涡度方程和散度方程

涡度方程和散度方程第1页，课件共25页，创作于2023年2月涡旋运动位势运动涡度散度涡度方程散度方程大气原始方程组的变形方程2第2页，课件共25页，创作于2023年2月§5.1环流定理1、速度环流：指速度场中某一有向闭合曲线上的速度切向分量沿该闭合曲线的线积分。

绝对环流随时间的变化率称为绝对

环流的加速度。在实际问题中，我们更感兴趣的是绝对环流随时间的变化及造成环流随时间变化的物理过程和因子。为此，首先要导出绝对环流定理。3第3页，课件共25页，创作于2023年2月不考虑摩擦力的绝对运动方程为：对闭合曲线L，取上式环流积分=0绝对环流加速度＝绝对加速度的环流(5.1)4第4页，课件共25页，创作于2023年2月(5.1)式等号右边第2项为零，因为：可得绝对环流定理绝对环流的加速度等于封闭曲线L所包含的力管力管项5若力管项为零，则绝对环流守恒第5页，课件共25页，创作于2023年2月2、力管项存在的条件及其物理意义利用Stokes公式，有：其中：若令：则力管项：数学推导6斜压矢量力管项非零的必要条件是大气的斜压性第6页，课件共25页，创作于2023年2月斜压矢量

的模的物理含义：上式表示一个单位压容管即力管所占的面积或单位面积上的力管数。因此N则代表L所围的力管总数（代数和）。

力管项的物理意义除了代表L所围成的力管总数（代数和）外，从力的环流看，力管项还可表示为气压梯度力环流：7单位压容（力）管当曲线上的气压梯度力与路径走向相同，则环流加强，反之减弱。第7页，课件共25页，创作于2023年2月

大气的斜压性是力管项存在的必要条件，也是产生环流加速度的因素，而大气的斜压性是由大气中非均匀加热所产生。这一过程可以用来解释海陆风环流和山谷风环流等的形成。下面以海陆风为例来说明直接热力环流的产生过程。

8海陆风环流的形成第8页，课件共25页，创作于2023年2月3、相对环流定理绝对速度和相对速度的关系为：9绝对环流等于相对环流和牵连环流之和对牵连环流：第9页，课件共25页，创作于2023年2月可得相对环流定理：

上述等式右边第一项为力管项。第二项称为惯性项，其本质是科氏力的环流项，因为：10推导？牵连环流对相对环流的影响可解释如下：在北半球如果L所包围的面积在赤道平面上的投影Ae随时间增大，则相对环流减弱，因为环线L扩大时，表示环线上的空气微团有向外的法向速度分量Vn，这样对应Vn的科氏力与L方向（逆时针）相反，故科氏力使得L方向的环流减弱；反之环线缩小，则法向速度向内，科氏力与L方向相同，因此使得L方向环流增强。第10页，课件共25页，创作于2023年2月§5.2涡度方程1自然坐标系中的铅直涡度分量

绝对速度：

绝对涡度：又：

故：

相对涡度：11第11页，课件共25页，创作于2023年2月

相对涡度的物理意义在自然坐标系中可反映得更加清楚直观，为此将铅直涡度分量

转换为自然坐标的表达形式。取沿流线的自然坐标系（图5.5），则水平风矢量为：

则：

取β0的极限情况，则x方向趋于s方向，y方向趋于n方向，涡度垂直分量可表示为：12自然坐标系和直角坐标系曲率涡度切变涡度第12页，课件共25页，创作于2023年2月

规定在北半球：取气旋式曲率为正，反气旋式曲率为负。曲率涡度和切变涡度的含义：1）曲率涡度：与流线的弯曲形状有关。2）切变涡度：与水平风速沿流线的法线方向的分布不均匀有关。

