an与

bn绝对收敛时,n=1

n=1¥

¥

an与

bn绝对收敛.n=1

n=1¥¥an也绝对收敛.n=1综上可得:an绝对收敛

n=1例1

当

|

z

|<时1，级数例2

判别下列级数的收敛性(3)故该级数不仅收敛而且是绝对收敛。(3)其实部级数为，虚部级数为解(1)由

|an

|不=1趋于零，故由推论得该级数发¥绝对z

n收敛，并且n

=

0=

1-

zkz¥k=01¥

(1)

n+i

n(2)¥

n=1

n-i

n=1

2n

i¥(-1)n=1

nn2

-n+i

n2

n散。(2)

|=,其1绝对值级数的公比为

，|

a21

<

1¥1(-1)n=1n-1n¥(-1)n=121nn它们通项的绝对值当 时是单调下降，并且趋于零，故由交错级数的判别法知它们是收敛的，从而原复数项级数是收敛的。例3n=1n¥

2n+1级数

1

+

i

是否收敛？解级数满足必要条件,=

0,1

+

i

2n+1即limnfi

¥n但¥=

n=1¥n=11

+

i

2n+11

+

(-1)n

inn1

12

3+

-)

=1

12

3+ +)

-

i(1

-=

(1

+发散,1n因为级数¥n=1收敛,原级数仍发散.(-1)n

1虽¥n=1n¥n=11n¥n=1(-1)+

in

1nn!是否绝对收敛？¥级数n=1(8i)n例4收敛,n!8n¥n=1故原级数收敛,且为绝对收敛.n!

n!8n(8i)n=

,因为所以由正项级数的比值判别法知:解¥因为n=1n(-1)n

¥收敛;

1

也收敛,2nn=1故原级数收敛.为条件收敛,(-1)nn=1但由于¥n所以原级数非绝对收敛.n=12n¥

n级数

[

(-1)

+

1

i

]

是否绝对收敛？n例5解1.幂级数的概念设

{

fn

(z)}

为区域

A

上的复变函数列,

则称为复变函数项级数。级数前n项的和Sn

(z)

=

f1

(z)

+

f2

(z)

+

+

fn

(z)称为该级数前n项的部分和.¥

fn

(z)

=f1

(z)

+

f2

(z)

++

fn

(z)

+n=1三、幂级数及其收敛半径(1.3)收敛(于称

S

(

为z

)级数¥n=1如果

fn在(z)0S

()z，)则称级数(于

S

(）z

)，记为nf

(z上)在¥n=1¥

fk

(z)

=

S(z)k

=1¥的fn和(z)函数。n=10A上每一A

点0，级数z0收敛Az

˛

A0¥fn(z0)n=1得到的函数项级其所k

=0其中z为简般情形是一幂级数，即幂级数为k

kck

(z

-

z0

)

=

c0

+

c1

(z

-

z0

)

++

ck

(z

-

z0

)

+是复变数，系数

c是复常数k

.便，下面只讨论 的情形，即有结果可通过变量替换 来推广到一0k数就¥k-1k-1当f

(z)=c(z

-z

),(k

=时，1,2,3)无法显示该图片。(1.4)z0

=

00kkk1

kc

z¥k

=0=

c

+

c

z

++

c

z

+V

=

z

+

z0我们知道在在一般情况下，级数存在一个圆 在该圆外部发散，而绝对收敛呢？是否内部无法显示该图片。(1.5)1zk¥, |

z

|<

1,=

1

-

zk

=0发散，|

z

|‡1.|

z-z0

|=R

,00

10kkk¥c

(z

-

z

)=

c

+

c

(zk

=0-

z0

)

++

ck

(z-

z

)

+Abel第一定理定理6

如果幂级数在处z0

收„0敛，那么对于满足：的任何点z，幂级数而且是绝对收敛。在该点不仅收敛，nnc

z¥n=0nnc

z¥n=0|

z

|<|

z0

|证明nn

0c

z¥n=0因为级数n

0nfi

¥收敛,

有

lim

c

zn

=

0因而存在正数M,

使对所有的n,<

M,nn

0有c

z若

z

<

z0

,0=

q

<

1,zz则z0nn

0c

zn

=

c

z

nnz

n由正项级数的比较判别法知:绝对收敛.