13气旋式弯曲：rs>0,则；反气旋弯曲：rs<0,则；急流轴例子第13页，课件共25页，创作于2023年2月

对不同的流型，有时曲率涡度项较大，有时切变涡度项较大，因此在不作精确分析时，可只考虑其中较大的一项。例如，在气旋或反气旋中心附近，可只考虑曲率涡度项，而在锋区或急流区则可只考虑切变涡度项。2涡度方程

z坐标系的涡度方程的推导思路：利用X和Y方向的水平运动方程，分别对y和x求偏导数，然后后者减前者便可。对(2)进行运算，（1）进行运算，然后两式相减

12第14页，课件共25页，创作于2023年2月并注意到涡度垂直分量的定义：，得涡度方程：而则涡度方程变为：

第15页，课件共25页，创作于2023年2月由于f只是y的函数，故涡度方程可变为：涡度方程各项的含义：1）－－相对涡度平流变化项。这一项是由于相对涡度的水平分布不均匀造成的，因平流过来不同于某指定地点的相对涡度而在该点造成的相对涡度的变化率。2）－－为相对涡度的垂直平流项。由于涡度垂直分布的不均匀性及垂直运动造成。

第16页，课件共25页，创作于2023年2月3）－－为地转涡度或牵连涡度的经向平流项。该项的正负取决于经向风的方向，如果吹南风，则有负的地转涡度平流；如果吹北风，则有正的地转涡度平流。4）－－散度项。水平辐合（辐散）会使绝对涡度增大（减小），这可看作是在守恒的条件下，面积的收缩（扩大）而使单位面积上的环流（涡度）增大（减小）的缘故。（P85）5）－－力管项或斜压项。该项是由大气的斜压性引起的。

因为：

第17页，课件共25页，创作于2023年2月6）－－为扭转项。该项表示由于垂直速度的水平分布不均匀，使得水平涡度向垂直涡度转换，从而引起涡度垂直分量的变化。

以为例：设速度v分量随z是增加的，而垂直速度w随x是减少的，因此有：，，而水平涡度（x）分量则为所以：

，

水平涡管的倾斜导致垂直涡度的产生第18页，课件共25页，创作于2023年2月P坐标系下的涡度方程类似z坐标系涡度方程的推导，由p坐标系的水平运动方程推导的涡度方程如下：

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其中P坐标系的涡度：第19页，课件共25页，创作于2023年2月上述p坐标系的涡度方程各项的物理意义可以参考z坐标系的涡度方程的各项进行类似的讨论。注意：1）p坐标系的涡度方程不显含力管项；

2）

对于大尺度运动，可近似取：

。根据涡度方程各项量级，可得p坐标系涡度方程的零级近似为：或：

10-5

10-7

第20页，课件共25页，创作于2023年2月§5.3位势涡度

（自学、提问）§5.4散度方程一、散度方程：在p坐标系下，水平散度为：类似涡度方程的推导，分别对x、y方向的运动方程进行和运算，再相加，得水平散度方程：

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第21页，课件共25页，创作于2023年2月二、散度方程的简化

对大尺度运动，可得散度方程的一级简化形式为：

该方程中不出时间局地变化项、散度项和垂直运动项，但出现涡度项，说明对于大尺度运动，不仅是准定常、准水平的，而且还是准水平无辐散的，主要以涡旋运动为主。对于涡旋运动或水平无辐散运动，其水平速度散度为零。定义一个与水平运动的流线有关的流函数，其与u，v的关系为：（风压场的平衡关系）－－称为平衡方程（非线性）第22页，课件共25页，创作于2023年2月注意到，平衡方程可表示为：通过上式，由等压面上重力位势的分布即可求出场。如果略去上式式左边的非线性项，可得线性平衡方程：若进一步略去f的变化，则得散度方程的零级简化形式

：并有：

第23页，课件共25页，创作于2023年2月三、水平风场得分解对于水平无旋运动，由从数学上可知，一个标量的梯度的旋度为零，故存在一个速度势函数，满足：或者：一般而言，水平速度场既是有旋的也是有散的，故可把风速分解为旋转风和辐散风两部分：

，

旋转风辐散风第24页，课件共25页，创作于2023年2月

涡度方程和散度方程可作为代替原始水平运动方程的一对平行方程。理论上，根据一定的初始条件