另一部分请课后完成nnc

z¥n=0故级数¥nc

z

=

c

+

c

z

+

c

z

2

+

+

c

z

n

+

0

1

2

n

nn

=0收敛.<

Mqn

.Abel第一定理推论推论

若级数满足|

z

-

z0

|>|

z1

-

z0

|的z处发散．nc

(z

在0-

z点)

发散，z1

则它在¥

nn=0收敛半径与幂级数相对应，作一实系数的幂级数：定理7设级数（1.6）的收敛半径为R,按照不同情况，有：（i）如果0

<

R，<

那+¥么当

|时z

-，z0级|<

R数发散；20

1

2kkk|

c

|

xk++

|

c

|

x

+¥k

=0其中x为实数。=|

c

|

+

|

c

|

x+

|

c

|

x0(1.6)kk0c

(z

-

z

)¥k

=0kz

)k

绝0对收敛；当

|时z

-，z

级|>数Rc

(z

-¥k

=0k0c

(z

-

z

)

k¥k

=0在复平面上的每一点绝对收敛；（iii）如果 ，那么级数在复平面R

=

00上除去

z

外每点均发散。k0c

(z

-

z

)¥

kk

=0kk0c

(z

-

z

)（ii）如果

R

=，+¥那么级数

¥k

=0可能发散，也可能收敛。求级数的收敛半径归结为求级数定理

7

中的数

R

(0

<称R

<为¥

级数

的的收敛半径。kc

(z

-

z

)在定理7

的情况（i）中，当

|

z

-

z0时|=，R级数¥

k

0k

=0k0c

(z

-

z

)

k¥k

=0k0c

(z

-

z

)

k收敛半径。|

z

-z0

|称<R为它的收敛圆盘。¥k

=020

1

2=|

c

|

+

|

c

|

x+

|

c

|

xkkk|

c

|

xk++

|

c

|

x

+¥k

=0的收敛半径当0

<l

<时+¥，级数当

l

=，0

R；=

+¥当l

=

+时¥

，

。(1)(3)lR

=

1k

fi

¥(2)

l

=

limc

kc

k

+

1kl

=

lim

k

|

c

|k

fi

¥l

=

limk

fi

¥k|

c

k

|kk0c

(z

-

z

)定理8

如果下列条件之一成立，那么¥k

=0收敛圆与收敛半径对于一个幂级数,其收敛半径的情况有三种:(1)

对所有的正实数都收敛.由Abel定理:级数在复平面内绝对收敛.z2

zn例如,

级数1

+

z

+

22

+

+

nn

+

对任意给定的

x

,

则从某个n开始,

有x

<

1

,n

2于是nnxn

1

n<

2

,

该级数对任意的实数x

均收敛.该级数在复平面内绝对收敛.(2)对所有的正实数除z=0

外都发散.此时,级数在复平面内除原点外处处发散.(3)既存在使级数发散的正实数,也存在使级数收敛的正实数.设

z

=

a

时,级数收敛;

z

=

b

时,级数发散.

如图:例如,级数1

+z

+22z2

+

+nnzn

+当

z

„

0

时,

通项不趋于零,故级数发散.xyoR收敛圆收敛半径幂级数¥n=0nnc

z的收敛范围是以原点为中心的圆域.b11a.

.

.

.b以z

=a

为中心的圆域.问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?事实上，在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一般的结论,要对具体级数进行具体分析.因此，幂级数¥n=0n

nc

(z

-

a)的收敛范围是例题求收敛域常应用到的方法——变量替换法。例1

求下列幂级数的收敛圆及其收敛区域。解 （1）令x

=(2+i)z2

，则由于n

2nn=0¥（1）(2+i)

zn=1in2¥(z

-i)2n+1（2）n

2

n|

x

|<

1,n¥n=0(2

+

i

)

z¥n=0

11

-

x

,=

x

=

发散，|

x

|‡1.得其收敛域为|

x

|=|

2

+i

||

z

|2<1,

即它的收敛圆域是

|

z

|<

1

而且在收敛的圆周上处处发散的。4

5n容易发生错误：c

=(2+i)n

，而得5R

=

1（2）令x=(z，-i)2则得时，绝对收敛。由定理8可求出：上式右端级数的收敛半径R=1，并且在

|

x

|=的1内部是绝对收敛的，因此原级数在

|

z

-